IH.auto – Calculemus

Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

José A. Alonso- 5 septiembre 2021

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define que a es el límite de la sucesión u, por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x

   notation `|`x`|` := abs x

La sucesión u diverge positivamente cuando, para cada número real A, se puede encontrar un número natural m tal que, para n > m , se tenga u(n) > A. En Lean se puede definir por

   def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

Demostrar que si u diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
-- 1ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 zero_lt_one with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  replace hm1 : u m - a < 1 := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : 1 < u m - a := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : sub_lt_iff_lt_add'.mp hm1
       ... < u m   : lt_sub_iff_add_lt'.mp hm2,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  replace hm1 : |u m - a| < 1 := by finish,
  replace hm1 : u m - a < 1   := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : u m > a + 1   := by finish,
  replace hm2 : 1 < u m - a   := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : by linarith
       ... < u m   : by linarith
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  rw abs_lt at hm1,
  linarith,
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos
imports Main HOL.Real
begin
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition diverge_positivamente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "diverge_positivamente u ⟷ (∀A. ∃m. ∀n≥m. u n > A)"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "u ?m < u ?m" using hm1 hm2
  proof -
    have "?m ≥ m1"
      by (rule max.cobounded1)
    have "?m ≥ m2"
      by (rule max.cobounded2)
    have "u ?m - a < 1"
      using hm1 ‹?m ≥ m1› by fastforce
    moreover have "u ?m > a + 1"
      using hm2 ‹?m ≥ m2› by simp
    ultimately show "u ?m < u ?m"
      by simp
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "1 < 1"
  proof -
    have "1 < u ?m - a"
      using hm2
      by (metis add.commute less_diff_eq max.cobounded2)
    also have "… < 1"
      using hm1
      by (metis abs_less_iff max_def order_refl)
    finally show "1 < 1" .
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

José A. Alonso- 4 septiembre 2021

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción queconserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

que la sucesión u es de Cauchy por

   def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

Demostrar que si u es una sucesión de Cauchy y a es un punto de acumulación de u, entonces a es el límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
lemma cerca_acumulacion
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  unfold limite,
  intros ε hε,
  unfold suc_cauchy at hu,
  cases hu (ε/2) (half_pos hε) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (half_pos hε),
  cases ha' with N' h,
  cases h with hNN' hN',
  intros n hn,
  calc   |u n - a|
       = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
   ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : abs_add (u n - u N') (u N' - a)
   ... < ε/2 + |u N' - a|            : add_lt_add_right (hN n hn N' hNN') _
   ... < ε/2 + ε/2                   : add_lt_add_left hN' (ε / 2)
   ... = ε                           : add_halves ε
end
 
-- 2ª demostración
example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  intros ε hε,
  cases hu (ε/2) (by linarith) with N hN,
  use N,
  have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2,
    apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (by linarith),
  rcases ha' with ⟨N', hNN', hN'⟩,
  intros n hn,
  calc  |u n - a|
      = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf
  ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a|   : by simp [abs_add]
  ... < ε                           : by linarith [hN n hn N' hNN'],
end

import data.real.basic open nat variable {u : ℕ → ℝ} variables {a : ℝ} variable {φ : ℕ → ℕ} notation `|`x`|` := abs x def extraccion (φ : ℕ → ℕ) := ∀ n m, n < m → φ n < φ m def limite (u : ℕ → ℝ) (l : ℝ) : Prop := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - l| < ε def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε lemma aux1 (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intro n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), }, end lemma aux2 (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (aux1 h (max N N'))⟩⟩ lemma cerca_acumulacion (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩, end -- 1ª demostración example (hu : suc_cauchy u) (ha : punto_acumulacion u a) : limite u a := begin unfold limite, intros ε hε, unfold suc_cauchy at hu, cases hu (ε/2) (half_pos hε) with N hN, use N, have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2, apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (half_pos hε), cases ha' with N' h, cases h with hNN' hN', intros n hn, calc |u n - a| = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a| : abs_add (u n - u N') (u N' - a) ... < ε/2 + |u N' - a| : add_lt_add_right (hN n hn N' hNN') _ ... < ε/2 + ε/2 : add_lt_add_left hN' (ε / 2) ... = ε : add_halves ε end -- 2ª demostración example (hu : suc_cauchy u) (ha : punto_acumulacion u a) : limite u a := begin intros ε hε, cases hu (ε/2) (by linarith) with N hN, use N, have ha' : ∃ N' ≥ N, |u N' - a| < ε/2, apply cerca_acumulacion ha (ε/2) (by linarith), rcases ha' with ⟨N', hNN', hN'⟩, intros n hn, calc |u n - a| = |(u n - u N') + (u N' - a)| : by ring_nf ... ≤ |u n - u N'| + |u N' - a| : by simp [abs_add] ... < ε : by linarith [hN n hn N' hNN'], end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
definition suc_cauchy :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "suc_cauchy u ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀m≥k. ∀n≥k. ¦u m - u n¦ < ε)"
 
(* Lemas auxiliares *)
 
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
lemma cerca_acumulacion :
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
(* Demostración *)
lemma
  assumes "suc_cauchy u"
          "punto_acumulacion u a"
  shows   "limite u a"
proof (unfold limite_def; intro allI impI)
  fix ε :: real
  assume "ε > 0"
  then have "ε/2 > 0"
    by simp
  then obtain N where hN : "∀m≥N. ∀n≥N. ¦u m - u n¦ < ε/2"
    using assms(1) suc_cauchy_def
    by blast
  have "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
  proof (intro allI impI)
    fix k
    assume hk : "k ≥ N"
    obtain N' where hN'1 : "N' ≥ N" and
                    hN'2 : "¦u N' - a¦ < ε/2"
      using assms(2) cerca_acumulacion ‹ε/2 > 0› by blast
    have "¦u k - a¦ = ¦(u k - u N') + (u N'  - a)¦"
      by simp
    also have "… ≤ ¦u k - u N'¦ + ¦u N'  - a¦"
      by simp
    also have "… < ε/2 + ¦u N'  - a¦"
      using hk hN hN'1 by auto
    also have "… < ε/2 + ε/2"
      using hN'2 by auto
    also have "… = ε"
      by simp
    finally show "¦u k - a¦ < ε" .
  qed
  then show "∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
end

theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u" imports Main HOL.Real begin definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)" definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)" definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)" definition suc_cauchy :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool" where "suc_cauchy u ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀m≥k. ∀n≥k. ¦u m - u n¦ < ε)" (* Lemas auxiliares *) lemma aux1 : assumes "extraccion φ" shows "n ≤ φ n" proof (induct n) show "0 ≤ φ 0" by simp next fix n assume HI : "n ≤ φ n" then show "Suc n ≤ φ (Suc n)" using assms extraccion_def by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1) qed lemma aux2 : assumes "extraccion φ" shows "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N" proof (intro allI) fix N N' :: nat have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N" by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2) then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N" by blast qed lemma cerca_acumulacion : assumes "punto_acumulacion u a" shows "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real and N :: nat assume "ε > 0" obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms punto_acumulacion_def by blast obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε" using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N" using aux2 hφ1 by blast then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" using hN' by auto qed (* Demostración *) lemma assumes "suc_cauchy u" "punto_acumulacion u a" shows "limite u a" proof (unfold limite_def; intro allI impI) fix ε :: real assume "ε > 0" then have "ε/2 > 0" by simp then obtain N where hN : "∀m≥N. ∀n≥N. ¦u m - u n¦ < ε/2" using assms(1) suc_cauchy_def by blast have "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix k assume hk : "k ≥ N" obtain N' where hN'1 : "N' ≥ N" and hN'2 : "¦u N' - a¦ < ε/2" using assms(2) cerca_acumulacion ‹ε/2 > 0› by blast have "¦u k - a¦ = ¦(u k - u N') + (u N' - a)¦" by simp also have "… ≤ ¦u k - u N'¦ + ¦u N' - a¦" by simp also have "… < ε/2 + ¦u N' - a¦" using hk hN hN'1 by auto also have "… < ε/2 + ε/2" using hN'2 by auto also have "… = ε" by simp finally show "¦u k - a¦ < ε" . qed then show "∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε" by auto qed end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

La suma de los n primeros impares es n^2

José A. Alonso- 3 septiembre 2021

En Lean, se puede definir el n-ésimo número primo por

   def impar (n : ℕ) := 2 * n + 1

Además, en la librería finset están definidas las funciones

   range :: ℕ → finset ℕ
   sum :: finset α → (α → β) → β

tales que

+ (range n) es el conjunto de los n primeros números naturales. Por ejemplo, el valor de (range 3) es {0, 1, 2}.
+ (sum A f) es la suma del conjunto obtenido aplicando la función f a los elementos del conjunto finito A. Por ejemplo, el valor de (sum (range 3) impar) es 9.

Demostrar que la suma de los n primeros números impares es n².

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.finset
import tactic.ring
open nat
 
variable (n : ℕ)
 
def impar (n : ℕ) := 2 * n + 1
 
example :
  finset.sum (finset.range n) impar = n ^ 2 :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.finset
import tactic.ring
open nat
 
set_option pp.structure_projections false
 
variable (n : ℕ)
 
def impar (n : ℕ) := 2 * n + 1
 
-- 1ª demostración
example :
  finset.sum (finset.range n) impar = n ^ 2 :=
begin
  induction n with m HI,
  { calc finset.sum (finset.range 0) impar
          = 0
            : by simp
     ...  = 0 ^ 2
            : rfl, },
  { calc finset.sum (finset.range (succ m)) impar
         = finset.sum (finset.range m) impar + impar m
           : finset.sum_range_succ impar m
     ... = m ^ 2 + impar m
           : congr_arg2 (+) HI rfl
     ... = m ^ 2 + 2 * m + 1
           : rfl
     ... = (m + 1) ^ 2
           : by ring_nf
     ... = succ m ^ 2
           : rfl },
end
 
-- 2ª demostración
example :
  finset.sum (finset.range n) impar = n ^ 2 :=
begin
  induction n with d hd,
  { refl, },
  { rw finset.sum_range_succ,
    rw hd,
    change d ^ 2 + (2 * d + 1) = (d + 1) ^ 2,
    ring_nf, },
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory "La_suma_de_los_n_primeros_impares_es_n^2"
imports Main
begin
 
definition impar :: "nat ⇒ nat" where
  "impar n ≡ 2 * n + 1"
 
lemma "sum impar {i::nat. i < n} = n⇧2"
proof (induct n)
  show "sum impar {i. i < 0} = 0⇧2"
    by simp
next
  fix n
  assume HI : "sum impar {i. i < n} = n⇧2"
  have "{i. i < Suc n} = {i. i < n} ∪ {n}"
    by auto
  then have "sum impar {i. i < Suc n} =
             sum impar {i. i < n} + impar n"
    by simp
  also have "… = n⇧2 + (2 * n + 1)"
    using HI impar_def by simp
  also have "… = (n + 1)⇧2"
    by algebra
  also have "… = (Suc n)⇧2"
    by simp
  finally show "sum impar {i. i < Suc n} = (Suc n)⇧2" .
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite

José A. Alonso- 2 septiembre 2021

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que u es convergente por

   def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ a, limite u a

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si u es una sucesión convergente y a es un punto de acumulación de u, entonces a es un límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
-- Lemas auxiliares
-- ================
 
lemma unicidad_limite_aux
  {a b: ℝ}
  (ha : limite u a)
  (hb : limite u b)
  : b ≤ a :=
begin
  by_contra h,
  set ε := b - a with hε,
  cases ha (ε/2) (by linarith) with A hA,
  cases hb (ε/2) (by linarith) with B hB,
  set N := max A B with hN,
  have hAN : A ≤ N := le_max_left A B,
  have hBN : B ≤ N := le_max_right A B,
  specialize hA N hAN,
  specialize hB N hBN,
  rw abs_lt at hA hB,
  linarith,
end
 
lemma unicidad_limite
  {a b: ℝ}
  (ha : limite u a)
  (hb : limite u b)
  : a = b :=
le_antisymm (unicidad_limite_aux hb ha)
            (unicidad_limite_aux ha hb)
 
lemma limite_subsucesion_aux
  {φ : ℕ → ℕ}
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma limite_subsucesion
  {φ : ℕ → ℕ}
  {a : ℝ}
  (h : limite u a)
  (hφ : extraccion φ)
  : limite (u ∘ φ) a :=
begin
  intros ε hε,
  cases h ε hε with N hN,
  use N,
  intros k hk,
  calc |(u ∘ φ) k - a|
       = |u (φ k) - a| : rfl
   ... < ε             : hN (φ k) _,
  calc φ k
       ≥ k : limite_subsucesion_aux hφ k
   ... ≥ N : hk,
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  unfold convergente at hu,
  cases hu with b hb,
  convert hb,
  unfold punto_acumulacion at ha,
  rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩,
  have hφ₃ : limite (u ∘ φ) b,
    from limite_subsucesion hb hφ₁,
  exact unicidad_limite hφ₂ hφ₃,
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  cases hu with b hb,
  convert hb,
  rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩,
  apply unicidad_limite hφ₂ _,
  exact limite_subsucesion hb hφ₁,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
begin
  cases hu with b hb,
  convert hb,
  rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩,
  exact unicidad_limite hφ₂ (limite_subsucesion hb hφ₁),
end

import data.real.basic open nat variable {u : ℕ → ℝ} variables {a : ℝ} def extraccion (φ : ℕ → ℕ) := ∀ n m, n < m → φ n < φ m notation `|`x`|` := abs x def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε def convergente (u : ℕ → ℝ) := ∃ a, limite u a def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a -- Lemas auxiliares -- ================ lemma unicidad_limite_aux {a b: ℝ} (ha : limite u a) (hb : limite u b) : b ≤ a := begin by_contra h, set ε := b - a with hε, cases ha (ε/2) (by linarith) with A hA, cases hb (ε/2) (by linarith) with B hB, set N := max A B with hN, have hAN : A ≤ N := le_max_left A B, have hBN : B ≤ N := le_max_right A B, specialize hA N hAN, specialize hB N hBN, rw abs_lt at hA hB, linarith, end lemma unicidad_limite {a b: ℝ} (ha : limite u a) (hb : limite u b) : a = b := le_antisymm (unicidad_limite_aux hb ha) (unicidad_limite_aux ha hb) lemma limite_subsucesion_aux {φ : ℕ → ℕ} (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intro n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), }, end lemma limite_subsucesion {φ : ℕ → ℕ} {a : ℝ} (h : limite u a) (hφ : extraccion φ) : limite (u ∘ φ) a := begin intros ε hε, cases h ε hε with N hN, use N, intros k hk, calc |(u ∘ φ) k - a| = |u (φ k) - a| : rfl ... < ε : hN (φ k) _, calc φ k ≥ k : limite_subsucesion_aux hφ k ... ≥ N : hk, end -- 1ª demostración example (hu : convergente u) (ha : punto_acumulacion u a) : limite u a := begin unfold convergente at hu, cases hu with b hb, convert hb, unfold punto_acumulacion at ha, rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩, have hφ₃ : limite (u ∘ φ) b, from limite_subsucesion hb hφ₁, exact unicidad_limite hφ₂ hφ₃, end -- 1ª demostración example (hu : convergente u) (ha : punto_acumulacion u a) : limite u a := begin cases hu with b hb, convert hb, rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩, apply unicidad_limite hφ₂ _, exact limite_subsucesion hb hφ₁, end -- 2ª demostración example (hu : convergente u) (ha : punto_acumulacion u a) : limite u a := begin cases hu with b hb, convert hb, rcases ha with ⟨φ, hφ₁, hφ₂⟩, exact unicidad_limite hφ₂ (limite_subsucesion hb hφ₁), end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

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Soluciones con Isabelle/HOL

theory El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition subsucesion :: "(nat ⇒ real) ⇒ (nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "subsucesion v u ⟷ (∃ φ. extraccion φ ∧ v = u ∘ φ)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where
  "limite u c ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. ¦u n - c¦ < ε)"
 
definition convergente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool" where
  "convergente u ⟷ (∃ a. limite u a)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
(* Lemas auxiliares *)
 
lemma unicidad_limite_aux :
  assumes "limite u a"
          "limite u b"
  shows   "b ≤ a"
proof (rule ccontr)
  assume "¬ b ≤ a"
  let ?ε = "b - a"
  have "0 < ?ε/2"
    using ‹¬ b ≤ a› by auto
  obtain A where hA : "∀n≥A. ¦u n - a¦ < ?ε/2"
    using assms(1) limite_def ‹0 < ?ε/2› by blast
  obtain B where hB : "∀n≥B. ¦u n - b¦ < ?ε/2"
    using assms(2) limite_def ‹0 < ?ε/2› by blast
  let ?C = "max A B"
  have hCa : "∀n≥?C. ¦u n - a¦ < ?ε/2"
    using hA by simp
  have hCb : "∀n≥?C. ¦u n - b¦ < ?ε/2"
    using hB by simp
  have "∀n≥?C. ¦a - b¦ < ?ε"
  proof (intro allI impI)
    fix n assume "n ≥ ?C"
    have "¦a - b¦ = ¦(a - u n) + (u n - b)¦" by simp
    also have "… ≤ ¦u n - a¦ + ¦u n - b¦" by simp
    finally show "¦a - b¦ < b - a"
      using hCa hCb ‹n ≥ ?C› by fastforce
  qed
  then show False by fastforce
qed
 
lemma unicidad_limite :
  assumes "limite u a"
          "limite u b"
  shows   "a = b"
proof (rule antisym)
  show "a ≤ b" using assms(2) assms(1)
    by (rule unicidad_limite_aux)
next
  show "b ≤ a" using assms(1) assms(2)
    by (rule unicidad_limite_aux)
qed
 
lemma limite_subsucesion_aux :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma limite_subsucesion :
  assumes "subsucesion v u"
          "limite u a"
  shows   "limite v a"
proof (unfold limite_def; intro allI impI)
  fix ε :: real
  assume "ε > 0"
  then obtain N where hN : "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using assms(2) limite_def by auto
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "v = u ∘ φ"
    using assms(1) subsucesion_def by auto
  have "∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε"
  proof (intro allI impI)
    fix k
    assume "N ≤ k"
    also have "... ≤ φ k"
      by (simp add: limite_subsucesion_aux hφ1)
    finally have "N ≤ φ k" .
    have "¦v k - a¦ = ¦u (φ k) - a¦"
      using hφ2 by simp
    also have "… < ε"
      using hN ‹N ≤ φ k› by simp
    finally show "¦v k - a¦ < ε" .
  qed
  then show "∃N. ∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
(* Demostración *)
lemma
  assumes "convergente u"
          "punto_acumulacion u a"
  shows   "limite u a"
proof -
  obtain b where hb : "limite u b"
    using assms(1) convergente_def by auto
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and
                 hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms(2) punto_acumulacion_def  by auto
  have "limite (u ∘ φ) b"
    using hφ1 hb limite_subsucesion subsucesion_def by blast
  with hφ2 have "a = b"
    by (rule unicidad_limite)
  then show "limite u a"
    using hb by simp
qed
 
end

theory El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite imports Main HOL.Real begin definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)" definition subsucesion :: "(nat ⇒ real) ⇒ (nat ⇒ real) ⇒ bool" where "subsucesion v u ⟷ (∃ φ. extraccion φ ∧ v = u ∘ φ)" definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u c ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. ¦u n - c¦ < ε)" definition convergente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool" where "convergente u ⟷ (∃ a. limite u a)" definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)" (* Lemas auxiliares *) lemma unicidad_limite_aux : assumes "limite u a" "limite u b" shows "b ≤ a" proof (rule ccontr) assume "¬ b ≤ a" let ?ε = "b - a" have "0 < ?ε/2" using ‹¬ b ≤ a› by auto obtain A where hA : "∀n≥A. ¦u n - a¦ < ?ε/2" using assms(1) limite_def ‹0 < ?ε/2› by blast obtain B where hB : "∀n≥B. ¦u n - b¦ < ?ε/2" using assms(2) limite_def ‹0 < ?ε/2› by blast let ?C = "max A B" have hCa : "∀n≥?C. ¦u n - a¦ < ?ε/2" using hA by simp have hCb : "∀n≥?C. ¦u n - b¦ < ?ε/2" using hB by simp have "∀n≥?C. ¦a - b¦ < ?ε" proof (intro allI impI) fix n assume "n ≥ ?C" have "¦a - b¦ = ¦(a - u n) + (u n - b)¦" by simp also have "… ≤ ¦u n - a¦ + ¦u n - b¦" by simp finally show "¦a - b¦ < b - a" using hCa hCb ‹n ≥ ?C› by fastforce qed then show False by fastforce qed lemma unicidad_limite : assumes "limite u a" "limite u b" shows "a = b" proof (rule antisym) show "a ≤ b" using assms(2) assms(1) by (rule unicidad_limite_aux) next show "b ≤ a" using assms(1) assms(2) by (rule unicidad_limite_aux) qed lemma limite_subsucesion_aux : assumes "extraccion φ" shows "n ≤ φ n" proof (induct n) show "0 ≤ φ 0" by simp next fix n assume HI : "n ≤ φ n" then show "Suc n ≤ φ (Suc n)" using assms extraccion_def by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1) qed lemma limite_subsucesion : assumes "subsucesion v u" "limite u a" shows "limite v a" proof (unfold limite_def; intro allI impI) fix ε :: real assume "ε > 0" then obtain N where hN : "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε" using assms(2) limite_def by auto obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "v = u ∘ φ" using assms(1) subsucesion_def by auto have "∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix k assume "N ≤ k" also have "... ≤ φ k" by (simp add: limite_subsucesion_aux hφ1) finally have "N ≤ φ k" . have "¦v k - a¦ = ¦u (φ k) - a¦" using hφ2 by simp also have "… < ε" using hN ‹N ≤ φ k› by simp finally show "¦v k - a¦ < ε" . qed then show "∃N. ∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε" by auto qed (* Demostración *) lemma assumes "convergente u" "punto_acumulacion u a" shows "limite u a" proof - obtain b where hb : "limite u b" using assms(1) convergente_def by auto obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms(2) punto_acumulacion_def by auto have "limite (u ∘ φ) b" using hφ1 hb limite_subsucesion subsucesion_def by blast with hφ2 have "a = b" by (rule unicidad_limite) then show "limite u a" using hb by simp qed end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

José A. Alonso- 1 septiembre 2021

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que v es una subsucesión de u por

   def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

y que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Demostrar que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variables {u v : ℕ → ℝ}
variable  {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.real.basic
open nat
 
variables {u v : ℕ → ℝ}
variable  {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
-- En la demostración se usará el siguiente lema.
lemma aux
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
-- 1ª demostración
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
begin
  unfold limite,
  intros ε hε,
  unfold limite at ha,
  cases ha ε hε with N hN,
  use N,
  intros n hn,
  unfold subsucesion at hv,
  rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  rw hφ2,
  apply hN,
  apply le_trans hn,
  exact aux hφ1 n,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
begin
  intros ε hε,
  cases ha ε hε with N hN,
  use N,
  intros n hn,
  rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  rw hφ2,
  apply hN,
  exact le_trans hn (aux hφ1 n),
end
 
-- 3ª demostración
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
begin
  intros ε hε,
  cases ha ε hε with N hN,
  use N,
  intros n hn,
  rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  rw hφ2,
  exact hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n)),
end
 
-- 4ª demostración
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
begin
  intros ε hε,
  cases ha ε hε with N hN,
  rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  rw hφ2,
  use N,
  exact λ n hn, hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n)),
end
 
-- 5ª demostración
example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
begin
  intros ε hε,
  cases ha ε hε with N hN,
  rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  rw hφ2,
  exact ⟨N, λ n hn, hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n))⟩,
end

import data.real.basic open nat variables {u v : ℕ → ℝ} variable {a : ℝ} variable {φ : ℕ → ℕ} def extraccion (φ : ℕ → ℕ):= ∀ n m, n < m → φ n < φ m def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ notation `|`x`|` := abs x def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε -- En la demostración se usará el siguiente lema. lemma aux (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intro n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), }, end -- 1ª demostración example (hv : subsucesion v u) (ha : limite u a) : limite v a := begin unfold limite, intros ε hε, unfold limite at ha, cases ha ε hε with N hN, use N, intros n hn, unfold subsucesion at hv, rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, rw hφ2, apply hN, apply le_trans hn, exact aux hφ1 n, end -- 2ª demostración example (hv : subsucesion v u) (ha : limite u a) : limite v a := begin intros ε hε, cases ha ε hε with N hN, use N, intros n hn, rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, rw hφ2, apply hN, exact le_trans hn (aux hφ1 n), end -- 3ª demostración example (hv : subsucesion v u) (ha : limite u a) : limite v a := begin intros ε hε, cases ha ε hε with N hN, use N, intros n hn, rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, rw hφ2, exact hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n)), end -- 4ª demostración example (hv : subsucesion v u) (ha : limite u a) : limite v a := begin intros ε hε, cases ha ε hε with N hN, rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, rw hφ2, use N, exact λ n hn, hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n)), end -- 5ª demostración example (hv : subsucesion v u) (ha : limite u a) : limite v a := begin intros ε hε, cases ha ε hε with N hN, rcases hv with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, rw hφ2, exact ⟨N, λ n hn, hN (φ n) (le_trans hn (aux hφ1 n))⟩, end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition subsucesion :: "(nat ⇒ real) ⇒ (nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "subsucesion v u ⟷ (∃ φ. extraccion φ ∧ v = u ∘ φ)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
(* En la demostración se usará el siguiente lema *)
lemma aux :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
(* Demostración *)
lemma
  assumes "subsucesion v u"
          "limite u a"
  shows   "limite v a"
proof (unfold limite_def; intro allI impI)
  fix ε :: real
  assume "ε > 0"
  then obtain N where hN : "∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using assms(2) limite_def by auto
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "v = u ∘ φ"
    using assms(1) subsucesion_def by auto
  have "∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε"
  proof (intro allI impI)
    fix k
    assume "N ≤ k"
    also have "... ≤ φ k"
      by (simp add: aux hφ1)
    finally have "N ≤ φ k" .
    have "¦v k - a¦ = ¦u (φ k) - a¦"
      using hφ2 by simp
    also have "… < ε"
      using hN ‹N ≤ φ k› by simp
    finally show "¦v k - a¦ < ε" .
  qed
  then show "∃N. ∀k≥N. ¦v k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε

José A. Alonso- 31 agosto 2021

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión

   uₒ, u₂, u₄, u₆, ...

se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.

En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si a es un punto de acumulación de u, entonces

   ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
sorry

Soluciones con Lean

import data.real.basic
open nat
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
variables {a : ℝ}
variable  {φ : ℕ → ℕ}
 
def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε
 
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a
 
-- En la demostración se usarán los siguientes lemas.
 
lemma aux1
  (h : extraccion φ)
  : ∀ n, n ≤ φ n :=
begin
  intro n,
  induction n with m HI,
  { exact nat.zero_le (φ 0), },
  { apply nat.succ_le_of_lt,
    calc m ≤ φ m        : HI
       ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), },
end
 
lemma aux2
  (h : extraccion φ)
  : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N :=
λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N',
                    le_trans (le_max_left N N')
                             (aux1 h (max N N'))⟩⟩
 
-- 1ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  unfold punto_acumulacion at h,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  unfold limite at hφ2,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  clear hφ1 hφ2,
  use φ m,
  split,
  { exact hm', },
  { exact hN' m hm, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m,
  exact ⟨hm', hN' m hm⟩,
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩,
end
 
-- 4ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
begin
  intros ε hε N,
  rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩,
  cases hφ2 ε hε with N' hN',
  rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩,
  use φ m ; finish,
end
 
-- 5ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from exists.intro (φ m) (exists.intro hm2 h2)))))
 
-- 6ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε,
                  from ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 7ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                have h2 : |u (φ m) - a| < ε,
                  from hN' m hm1,
                ⟨φ m, hm2, h2⟩))))
 
-- 8ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              ( assume hm1 : m ≥ N',
                assume hm2 : φ m ≥ N,
                ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 9ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          ( assume m,
            assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N,
            exists.elim hm
              (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 10ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N,
          from aux2 hφ.1 N N',
        exists.elim h1
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 11ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      ( assume N',
        assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε,
        exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
          (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 12ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  ( assume φ,
    assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a,
    exists.elim (hφ.2 ε hε)
      (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
        (λ m hm, exists.elim hm
          (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 13ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
assume ε,
assume hε : ε > 0,
assume N,
exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))
 
-- 14ª demostración
example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε :=
λ ε hε N, exists.elim h
  (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε)
    (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N')
      (λ m hm, exists.elim hm
        (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))

import data.real.basic open nat variable {u : ℕ → ℝ} variables {a : ℝ} variable {φ : ℕ → ℕ} def extraccion (φ : ℕ → ℕ):= ∀ n m, n < m → φ n < φ m notation `|`x`|` := abs x def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a -- En la demostración se usarán los siguientes lemas. lemma aux1 (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intro n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), }, end lemma aux2 (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (aux1 h (max N N'))⟩⟩ -- 1ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε := begin intros ε hε N, unfold punto_acumulacion at h, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, unfold limite at hφ2, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, clear hφ1 hφ2, use φ m, split, { exact hm', }, { exact hN' m hm, }, end -- 2ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, use φ m, exact ⟨hm', hN' m hm⟩, end -- 3ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩, end -- 4ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, use φ m ; finish, end -- 5ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε, from exists.intro (φ m) (exists.intro hm2 h2))))) -- 6ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε, from ⟨φ m, hm2, h2⟩)))) -- 7ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, ⟨φ m, hm2, h2⟩)))) -- 8ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 9ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 10ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 11ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 12ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 13ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 14ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := λ ε hε N, exists.elim h (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩))))

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos"
imports Main HOL.Real
begin
 
definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where
  "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)"
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)"
 
(* En la demostración se usarán los siguientes lemas *)
lemma aux1 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "n ≤ φ n"
proof (induct n)
  show "0 ≤ φ 0" by simp
next
  fix n assume HI : "n ≤ φ n"
  then show "Suc n ≤ φ (Suc n)"
    using assms extraccion_def
    by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1)
qed
 
lemma aux2 :
  assumes "extraccion φ"
  shows   "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N"
proof (intro allI)
  fix N N' :: nat
  have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N"
    by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2)
  then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N"
    by blast
qed
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where hm1 : "m ≥ N'" and hm2 : "φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  have "φ m ≥ N ∧ ¦u (φ m) - a¦ < ε"
    using hN' hm1 hm2 by force
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "punto_acumulacion u a"
  shows   "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
proof (intro allI impI)
  fix ε :: real and N :: nat
  assume "ε > 0"
  obtain φ where hφ1 : "extraccion φ"
             and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a"
    using assms punto_acumulacion_def by blast
  obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε"
    using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto
  obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N"
    using aux2 hφ1 by blast
  then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε"
    using hN' by auto
qed
 
end

theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos" imports Main HOL.Real begin definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)" definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)" definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)" (* En la demostración se usarán los siguientes lemas *) lemma aux1 : assumes "extraccion φ" shows "n ≤ φ n" proof (induct n) show "0 ≤ φ 0" by simp next fix n assume HI : "n ≤ φ n" then show "Suc n ≤ φ (Suc n)" using assms extraccion_def by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1) qed lemma aux2 : assumes "extraccion φ" shows "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N" proof (intro allI) fix N N' :: nat have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N" by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2) then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N" by blast qed (* 1ª demostración *) lemma assumes "punto_acumulacion u a" shows "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real and N :: nat assume "ε > 0" obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms punto_acumulacion_def by blast obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε" using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto obtain m where hm1 : "m ≥ N'" and hm2 : "φ m ≥ N" using aux2 hφ1 by blast have "φ m ≥ N ∧ ¦u (φ m) - a¦ < ε" using hN' hm1 hm2 by force then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" by auto qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "punto_acumulacion u a" shows "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real and N :: nat assume "ε > 0" obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms punto_acumulacion_def by blast obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε" using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N" using aux2 hφ1 by blast then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" using hN' by auto qed end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las particiones definen relaciones de equivalencia

José A. Alonso- 28 agosto 2021

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada elemento de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
sorry

Soluciones con Lean

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
begin
  repeat { split },
  { intro x,
    rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
    use [A, ⟨hAP, hxA, hxA⟩], },
  { intros x y hxy,
    rcases hxy with ⟨B, hBP, ⟨hxB, hyB⟩⟩,
    use [B, ⟨hBP, hyB, hxB⟩], },
  { rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
    use B1,
    repeat { split },
    { exact hB1P, },
    { exact hxB1, },
    { convert hzB2,
      rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
      exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), }},
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL

theory Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
  proof (rule reflpI)
    fix x
    obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A"
      using assms particion_def by metis
    then show "relacion P x x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "symp (relacion P)"
  proof (rule sympI)
    fix x y
    assume "relacion P x y"
    then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using relacion_def by metis
    then show "relacion P y x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "transp (relacion P)"
  proof (rule transpI)
    fix x y z
    assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
    obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def)
    obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
      using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def)
    have "A = B"
    proof -
      obtain C where "C ∈ P"
                 and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
        using assms particion_def by metis
      then show "A = B"
        using ‹A ∈ P› ‹B ∈ P› hA hB by blast
    qed
    then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"  using hA hB by auto
    then show "relacion P x z"
      using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis
  qed
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
    using assms particion_def relacion_def
    by (metis reflpI)
next
  show "symp (relacion P)"
    using assms relacion_def
    by (metis sympI)
next
  show "transp (relacion P)"
    using assms relacion_def particion_def
    by (smt (verit) transpI)
qed
 
end

theory Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia imports Main begin definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)" definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P" (* 1ª demostración *) lemma assumes "particion P" shows "equivp (relacion P)" proof (rule equivpI) show "reflp (relacion P)" proof (rule reflpI) fix x obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A" using assms particion_def by metis then show "relacion P x x" using relacion_def by metis qed next show "symp (relacion P)" proof (rule sympI) fix x y assume "relacion P x y" then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A" using relacion_def by metis then show "relacion P y x" using relacion_def by metis qed next show "transp (relacion P)" proof (rule transpI) fix x y z assume "relacion P x y" and "relacion P y z" obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A" using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def) obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B" using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def) have "A = B" proof - obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)" using assms particion_def by metis then show "A = B" using ‹A ∈ P› ‹B ∈ P› hA hB by blast qed then have "x ∈ A ∧ z ∈ A" using hA hB by auto then show "relacion P x z" using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis qed qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "particion P" shows "equivp (relacion P)" proof (rule equivpI) show "reflp (relacion P)" using assms particion_def relacion_def by (metis reflpI) next show "symp (relacion P)" using assms relacion_def by (metis sympI) next show "transp (relacion P)" using assms relacion_def particion_def by (smt (verit) transpI) qed end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las particiones definen relaciones transitivas

José A. Alonso- 27 agosto 2021

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
sorry

Soluciones con Lean

import tactic
 
variable {X : Type}
variable (P : set (set X))
 
def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A
 
def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P
 
-- 1ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  unfold transitive,
  intros x y z h1 h2,
  unfold relacion at *,
  rcases h1 with ⟨B1, hB1P, hxB1, hyB1⟩,
  rcases h2 with ⟨B2, hB2P, hyB2, hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    have hBB1 : B = B1 := hB B1 hB1P hyB1,
    have hBB2 : B = B2 := hB B2 hB2P hyB2,
    exact eq.trans hBB1.symm hBB2, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), },
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use [B1, ⟨hB1P,
            hxB1,
            by { convert hzB2,
                 rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
                 exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm
                                (hB B2 hB2P hyB2), }⟩],
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

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Soluciones con Isabelle/HOL

theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas
imports Main
begin
 
definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    by (rule bexE)
  have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    by (rule bexE)
  have "A = B"
  proof -
    have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms
      by (simp only: particion_def)
    then obtain C where "C ∈ P"
                    and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      by (rule bexE)
    have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D"
      using hC by (rule conjunct2)
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC' by simp
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by simp
    ultimately show "A = B"
      by (rule subst)
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by simp
  then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using ‹A ∈ P› by (rule bexI)
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P›
    by (unfold relacion_def)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (meson relacion_def)
  obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (meson relacion_def)
  have "A = B"
  proof -
    obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms particion_def
      by metis
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC by auto
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by auto
    ultimately show "A = B"
      by simp
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by auto
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def
    by metis
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
  using assms particion_def relacion_def
  by (smt (verit) transpI)
 
end

theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas imports Main begin definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)" definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P" (* 1ª demostración *) lemma assumes "particion P" shows "transp (relacion P)" proof (rule transpI) fix x y z assume "relacion P x y" and "relacion P y z" have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A" using ‹relacion P x y› by (simp only: relacion_def) then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A" by (rule bexE) have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B" using ‹relacion P y z› by (simp only: relacion_def) then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B" by (rule bexE) have "A = B" proof - have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)" using assms by (simp only: particion_def) then obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)" by (rule bexE) have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D" using hC by (rule conjunct2) have "C = A" using ‹A ∈ P› hA hC' by simp moreover have "C = B" using ‹B ∈ P› hB hC by simp ultimately show "A = B" by (rule subst) qed then have "x ∈ A ∧ z ∈ A" using hA hB by simp then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A" using ‹A ∈ P› by (rule bexI) then show "relacion P x z" using ‹A = B› ‹A ∈ P› by (unfold relacion_def) qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "particion P" shows "transp (relacion P)" proof (rule transpI) fix x y z assume "relacion P x y" and "relacion P y z" obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A" using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def) obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B" using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def) have "A = B" proof - obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)" using assms particion_def by metis have "C = A" using ‹A ∈ P› hA hC by auto moreover have "C = B" using ‹B ∈ P› hB hC by auto ultimately show "A = B" by simp qed then have "x ∈ A ∧ z ∈ A" using hA hB by auto then show "relacion P x z" using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis qed (* 3ª demostración *) lemma assumes "particion P" shows "transp (relacion P)" using assms particion_def relacion_def by (smt (verit) transpI) end

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Soluciones →

El conjunto de las clases de equivalencia es una partición

José A. Alonso- 24 agosto 2021

Demostrar que si R es una relación de equivalencia en X, entonces las clases de equivalencia de R es una partición de X.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable  {X : Type}
variables {x y: X}
variable  {R : X → X → Prop}
 
def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}
 
def particion (A : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ A, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ A, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ A
 
example
  (h : equivalence R)
  : particion {a : set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
sorry

Soluciones con Lean

import tactic
 
variable  {X : Type}
variables {x y: X}
variable  {R : X → X → Prop}
 
def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}
 
def particion (A : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ A, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ A, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ A
 
lemma aux
  (h : equivalence R)
  (hxy : R x y)
  : clase R y ⊆ clase R x :=
λ z hz, h.2.2 hxy hz
 
-- 1ª demostración
example
  (h : equivalence R)
  : particion {a : set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
begin
  split,
  { simp,
    intro y,
    use (clase R y),
    split,
    { use y, },
    { split,
      { exact h.1 y, },
      { intros x hx,
        apply le_antisymm,
        { exact aux h hx, },
        { exact aux h (h.2.1 hx), }}}},
  { simp,
    intros x hx,
    have h1 : x ∈ clase R x := h.1 x,
    rw ← hx at h1,
    exact set.not_mem_empty x h1, },
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : equivalence R)
  : particion {a : set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
begin
  split,
  { simp,
    intro y,
    use (clase R y),
    split,
    { use y, },
    { split,
      { exact h.1 y, },
      { intros x hx,
        exact le_antisymm (aux h hx) (aux h (h.2.1 hx)), }}},
  { simp,
    intros x hx,
    have h1 : x ∈ clase R x := h.1 x,
    rw ← hx at h1,
    exact set.not_mem_empty x h1, },
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : equivalence R)
  : particion {a : set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
begin
  split,
  { simp,
    intro y,
    use [clase R y,
         ⟨by use y,
          ⟨h.1 y, λ x hx, le_antisymm (aux h hx) (aux h (h.2.1 hx))⟩⟩], },
  { simp,
    intros x hx,
    have h1 : x ∈ clase R x := h.1 x,
    rw ← hx at h1,
    exact set.not_mem_empty x h1, },
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

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Soluciones con Isabelle/HOL

theory El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion
imports Main
begin
 
definition clase :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a ⇒ 'a set"
  where "clase R x = {y. R x y}"
 
definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"
 
lemma
  fixes   R :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool"
  assumes "equivp R"
  shows   "particion (⋃x. {clase R x})" (is "particion ?P")
proof (unfold particion_def; intro conjI)
  show "(∀x. ∃B∈?P. x ∈ B ∧ (∀C∈?P. x ∈ C ⟶ B = C))"
  proof (intro allI)
    fix x
    have "clase R x ∈ ?P"
      by auto
    moreover have "x ∈ clase R x"
      using assms clase_def equivp_def
      by (metis CollectI)
    moreover have "∀C∈?P. x ∈ C ⟶ clase R x = C"
    proof
      fix C
      assume "C ∈ ?P"
      then obtain y where "C = clase R y"
        by auto
      show "x ∈ C ⟶ clase R x = C"
      proof
        assume "x ∈ C"
        then have "R y x"
          using ‹C = clase R y› assms clase_def
          by (metis CollectD)
        then show "clase R x = C"
          using assms ‹C = clase R y› clase_def equivp_def
          by metis
      qed
    qed
    ultimately show "∃B∈?P. x ∈ B ∧ (∀C∈?P. x ∈ C ⟶ B = C)"
      by blast
  qed
next
  show "{} ∉ ?P"
  proof
    assume "{} ∈ ?P"
    then obtain x where "{} = clase R x"
      by auto
    moreover have "x ∈ clase R x"
      using assms clase_def equivp_def
      by (metis CollectI)
    ultimately show False
      by simp
  qed
qed
 
end

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Soluciones →

Etiqueta: IH.auto

Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

La suma de los n primeros impares es n^2

El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite

Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε

Las particiones definen relaciones de equivalencia

Las particiones definen relaciones transitivas

El conjunto de las clases de equivalencia es una partición

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