28-enero-2022 – Exercitium

Sistema factorádico de numeración

PorJosé A. Alonso 28-enero-202215-abril-2022

El sistema factorádico es un sistema numérico basado en factoriales en el que el n-ésimo dígito, empezando desde la derecha, debe ser multiplicado por n! Por ejemplo, el número «341010» en el sistema factorádico es 463 en el sistema decimal ya que

   3×5! + 4×4! + 1×3! + 0×2! + 1×1! + 0×0! = 463

1	3×5! + 4×4! + 1×3! + 0×2! + 1×1! + 0×0! = 463

En este sistema numérico, el dígito de más a la derecha es siempre 0, el segundo 0 o 1, el tercero 0,1 o 2 y así sucesivamente.

Con los dígitos del 0 al 9 el mayor número que podemos codificar es el 10!-1 = 3628799. En cambio, si lo ampliamos con las letras A a Z podemos codificar hasta 36!-1 = 37199332678990121746799944815083519999999910.

Definir las funciones

   factoradicoAdecimal :: String -> Integer
   decimalAfactoradico :: Integer -> String

1 2	factoradicoAdecimal :: String -> Integer decimalAfactoradico :: Integer -> String

tales que

(factoradicoAdecimal cs) es el número decimal correspondiente al número factorádico cs. Por ejemplo,

     λ> decimalAfactoradico 463
     "341010"
     λ> decimalAfactoradico 2022
     "2441000"
     λ> decimalAfactoradico 36288000
     "A0000000000"
     λ> map decimalAfactoradico [1..10]
     ["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"]
     λ> decimalAfactoradico 37199332678990121746799944815083519999999
     "3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210"

λ> decimalAfactoradico 463

"341010"

λ> decimalAfactoradico 2022

"2441000"

λ> decimalAfactoradico 36288000

"A0000000000"

λ> map decimalAfactoradico [1..10]

["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"]

λ> decimalAfactoradico 37199332678990121746799944815083519999999

"3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210"

(decimalAfactoradico n) es el número factorádico correpondiente al número decimal n. Por ejemplo,

     λ> factoradicoAdecimal "341010"
     463
     λ> factoradicoAdecimal "2441000"
     2022
     λ> factoradicoAdecimal "A0000000000"
     36288000
     λ> map factoradicoAdecimal ["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"]
     [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
     λ> factoradicoAdecimal "3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210"
     37199332678990121746799944815083519999999

λ> factoradicoAdecimal "341010"

463

λ> factoradicoAdecimal "2441000"

2022

λ> factoradicoAdecimal "A0000000000"

36288000

λ> map factoradicoAdecimal ["10","100","110","200","210","1000","1010","1100","1110","1200"]

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]

λ> factoradicoAdecimal "3KXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9876543210"

37199332678990121746799944815083519999999

Comprobar con QuickCheck que, para cualquier entero positivo n,

   factoradicoAdecimal (decimalAfactoradico n) == n

1	factoradicoAdecimal (decimalAfactoradico n) == n

Soluciones

{-# LANGUAGE TupleSections #-}

import Data.List (genericIndex, genericLength)
import qualified Data.Map as M
import Test.QuickCheck
import Test.Hspec

-- 1ª solución
-- ===========

factoradicoAdecimal1 :: String -> Integer
factoradicoAdecimal1 cs = sum (zipWith (*) xs ys)
  where xs = map caracterAentero cs
        n  = length cs
        ys = reverse (take n facts)

-- (caracterAentero c) es la posición del carácter c en la lista de
-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,
--    caracterAentero '0'  ==  0
--    caracterAentero '1'  ==  1
--    caracterAentero '9'  ==  9
--    caracterAentero 'A'  ==  10
--    caracterAentero 'B'  ==  11
--    caracterAentero 'Z'  ==  35
caracterAentero :: Char -> Integer
caracterAentero c =
  head [n | (n,x) <- zip [0..] caracteres, x == c]

-- caracteres es la lista de caracteres
-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']
caracteres :: String
caracteres = ['0'..'9'] ++ ['A'..'Z']

-- facts es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    λ> take 12 facts
--    [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]
facts :: [Integer]
facts = scanl (*) 1 [1..]

decimalAfactoradico1 :: Integer -> String
decimalAfactoradico1 n = aux n (reverse (takeWhile (<=n) facts))
  where aux 0 xs     = ['0' | _ <- xs]
        aux m (x:xs) = enteroAcaracter (m `div` x) : aux (m `mod` x) xs

-- (enteroAcaracter k) es el k-ésimo elemento de la lista
-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,
--    enteroAcaracter 0   ==  '0'
--    enteroAcaracter 1   ==  '1'
--    enteroAcaracter 9   ==  '9'
--    enteroAcaracter 10  ==  'A'
--    enteroAcaracter 11  ==  'B'
--    enteroAcaracter 35  ==  'Z'
enteroAcaracter :: Integer -> Char
enteroAcaracter k = caracteres `genericIndex` k

-- 2ª solución
-- ===========

factoradicoAdecimal2 :: String -> Integer
factoradicoAdecimal2 cs = sum (zipWith (*) xs ys)
    where xs = map caracterAentero2 cs
          n  = length cs
          ys = reverse (take n facts)

-- (caracterAentero2 c) es la posición del carácter c en la lista de
-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,
--    caracterAentero2 '0'  ==  0
--    caracterAentero2 '1'  ==  1
--    caracterAentero2 '9'  ==  9
--    caracterAentero2 'A'  ==  10
--    caracterAentero2 'B'  ==  11
--    caracterAentero2 'Z'  ==  35
caracterAentero2 :: Char -> Integer
caracterAentero2 c = caracteresEnteros M.! c

-- caracteresEnteros es el diccionario cuyas claves son los caracteres y
-- las claves son los números de 0 a 35.
caracteresEnteros :: M.Map Char Integer
caracteresEnteros = M.fromList (zip (['0'..'9'] ++ ['A'..'Z']) [0..])

decimalAfactoradico2 :: Integer -> String
decimalAfactoradico2 n = aux n (reverse (takeWhile (<=n) facts))
    where aux 0 xs     = ['0' | _ <- xs]
          aux m (x:xs) = enteroAcaracter2 (m `div` x) : aux (m `mod` x) xs

-- (enteroAcaracter2 k) es el k-ésimo elemento de la lista
-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,
--    enteroAcaracter2 0   ==  '0'
--    enteroAcaracter2 1   ==  '1'
--    enteroAcaracter2 9   ==  '9'
--    enteroAcaracter2 10  ==  'A'
--    enteroAcaracter2 11  ==  'B'
--    enteroAcaracter2 35  ==  'Z'
enteroAcaracter2 :: Integer -> Char
enteroAcaracter2 k = enterosCaracteres M.! k

-- enterosCaracteres es el diccionario cuyas claves son los número de 0
-- a 35 y las claves son los caracteres.
enterosCaracteres :: M.Map Integer Char
enterosCaracteres = M.fromList (zip [0..] caracteres)

-- 3ª solución
-- ===========

factoradicoAdecimal3 :: String -> Integer
factoradicoAdecimal3 cs =
  sum (zipWith (*) facts (reverse (map caracterAentero3 cs)))

-- (caracterAentero3 c) es la posición del carácter c en la lista de
-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,
--    caracterAentero3 '0'  ==  0
--    caracterAentero3 '1'  ==  1
--    caracterAentero3 '9'  ==  9
--    caracterAentero3 'A'  ==  10
--    caracterAentero3 'B'  ==  11
--    caracterAentero3 'Z'  ==  35
caracterAentero3 :: Char -> Integer
caracterAentero3 c =
  genericLength (takeWhile (/= c) caracteres)

decimalAfactoradico3 :: Integer -> String
decimalAfactoradico3 n = aux "" 2 (n, 0)
  where aux s _ (0, 0) = s
        aux s n (d, r) = aux (enteroAcaracter3 r: s) (n + 1) (d `divMod` n)

-- (enteroAcaracter3 k) es el k-ésimo elemento de la lista
-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,
--    enteroAcaracter3 0   ==  '0'
--    enteroAcaracter3 1   ==  '1'
--    enteroAcaracter3 9   ==  '9'
--    enteroAcaracter3 10  ==  'A'
--    enteroAcaracter3 11  ==  'B'
--    enteroAcaracter3 35  ==  'Z'
enteroAcaracter3 :: Integer -> Char
enteroAcaracter3 n =
  caracteres !! (fromInteger n)

-- 4ª solución
-- ===========

factoradicoAdecimal4 :: String -> Integer
factoradicoAdecimal4 =
  sum . zipWith (*) facts . reverse . map caracterAentero4

-- (caracterAentero4 c) es la posición del carácter c en la lista de
-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,
--    caracterAentero4 '0'  ==  0
--    caracterAentero4 '1'  ==  1
--    caracterAentero4 '9'  ==  9
--    caracterAentero4 'A'  ==  10
--    caracterAentero4 'B'  ==  11
--    caracterAentero4 'Z'  ==  35
caracterAentero4 :: Char -> Integer
caracterAentero4 =
  genericLength . flip takeWhile caracteres . (/=)

decimalAfactoradico4 :: Integer -> String
decimalAfactoradico4 = f "" 2 . (, 0)
  where f s _ (0, 0) = s
        f s n (d, r) = f (enteroAcaracter4 r: s) (n + 1) (d `divMod` n)

-- (enteroAcaracter4 k) es el k-ésimo elemento de la lista
-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,
--    enteroAcaracter4 0   ==  '0'
--    enteroAcaracter4 1   ==  '1'
--    enteroAcaracter4 9   ==  '9'
--    enteroAcaracter4 10  ==  'A'
--    enteroAcaracter4 11  ==  'B'
--    enteroAcaracter4 35  ==  'Z'
enteroAcaracter4 :: Integer -> Char
enteroAcaracter4 = (caracteres `genericIndex`)

-- Propiedad de inverso
-- ====================

prop_factoradico :: Integer -> Property
prop_factoradico n =
  n >= 0 ==>
  factoradicoAdecimal1 (decimalAfactoradico1 n) == n &&
  factoradicoAdecimal2 (decimalAfactoradico2 n) == n &&
  factoradicoAdecimal3 (decimalAfactoradico3 n) == n &&
  factoradicoAdecimal4 (decimalAfactoradico4 n) == n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_factoradico
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (decimalAfactoradico1 (10^300000))
--    68191
--    (2.46 secs, 9,088,634,744 bytes)
--    λ> length (decimalAfactoradico2 (10^300000))
--    68191
--    (2.36 secs, 9,088,634,800 bytes)
--    λ> length (decimalAfactoradico3 (10^300000))
--    68191
--    (2.18 secs, 4,490,856,416 bytes)
--    λ> length (decimalAfactoradico4 (10^300000))
--    68191
--    (1.98 secs, 4,490,311,536 bytes)
--
--    λ> length (show (factoradicoAdecimal1 (show (10^50000))))
--    213237
--    (0.93 secs, 2,654,156,680 bytes)
--    λ> length (show (factoradicoAdecimal2 (show (10^50000))))
--    213237
--    (0.51 secs, 2,633,367,168 bytes)
--    λ> length (show (factoradicoAdecimal3 (show (10^50000))))
--    213237
--    (0.93 secs, 2,635,792,192 bytes)
--    λ> length (show (factoradicoAdecimal4 (show (10^50000))))
--    213237
--    (0.43 secs, 2,636,996,848 bytes)

100

101

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216

{-# LANGUAGE TupleSections #-}

import Data.List (genericIndex, genericLength)

import qualified Data.Map as M

import Test.QuickCheck

import Test.Hspec

-- 1ª solución

-- ===========

factoradicoAdecimal1 :: String -> Integer

factoradicoAdecimal1 cs = sum (zipWith (*) xs ys)

where xs = map caracterAentero cs

n = length cs

ys = reverse (take n facts)

-- (caracterAentero c) es la posición del carácter c en la lista de

-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,

-- caracterAentero '0' == 0

-- caracterAentero '1' == 1

-- caracterAentero '9' == 9

-- caracterAentero 'A' == 10

-- caracterAentero 'B' == 11

-- caracterAentero 'Z' == 35

caracterAentero :: Char -> Integer

caracterAentero c =

head [n | (n,x) <- zip [0..] caracteres, x == c]

-- caracteres es la lista de caracteres

-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']

caracteres :: String

caracteres = ['0'..'9'] ++ ['A'..'Z']

-- facts es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- λ> take 12 facts

-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]

facts :: [Integer]

facts = scanl (*) 1 [1..]

decimalAfactoradico1 :: Integer -> String

decimalAfactoradico1 n = aux n (reverse (takeWhile (<=n) facts))

where aux 0 xs = ['0' | _ <- xs]

aux m (x:xs) = enteroAcaracter (m `div` x) : aux (m `mod` x) xs

-- (enteroAcaracter k) es el k-ésimo elemento de la lista

-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,

-- enteroAcaracter 0 == '0'

-- enteroAcaracter 1 == '1'

-- enteroAcaracter 9 == '9'

-- enteroAcaracter 10 == 'A'

-- enteroAcaracter 11 == 'B'

-- enteroAcaracter 35 == 'Z'

enteroAcaracter :: Integer -> Char

enteroAcaracter k = caracteres `genericIndex` k

-- 2ª solución

-- ===========

factoradicoAdecimal2 :: String -> Integer

factoradicoAdecimal2 cs = sum (zipWith (*) xs ys)

where xs = map caracterAentero2 cs

n = length cs

ys = reverse (take n facts)

-- (caracterAentero2 c) es la posición del carácter c en la lista de

-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,

-- caracterAentero2 '0' == 0

-- caracterAentero2 '1' == 1

-- caracterAentero2 '9' == 9

-- caracterAentero2 'A' == 10

-- caracterAentero2 'B' == 11

-- caracterAentero2 'Z' == 35

caracterAentero2 :: Char -> Integer

caracterAentero2 c = caracteresEnteros M.! c

-- caracteresEnteros es el diccionario cuyas claves son los caracteres y

-- las claves son los números de 0 a 35.

caracteresEnteros :: M.Map Char Integer

caracteresEnteros = M.fromList (zip (['0'..'9'] ++ ['A'..'Z']) [0..])

decimalAfactoradico2 :: Integer -> String

decimalAfactoradico2 n = aux n (reverse (takeWhile (<=n) facts))

where aux 0 xs = ['0' | _ <- xs]

aux m (x:xs) = enteroAcaracter2 (m `div` x) : aux (m `mod` x) xs

-- (enteroAcaracter2 k) es el k-ésimo elemento de la lista

-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,

-- enteroAcaracter2 0 == '0'

-- enteroAcaracter2 1 == '1'

-- enteroAcaracter2 9 == '9'

-- enteroAcaracter2 10 == 'A'

-- enteroAcaracter2 11 == 'B'

-- enteroAcaracter2 35 == 'Z'

enteroAcaracter2 :: Integer -> Char

enteroAcaracter2 k = enterosCaracteres M.! k

-- enterosCaracteres es el diccionario cuyas claves son los número de 0

-- a 35 y las claves son los caracteres.

enterosCaracteres :: M.Map Integer Char

enterosCaracteres = M.fromList (zip [0..] caracteres)

-- 3ª solución

-- ===========

factoradicoAdecimal3 :: String -> Integer

factoradicoAdecimal3 cs =

sum (zipWith (*) facts (reverse (map caracterAentero3 cs)))

-- (caracterAentero3 c) es la posición del carácter c en la lista de

-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,

-- caracterAentero3 '0' == 0

-- caracterAentero3 '1' == 1

-- caracterAentero3 '9' == 9

-- caracterAentero3 'A' == 10

-- caracterAentero3 'B' == 11

-- caracterAentero3 'Z' == 35

caracterAentero3 :: Char -> Integer

caracterAentero3 c =

genericLength (takeWhile (/= c) caracteres)

decimalAfactoradico3 :: Integer -> String

decimalAfactoradico3 n = aux "" 2 (n, 0)

where aux s _ (0, 0) = s

aux s n (d, r) = aux (enteroAcaracter3 r: s) (n + 1) (d `divMod` n)

-- (enteroAcaracter3 k) es el k-ésimo elemento de la lista

-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,

-- enteroAcaracter3 0 == '0'

-- enteroAcaracter3 1 == '1'

-- enteroAcaracter3 9 == '9'

-- enteroAcaracter3 10 == 'A'

-- enteroAcaracter3 11 == 'B'

-- enteroAcaracter3 35 == 'Z'

enteroAcaracter3 :: Integer -> Char

enteroAcaracter3 n =

caracteres !! (fromInteger n)

-- 4ª solución

-- ===========

factoradicoAdecimal4 :: String -> Integer

factoradicoAdecimal4 =

sum . zipWith (*) facts . reverse . map caracterAentero4

-- (caracterAentero4 c) es la posición del carácter c en la lista de

-- caracteres ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. Por ejemplo,

-- caracterAentero4 '0' == 0

-- caracterAentero4 '1' == 1

-- caracterAentero4 '9' == 9

-- caracterAentero4 'A' == 10

-- caracterAentero4 'B' == 11

-- caracterAentero4 'Z' == 35

caracterAentero4 :: Char -> Integer

caracterAentero4 =

genericLength . flip takeWhile caracteres . (/=)

decimalAfactoradico4 :: Integer -> String

decimalAfactoradico4 = f "" 2 . (, 0)

where f s _ (0, 0) = s

f s n (d, r) = f (enteroAcaracter4 r: s) (n + 1) (d `divMod` n)

-- (enteroAcaracter4 k) es el k-ésimo elemento de la lista

-- ['0', '1',..., '9', 'A', 'B',..., 'Z']. . Por ejemplo,

-- enteroAcaracter4 0 == '0'

-- enteroAcaracter4 1 == '1'

-- enteroAcaracter4 9 == '9'

-- enteroAcaracter4 10 == 'A'

-- enteroAcaracter4 11 == 'B'

-- enteroAcaracter4 35 == 'Z'

enteroAcaracter4 :: Integer -> Char

enteroAcaracter4 = (caracteres `genericIndex`)

-- Propiedad de inverso

-- ====================

prop_factoradico :: Integer -> Property

prop_factoradico n =

n >= 0 ==>

factoradicoAdecimal1 (decimalAfactoradico1 n) == n &&

factoradicoAdecimal2 (decimalAfactoradico2 n) == n &&

factoradicoAdecimal3 (decimalAfactoradico3 n) == n &&

factoradicoAdecimal4 (decimalAfactoradico4 n) == n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_factoradico

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (decimalAfactoradico1 (10^300000))

-- 68191

-- (2.46 secs, 9,088,634,744 bytes)

-- λ> length (decimalAfactoradico2 (10^300000))

-- 68191

-- (2.36 secs, 9,088,634,800 bytes)

-- λ> length (decimalAfactoradico3 (10^300000))

-- 68191

-- (2.18 secs, 4,490,856,416 bytes)

-- λ> length (decimalAfactoradico4 (10^300000))

-- 68191

-- (1.98 secs, 4,490,311,536 bytes)

-- λ> length (show (factoradicoAdecimal1 (show (10^50000))))

-- 213237

-- (0.93 secs, 2,654,156,680 bytes)

-- λ> length (show (factoradicoAdecimal2 (show (10^50000))))

-- 213237

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El código se encuentra en GitHub.

Día: 28-enero-2022

Sistema factorádico de numeración

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