Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε
Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión
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1 |
uₒ, u₂, u₄, u₆, ... |
se ha obtenido con la función de extracción φ tal que φ(n) = 2*n.
En Lean, se puede definir que φ es una función de extracción por
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1 2 |
def extraccion (φ : ℕ → ℕ) := ∀ n m, n < m → φ n < φ m |
También se puede definir que a es un límite de u por
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1 2 |
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε |
Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean se puede definir por
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1 2 |
def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a |
Demostrar que si a es un punto de acumulación de u, entonces
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1 |
∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic open nat variable {u : ℕ → ℝ} variables {a : ℝ} variable {φ : ℕ → ℕ} def extraccion (φ : ℕ → ℕ):= ∀ n m, n < m → φ n < φ m notation `|`x`|` := abs x def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε := sorry |
[expand title=»Soluciones con Lean»]
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import data.real.basic open nat variable {u : ℕ → ℝ} variables {a : ℝ} variable {φ : ℕ → ℕ} def extraccion (φ : ℕ → ℕ):= ∀ n m, n < m → φ n < φ m notation `|`x`|` := abs x def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) := ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a -- En la demostración se usarán los siguientes lemas. lemma aux1 (h : extraccion φ) : ∀ n, n ≤ φ n := begin intro n, induction n with m HI, { exact nat.zero_le (φ 0), }, { apply nat.succ_le_of_lt, calc m ≤ φ m : HI ... < φ (succ m) : h m (m+1) (lt_add_one m), }, end lemma aux2 (h : extraccion φ) : ∀ N N', ∃ n ≥ N', φ n ≥ N := λ N N', ⟨max N N', ⟨le_max_right N N', le_trans (le_max_left N N') (aux1 h (max N N'))⟩⟩ -- 1ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ k ≥ N, |u k - a| < ε := begin intros ε hε N, unfold punto_acumulacion at h, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, unfold limite at hφ2, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, clear hφ1 hφ2, use φ m, split, { exact hm', }, { exact hN' m hm, }, end -- 2ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, use φ m, exact ⟨hm', hN' m hm⟩, end -- 3ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, exact ⟨φ m, hm', hN' _ hm⟩, end -- 4ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := begin intros ε hε N, rcases h with ⟨φ, hφ1, hφ2⟩, cases hφ2 ε hε with N' hN', rcases aux2 hφ1 N N' with ⟨m, hm, hm'⟩, use φ m ; finish, end -- 5ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε, from exists.intro (φ m) (exists.intro hm2 h2))))) -- 6ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, show ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε, from ⟨φ m, hm2, h2⟩)))) -- 7ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, have h2 : |u (φ m) - a| < ε, from hN' m hm1, ⟨φ m, hm2, h2⟩)))) -- 8ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm ( assume hm1 : m ≥ N', assume hm2 : φ m ≥ N, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 9ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 ( assume m, assume hm : ∃ (H : m ≥ N'), φ m ≥ N, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 10ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, have h1 : ∃ n ≥ N', φ n ≥ N, from aux2 hφ.1 N N', exists.elim h1 (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 11ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) ( assume N', assume hN' : ∀ (n : ℕ), n ≥ N' → |(u ∘ φ) n - a| < ε, exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 12ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h ( assume φ, assume hφ : extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 13ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := assume ε, assume hε : ε > 0, assume N, exists.elim h (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) -- 14ª demostración example (h : punto_acumulacion u a) : ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| < ε := λ ε hε N, exists.elim h (λ φ hφ, exists.elim (hφ.2 ε hε) (λ N' hN', exists.elim (aux2 hφ.1 N N') (λ m hm, exists.elim hm (λ hm1 hm2, ⟨φ m, hm2, hN' m hm1⟩)))) |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]
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theory "Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos" imports Main HOL.Real begin definition extraccion :: "(nat ⇒ nat) ⇒ bool" where "extraccion φ ⟷ (∀ n m. n < m ⟶ φ n < φ m)" definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)" definition punto_acumulacion :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "punto_acumulacion u a ⟷ (∃φ. extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a)" (* En la demostración se usarán los siguientes lemas *) lemma aux1 : assumes "extraccion φ" shows "n ≤ φ n" proof (induct n) show "0 ≤ φ 0" by simp next fix n assume HI : "n ≤ φ n" then show "Suc n ≤ φ (Suc n)" using assms extraccion_def by (metis Suc_leI lessI order_le_less_subst1) qed lemma aux2 : assumes "extraccion φ" shows "∀ N N'. ∃ k ≥ N'. φ k ≥ N" proof (intro allI) fix N N' :: nat have "max N N' ≥ N' ∧ φ (max N N') ≥ N" by (meson assms aux1 max.bounded_iff max.cobounded2) then show "∃k ≥ N'. φ k ≥ N" by blast qed (* 1ª demostración *) lemma assumes "punto_acumulacion u a" shows "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real and N :: nat assume "ε > 0" obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms punto_acumulacion_def by blast obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε" using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto obtain m where hm1 : "m ≥ N'" and hm2 : "φ m ≥ N" using aux2 hφ1 by blast have "φ m ≥ N ∧ ¦u (φ m) - a¦ < ε" using hN' hm1 hm2 by force then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" by auto qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "punto_acumulacion u a" shows "∀ε>0. ∀ N. ∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" proof (intro allI impI) fix ε :: real and N :: nat assume "ε > 0" obtain φ where hφ1 : "extraccion φ" and hφ2 : "limite (u ∘ φ) a" using assms punto_acumulacion_def by blast obtain N' where hN' : "∀k≥N'. ¦(u ∘ φ) k - a¦ < ε" using hφ2 limite_def ‹ε > 0› by auto obtain m where "m ≥ N' ∧ φ m ≥ N" using aux2 hφ1 by blast then show "∃k≥N. ¦u k - a¦ < ε" using hN' by auto qed end |
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
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