Productos simultáneos de dos y tres números consecutivos
Definir la función
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productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]] |
tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,
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1 2 3 4 |
productos 2 6 == [[2,3]] productos 3 6 == [[1,2,3]] productos 4 1680 == [[5,6,7,8]] productos 2 5 == [] |
Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces
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productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]] |
Usando productos, definir la función
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productosDe2y3consecutivos :: [Integer] |
cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,
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head productosDe2y3consecutivos == 6 |
Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.
Soluciones
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 |
import Test.QuickCheck -- 1ª solución -- =========== productos1 :: Integer -> Integer -> [[Integer]] productos1 n x = [[y..y+n-1] | y <- [1..x] , product [y..y+n-1] == x] -- 2ª solución -- =========== productos2 :: Integer -> Integer -> [[Integer]] productos2 n x = [[z..z+n-1] | z <- [1..y] , product [z..z+n-1] == x] where y = head (filter (\y -> y^n >= x) [2..]) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> let (n,x) = (3,200) in productos1 n (product [x..x+n-1]) -- [[200,201,202]] -- (7.38 secs, 7,235,956,440 bytes) -- λ> let (n,x) = (3,200) in productos2 n (product [x..x+n-1]) -- [[200,201,202]] -- (0.01 secs, 451,928 bytes) -- -- λ> productos2 3 1000018000107000210 -- [[1000005,1000006,1000007]] -- (1.57 secs, 1,560,159,144 bytes) -- En lo que sigue se usa la 2ª definición productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]] productos = productos2 -- La propiedad es prop_productos :: Integer -> Integer -> Property prop_productos n x = n > 0 && x > 0 ==> productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_productos -- +++ OK, passed 100 tests. productosDe2y3consecutivos :: [Integer] productosDe2y3consecutivos = [x | x <- [1..] , let ys = productos 2 x , not (null ys) , let zs = productos 3 x , not (null zs)] -- El cálculo es -- λ> take 2 productosDe2y3consecutivos -- [6,210] |
Pensamiento
Mis ojos en el espejo
son ojos ciegos que miran
los ojos con que los veo.Antonio Machado