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Día: 5 agosto, 2022

Números de Pentanacci

José A. Alonso, ,

Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

   F(0) = 0
   F(1) = 1
   F(n) = F(n-1) + F(n-2), si n > 1

Los primeros números de Fibonacci son

   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

   P(0) = 0
   P(1) = 1
   P(2) = 1
   P(3) = 2
   P(4) = 4
   P(n) = P(n-1) + P(n-2) + P(n-3) + P(n-4) + P(n-5), si n > 4

Los primeros números de Pentanacci son

  0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, ...

Definir la sucesión

   pentanacci :: [Integer]

cuyos elementos son los números de Pentanacci. Por ejemplo,

   λ> take 15 pentanacci
   [0,1,1,2,4,8,16,31,61,120,236,464,912,1793,3525]
   λ> (pentanacci !! (10^5)) `mod` (10^30) 
   482929150584077921552549215816
   231437922897686901289110700696
   λ> length (show (pentanacci !! (10^5)))
   29357

Soluciones

import Data.List (zipWith5)
import Test.QuickCheck (NonNegative (NonNegative), quickCheckWith, maxSize, stdArgs)
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
pentanacci1 :: [Integer]
pentanacci1 = [pent n | n <- [0..]]
 
pent :: Integer -> Integer
pent 0 = 0
pent 1 = 1
pent 2 = 1
pent 3 = 2
pent 4 = 4
pent n = pent (n-1) + pent (n-2) + pent (n-3) + pent (n-4) + pent (n-5)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
pentanacci2 :: [Integer]
pentanacci2 = 
  0 : 1 : 1 : 2 : 4 : zipWith5 f (r 0) (r 1) (r 2) (r 3) (r 4)
  where f a b c d e = a+b+c+d+e
        r n         = drop n pentanacci2
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
pentanacci3 :: [Integer]
pentanacci3 = p (0, 1, 1, 2, 4)
  where p (a, b, c, d, e) = a : p (b, c, d, e, a + b + c + d + e)
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
pentanacci4 :: [Integer]
pentanacci4 = 0: 1: 1: 2: 4: p pentanacci4
  where p (a:b:c:d:e:xs) = (a+b+c+d+e): p (b:c:d:e:xs)
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_pentanacci :: NonNegative Int -> Bool
prop_pentanacci (NonNegative n) =
  all (== pentanacci1 !! n)
      [pentanacci1 !! n,
       pentanacci2 !! n,
       pentanacci3 !! n]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=25}) prop_pentanacci
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> pentanacci1 !! 25
--    5976577
--    (3.18 secs, 1,025,263,896 bytes)
--    λ> pentanacci2 !! 25
--    5976577
--    (0.00 secs, 562,360 bytes)
--    
--    λ> length (show (pentanacci2 !! (10^5)))
--    29357
--    (1.04 secs, 2,531,259,408 bytes)
--    λ> length (show (pentanacci3 !! (10^5)))
--    29357
--    (1.00 secs, 2,548,868,384 bytes)
--    λ> length (show (pentanacci4 !! (10^5)))
--    29357
--    (0.96 secs, 2,580,065,520 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Referencias

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