Mayor prefijo común

Definir la función

tal que (mayorPrefijoComun xs ys) calcula el mayor prefijo común a xs e ys. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Los ojos por que suspiras,
sábelo bien,
los ojos en que te miras
son ojos porque te ven.

Antonio Machado

Listas decrecientes

Definir la función

tal que (listasDecrecientesDesde n) es la lista de las sucesiones estrictamente decrecientes cuyo primer elemento es n. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Viejo como el mundo es
-dijo un doctor-, olvidado,
por sabido, y enterrado
cuál la momia de Ramsés.

Mas el doctor no sabía
que hoy es siempre todavía.

Antonio Machado

Último dígito no nulo del factorial

El factorial de 7 es

por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.

Definir la función

tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.

Soluciones

Pensamiento

Busca el tu esencial,
que no está en ninguna parte
y en todas partes está.

Antonio Machado

Mayor producto de n dígitos consecutivos de un número

Definir la función

tal que (mayorProducto n x) es el mayor producto de n dígitos consecutivos del número x (suponiendo que x tiene al menos n dígitos). Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

A las palabras de amor
les sienta bien su poquito
de exageración.

Antonio Machado

Elementos no repetidos

Definir la función

tal que (noRepetidos xs) es la lista de los elementos no repetidos de la lista xs. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Y en perfecto rimo
— así a la vera del agua
el doble chopo del río.

Antonio Machado

La conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1, fue enunciada por Lothar Collatz en 1937 y, hasta la fecha, no se ha resuelto.

La conjetura hace referencia a una propiedad de las sucesiones de Siracusa. La sucesión de Siracusa de un número entero positivo x es la sucesión cuyo primer término es x y el siguiente de un término se obtiene dividiéndolo entre 2, si es par o multiplicándolo por 3 y sumándole 1, si es impar. Por ejemplo, la sucesión de Siracusa de 12 es

La conjetura de Collatz afirma que para todo número entero positivo x, el 1 pertenece a la sucesión de Siracusa de x.

Definir las funciones

tales que

  • (siracusa x) es la sucesión de Siracusa de x. Por ejemplo,

  • (graficaSiracusa n xs) dibuja los n primeros términos de las sucesiones de Siracusas de los elementos de xs. Por ejemplo, (graficaSiracusa 100 [27]) dibuja

y (graficaSiracusa 150 [1..1000]) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Collatz.

Soluciones

Pensamiento

Que el caminante es suma del camino …

Antonio Machado

Números en una cadena

Definir la función

tal que (numeros cs) es la lista de los números enteros no negativos de la cadena cs. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Tu profecía, poeta.
— Mañana hablarán los mudos:
el corazón y la piedra.

Antonio Machado

Árbol binario de divisores

El árbol binario de los divisores de 90 es

Se puede representar por

usando el tipo de dato definido por

Análogamente se obtiene el árbol binario de cualquier número x: se comienza en x y en cada paso se tiene dos hijos (su menor divisor y su cociente) hasta obtener números primos en las hojas.

Definir las funciones

tales que

  • (arbolDivisores x) es el árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo,

  • (hojasArbolDivisores x) es la lista de las hohas del árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo

Soluciones

Pensamiento

Entre las brevas soy blando;
entre las rocas, de piedra.
¡Malo!

Antonio Machado

El problema del número perdido

Sea xs una lista de números consecutivos (creciente o decreciente), en la que puede faltar algún número. El problema del número perdido en xs consiste en lo siguiente:

  • si falta un único número z, devolver Just z
  • si no falta ninguno, devolver Nothing

Definir la función

tal que (numeroPerdido xs) es el resultado del problema del número perdidio en xs. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

¡Reventó de risa!
¡Un hombre tan serio!
… Nadie lo diría.

Antonio Machado

Siguiente mayor

Definir la función

tal que (siguienteMayos xs) es la lista obtenida sustiyendo cada elemento de xs por el primer elemento de xs a la derechha de x que sea mayor que x, si existe y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Si vivir es bueno
es mejor soñar,
y mejor que todo,
madre, despertar.

Antonio Machado

Permutación de elementos consecutivos

Definir la función

tal que (permutaConsecutivos xs) es la lista obtenida permutando los elementos consecutivos de xs. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Entre el vivir y el soñar
hay una tercera cosa.
Adivínala.

Antonio Machado

Diagonales invertidas

Definir la función

tal que (diagonalesInvertidas q) es la matriz obtenida invirtiendo el
orden de los elementos de la diagonal principal y de la diagonal
secundaria de q. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Despertad, cantores:
acaben los ecos,
empiecen las voces.

Antonio Machado

Suma de segmentos iniciales

Los segmentos iniciales de [3,1,2,5] son [3], [3,1], [3,1,2] y [3,1,2,5]. Sus sumas son 3, 4, 6 y 9, respectivamente. La suma de dichas sumas es 24.

Definir la función

tal que (sumaSegmentosIniciales xs) es la suma de las sumas de los segmentos iniciales de xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la suma de las sumas de los segmentos iniciales de la lista formada por n veces el número uno es el n-ésimo número triangular; es decir que

es igual a

Soluciones

Pensamiento

Al andar se hace camino,
y al volver la vista atrás
se ve la senda que nunca
se ha de volver a pisar.

Antonio Machado

Hojas con caminos no decrecientes

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

Por ejemplo, los árboles

se representan por

Definir la función

tal que (hojasEnNoDecreciente a) es el conjunto de las hojas de a que se encuentran en alguna rama no decreciente. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Para dialogar,
preguntad, primero;
después … escuchad.

Antonio Machado

Inserciones en una lista de listas

Definir la función

tal que (inserta x yss) es la lista obtenida insertando x en cada uno de los elementos de yss. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

… De la mar al percepto,
del percepto al concepto,
del concepto a la idea
— ¡oh, la linda tarea! —
de la idea a la mar.
¡Y otra vez al empezar!

Antonio Machado

Medias de dígitos de pi

El fichero Digitos_de_pi.txt contiene el número pi con un millón de decimales; es decir,

Definir las funciones

tales que

  • mediasDigitosDePi es la sucesión cuyo n-ésimo elemento es la media de los n primeros dígitos de pi. Por ejemplo,

  • (graficaMediasDigitosDePi n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de mediasDigitosDePi. Por ejemplo,
    • (graficaMediasDigitosDePi 20) dibuja
    • (graficaMediasDigitosDePi 200) dibuja
    • (graficaMediasDigitosDePi 2000) dibuja

Soluciones

Pensamiento

Es el mejor de los buenos
quien sabe que en esta vida
todo es cuestión de medida:
un poco más, algo menos.

Antonio Machado

Límites de sucesiones

El límite de una sucesión, con una aproximación a y una amplitud n, es el primer término x de la sucesión tal que el valor absoluto de x y cualquiera de sus n siguentes elementos es menor que a.

Definir la función

tal que (limite xs a n) es el límite de xs xon aproximación a y amplitud n. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

De diez cabezas, nueve
embisten y una piensa.
Nunca extrañéis que un bruto
se descuerne luchando por la idea.

Antonio Machado

Números con dígitos 1 y 2

Definir las funciones

tales que

  • (numerosCon1y2 n) es la lista ordenada de números de n dígitos que se pueden formar con los dígitos 1 y 2. Por ejemplo,

  • (restosNumerosCon1y2 n) es la lista de los restos de dividir los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) entre 2^n. Por ejemplo,

  • (graficaRestosNumerosCon1y2 n) dibuja la gráfica de los restos de dividir los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) entre 2^n. Por ejemplo, (graficaRestosNumerosCon1y2 3) dibuja

(graficaRestosNumerosCon1y2 4) dibuja

y (graficaRestosNumerosCon1y2 5) dibuja

Nota: En la definición usar la función plotListStyle y como su segundo argumento (el PloStyle) usar

Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de (restosNumerosCon1y2 n) son distintos.

Soluciones

Pensamiento

¿Para qué llamar caminos
a los surcos del azar? …
Todo el que camina anda,
como Jesús, sobre el mar.

Antonio Machado

Sucesión triangular

La sucesión triangular es la obtenida concatenando las listas [1], [1,2], [1,2,3], [1,2,3,4], …. Sus primeros términos son 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Definir las funciones

tales que

  • sucTriangular es la lista de los términos de la sucesión triangular. Por ejemplo,

  • (terminoSucTriangular n) es el término n-ésimo de la sucesión triangular. Por ejemplo,

  • (graficaSucTriangular n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión triangular. Por ejemplo, (graficaSucTriangular 300) dibuja

Soluciones

Pensamiento

Nadie debe asustarse de lo que piensa, aunque su pensar aparezca en pugna con las leyes más elementales de la lógica. Porque todo ha de ser pensado por alguien, y el mayor desatino puede ser un punto de vista de lo real.

Antonio Machado

El 2019 es semiprimo

Un número semiprimo es un número natural que es producto de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es semiprimo (porque 26 = 2×13) y 49 también lo es (porque 49 = 7×7).

Definir las funciones

tales que

  • (esSemiprimo n) se verifica si n es semiprimo. Por ejemplo,

  • semiprimos es la sucesión de números semiprimos. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Porque toda visión requiere distancia, no hay manera de ver las cosas sin salirse de ellas.

Antonio Machado

El 2019 es malvado

Un número malvado es un número natural cuya expresión en base 2 contiene un número par de unos. Por ejemplo, 6 es malvado porque su expresión en base 2 es 110 que tiene dos unos.

Definir las funciones

tales que

  • (esMalvado n) se verifica si n es un número malvado. Por ejemplo,

  • malvados es la sucesión de los números malvados. Por ejemplo,

  • (posicionMalvada n) es justo la posición de n en la sucesión de números malvados, si n es malvado o Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

… Yo os enseño, o pretendo enseñaros a que dudéis de todo: de lo
humano y de lo divino, sin excluir vuestra propia existencia.

Antonio Machado

El 2019 es apocalíptico

Un número natural n es apocalíptico si 2^n contiene la secuencia 666. Por ejemplo, 157 es apocalíptico porque 2^157 es 182687704666362864775460604089535377456991567872 que contiene la secuencia 666.

Definir las funciones

tales que

  • (esApocaliptico n) se verifica si n es un número apocalíptico. Por ejemplo,

  • apocalipticos es la lista de los números apocalípticos. Por ejemplo,

  • (posicionApocalitica n) es justo la posición de n en la sucesión de números apocalípticos, si n es apocalíptico o Nothing, en caso contrario. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

A vosotros no os importe pensar lo que habéis leído ochenta veces y oído
quinientas, porque no es lo mismo pensar que haber leído.

Antonio Machado

Reconocimiento de conmutatividad

Para representar las operaciones binarias en un conjunto finito A con n elementos se pueden numerar sus elementos desde el 0 al n-1. Entonces cada operación binaria en A se puede ver como una lista de listas xss tal que el valor de aplicar la operación a los elementos i y j es el j-ésimo elemento del i-ésimo elemento de xss. Por ejemplo, si A = {0,1,2} entonces las tabla de la suma y de la resta módulo 3 en A son

Definir la función

tal que (conmutativa xss) se verifica si la operación cuya tabla es xss es conmutativa. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«Nuestras horas son minutos cuando esperamos saber, y siglos cuando
sabemos lo que se puede aprender.»

Antonio Machado

Intercambio de la primera y última columna de una matriz

Las matrices se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, la matriz

se puede representar por la lista

Definir la función

tal que (intercambia xss) es la matriz obtenida intercambiando la primera y la última columna de xss. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«¡Que difícil es,
cuando todo baja
no bajar también!»

Antonio Machado

Expresiones aritméticas generales

Las expresiones aritméticas. generales se contruyen con las sumas generales (sumatorios) y productos generales (productorios). Su tipo es

Por ejemplo, la expresión (2 * (1 + 2 + 1) * (2 + 3)) + 1 se representa por S [P [N 2, S [N 1, N 2, N 1], S [N 2, N 3]], N 1]

Definir la función

tal que (valor e) es el valor de la expresión e. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Vivir es devorar tiempo, esperar; y por muy trascendente que quiera ser nuestra espera, siempre será espera de seguir esperando.

Antonio Machado

Aproximación entre pi y e

El día 11 de noviembre, se publicó en la cuenta de Twitter de Fermat’s Library la siguiente curiosa identidad que relaciona los números e y pi:

Definir las siguientes funciones:

tales que

  • (sumaTerminos n) es la suma de los primeros n términos de la serie 1/(π²+ 1) + 1/(4π²+1) + 1/(9π²+1) + 1/(16π²+ ) + … Por ejemplo,

  • (aproximación x) es el menor número de términos que hay que sumar de la serie anterior para que se diferencie (en valor absoluto) de 1/(e²-1) menos que x. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«Sólo sé que no se nada» contenía la jactancia de un excesivo saber, puesto que olvidó añadir: y aun de esto mismo no estoy completamente seguro.

Antonio Machado

Elemento solitario

Definir la función

tal que (solitario xs) es el único elemento que ocurre una vez en la lista xs (se supone que la lista xs tiene al menos 3 elementos y todos son iguales menos uno que es el solitario). Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Sube y sube, pero ten
cuidado Nefelibata,
que entre las nubes también,
se puede meter la pata.

Antonio Machado

Suma de inversos de potencias de cuatro

Esta semana se ha publicado en Twitter una demostración visual de la suma de inversos de potencias de 4:

Definir las funciones

tales que

  • sumaInversosPotenciasDeCuatro es la lista de las suma de la serie de los inversos de las potencias de cuatro. Por ejemplo,

  • (aproximacion e) es el menor número de términos de la serie anterior que hay que sumar para que el valor absoluto de su diferencia con 1/3 sea menor que e. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Confiamos
en que no será verdad
nada de lo que pensamos.

Antonio Machado

Números primos sumas de dos primos

Definir las funciones

primosSumaDeDosPrimos :: [Integer]
tales que

  • (esPrimoSumaDeDosPrimos x) se verifica si x es un número primo que se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,

  • primosSumaDeDosPrimos es la lista de los números primos que se pueden escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Sed incompresivos; yo os aconsejo la incomprensión, aunque sólo sea para destripar los chistes de los tontos.

Antonio Machado

Relación definida por una partición

Dos elementos están relacionados por una partición xss si pertenecen al mismo elemento de xss.

Definir la función

tal que (relacionados xss y z) se verifica si los elementos y y z están relacionados por la partición xss. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

No hay lío político que no sea un trueque, una confusión de máscaras, un mal ensayo de comedia, en que nadie sabe su papel.

Antonio Machado