Las particiones definen relaciones transitivas

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

1 2	def relacion (P : set (set X)) (x y : X) := ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

1 2	def particion (P : set (set X)) : Prop := (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic

variable {X : Type}
variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
sorry

import tactic

variable {X : Type}

variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=

∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=

(∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example

(h : particion P)

: transitive (relacion P) :=

sorry

[expand title=»Soluciones con Lean»]

import tactic

variable {X : Type}
variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

-- 1ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  unfold transitive,
  intros x y z h1 h2,
  unfold relacion at *,
  rcases h1 with ⟨B1, hB1P, hxB1, hyB1⟩,
  rcases h2 with ⟨B2, hB2P, hyB2, hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    have hBB1 : B = B1 := hB B1 hB1P hyB1,
    have hBB2 : B = B2 := hB B2 hB2P hyB2,
    exact eq.trans hBB1.symm hBB2, },
end

-- 2ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use B1,
  repeat { split },
  { exact hB1P, },
  { exact hxB1, },
  { convert hzB2,
    rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
    exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), },
end

-- 3ª demostración
example
  (h : particion P)
  : transitive (relacion P) :=
begin
  rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
  use [B1, ⟨hB1P,
            hxB1,
            by { convert hzB2,
                 rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
                 exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm
                                (hB B2 hB2P hyB2), }⟩],
end

import tactic

variable {X : Type}

variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=

∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=

(∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

-- 1ª demostración

example

(h : particion P)

: transitive (relacion P) :=

begin

unfold transitive,

intros x y z h1 h2,

unfold relacion at *,

rcases h1 with ⟨B1, hB1P, hxB1, hyB1⟩,

rcases h2 with ⟨B2, hB2P, hyB2, hzB2⟩,

use B1,

repeat { split },

{ exact hB1P, },

{ exact hxB1, },

{ convert hzB2,

rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,

have hBB1 : B = B1 := hB B1 hB1P hyB1,

have hBB2 : B = B2 := hB B2 hB2P hyB2,

exact eq.trans hBB1.symm hBB2, },

end

-- 2ª demostración

example

(h : particion P)

: transitive (relacion P) :=

begin

rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,

use B1,

repeat { split },

{ exact hB1P, },

{ exact hxB1, },

{ convert hzB2,

rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,

exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), },

end

-- 3ª demostración

example

(h : particion P)

: transitive (relacion P) :=

begin

rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,

use [B1, ⟨hB1P,

hxB1,

by { convert hzB2,

rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,

exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm

(hB B2 hB2P hyB2), }⟩],

end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas
imports Main
begin

definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"

definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"

(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    by (rule bexE)
  have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (simp only: relacion_def)
  then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    by (rule bexE)
  have "A = B"
  proof -
    have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms
      by (simp only: particion_def)
    then obtain C where "C ∈ P"
                    and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      by (rule bexE)
    have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D"
      using hC by (rule conjunct2)
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC' by simp
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by simp
    ultimately show "A = B"
      by (rule subst)
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by simp
  then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using ‹A ∈ P› by (rule bexI)
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P›
    by (unfold relacion_def)
qed

(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
proof (rule transpI)
  fix x y z
  assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
  obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using ‹relacion P x y›
    by (meson relacion_def)
  obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
    using ‹relacion P y z›
    by (meson relacion_def)
  have "A = B"
  proof -
    obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
      using assms particion_def
      by metis
    have "C = A"
      using ‹A ∈ P› hA hC by auto
    moreover have "C = B"
      using ‹B ∈ P› hB hC by auto
    ultimately show "A = B"
      by simp
  qed
  then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"
    using hA hB by auto
  then show "relacion P x z"
    using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def
    by metis
qed

(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "transp (relacion P)"
  using assms particion_def relacion_def
  by (smt (verit) transpI)

end

theory Las_particiones_definen_relaciones_transitivas

imports Main

begin

definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where

"relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"

definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where

"particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"

(* 1ª demostración *)

lemma

assumes "particion P"

shows "transp (relacion P)"

proof (rule transpI)

fix x y z

assume "relacion P x y" and "relacion P y z"

have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"

using ‹relacion P x y›

by (simp only: relacion_def)

then obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"

by (rule bexE)

have "∃B∈P. y ∈ B ∧ z ∈ B"

using ‹relacion P y z›

by (simp only: relacion_def)

then obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"

by (rule bexE)

have "A = B"

proof -

have "∃C ∈ P. y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"

using assms

by (simp only: particion_def)

then obtain C where "C ∈ P"

and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"

by (rule bexE)

have hC' : "∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D"

using hC by (rule conjunct2)

have "C = A"

using ‹A ∈ P› hA hC' by simp

moreover have "C = B"

using ‹B ∈ P› hB hC by simp

ultimately show "A = B"

by (rule subst)

qed

then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"

using hA hB by simp

then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ z ∈ A"

using ‹A ∈ P› by (rule bexI)

then show "relacion P x z"

using ‹A = B› ‹A ∈ P›

by (unfold relacion_def)

qed

(* 2ª demostración *)

lemma

assumes "particion P"

shows "transp (relacion P)"

proof (rule transpI)

fix x y z

assume "relacion P x y" and "relacion P y z"

obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"

using ‹relacion P x y›

by (meson relacion_def)

obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"

using ‹relacion P y z›

by (meson relacion_def)

have "A = B"

proof -

obtain C where "C ∈ P" and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"

using assms particion_def

by metis

have "C = A"

using ‹A ∈ P› hA hC by auto

moreover have "C = B"

using ‹B ∈ P› hB hC by auto

ultimately show "A = B"

by simp

qed

then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"

using hA hB by auto

then show "relacion P x z"

using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def

by metis

qed

(* 3ª demostración *)

lemma

assumes "particion P"

shows "transp (relacion P)"

using assms particion_def relacion_def

by (smt (verit) transpI)

end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
[/expand]

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