Números completos

Las descomposiciones de un número n son las parejas de números (x,y) tales que x >= y y la suma de las cuatro operaciones básicas (suma, producto, resta (el mayor menos el menor) y cociente (el mayor entre el menor)) es el número n. Por ejemplo, (8,2) es una descomposición de 36 ya que

Un número es completo si tiene alguna descomposición como las anteriores. Por ejemplo, el 36 es completo pero el 21 no lo es.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (descomposiciones n) es la lista de las descomposiones de n. Por ejemplo,

  • completos es la lista de los números completos. Por ejemplo,

Soluciones

7 Comentarios

  1. Además, es fácil demostrar que un número es completo si y solo si no es libre de cuadrados, luego podemos usar el ejercicio del Viernes pasado para hacer mas eficiente la función «completos».

      1. La función «descomposiciones n» te da todos todos los pares (x,y) tales que [(x+y) + (x-y) + xy + x/y == n].
        Operando vemos que esto es equivalente a que (x,y) cumpla [x(y+1)²/y == n].
        De donde se sigue [x == ny/(y+1)²].
        Es fácil ver que [gcd(y, y+1) == gcd(y, 1) == 1], luego si x es entero, (y+1)² divide a n.
        Ahora es sencillo entender la definición:
        Elegimos un y entero, entre 1 y la raiz cuadrada de n, ya que si y es mayor que la raiz cuadrada de n es fácil ver que (y+1)²>n y por tanto (y+1)² no podrá dividir a n.
        Ahora comprobamos que (y+1)² divida a n y si esto es así fijamos x igual a ny/(y+1)², y ya hemos encontrado un par (x,y) que cumple [(x+y) + (x-y) + xy + x/y == n], además es fácil ver que x será mayor o igual que y ya que [n/(y+1)² >= 1].

        Con este conocimiento es fácil ver que n es completo si y solo si es libre de cuadrados, porque debe existir al menos un cuadrado, (y+1)², que lo divida para que exista un par (x,y) que cumpla [(x+y) + (x-y) + xy + x/y == n] y además si no es libre de cuadrados existirá y tal que (y+1)² divida a n.

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