José A. AlonsoDemostrar que si f·f es biyectiva, entonces f es biyectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import tactic open function variable {X: Type} example (f : X → X) (Hff : bijective (f ∘ f)) : bijective f := sorry |
Demostrar que si g·f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import tactic open function variables {X Y Z : Type} variable {f : X → Y} variable {g : Y → Z} example (Hgf : injective (g ∘ f)) : injective f := sorry |
Demostrar el teorema de Cantor; es decir, que no existe ninguna aplicación suprayectiva de un conjunto en su conjunto potencia.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open function variables {α : Type} example : ∀ f : α → set α, ¬ surjective f := sorry |
En Lean, la imagen de un conjunto s por una función f se representa por f '' s; es decir, f '' s = {y | ∃ x, x ∈ s ∧ f x = y}
Demostrar que f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic import tactic open set variables {α : Type*} {β : Type*} variable f : α → β variables s t : set α example : f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t := sorry |
En Lean, la imagen inversa de un conjunto s (de elementos de tipo por la función f (de tipo α → β) es el conjunto f ⁻¹' s de elementos x (de tipo α) tales que f x ∈ s.
Demostrar que f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open set variables {α : Type*} {β : Type*} variable f : α → β variables u v : set β example : f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v := sorry |
Demostrar que s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s)
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic import data.set.lattice import tactic open set variable {α : Type} variable s : set α variable A : ℕ → set α example : s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s) := sorry |
Demostrar que s ∩ (s ∪ t) = s
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t : set α example : s ∩ (s ∪ t) = s := sorry |
Demostrar que (s \ t) \ u ⊆ s \ (t ∪ u)
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α example : (s \ t) \ u ⊆ s \ (t ∪ u) := sorry |
Demostrar que s ∩ (t ∪ u) ⊆ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α example : s ∩ (t ∪ u) ⊆ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u) := sorry |
Demostrar que la intersección es monótona por la izquierda; es decir, si s ⊆ t, entonces s ∩ u ⊆ t ∩ u.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := sorry |