Propiedad de monotonía de la intersección
Demostrar que la intersección es monótona por la izquierda; es decir, si s ⊆ t, entonces s ∩ u ⊆ t ∩ u.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.set.basic open set variable {α : Type} variables s t u : set α example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.set.basic import tactic open set variable {α : Type} variables s t u : set α -- 1ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := begin rw subset_def, rw inter_def, rw inter_def, dsimp, intros x h1, cases h1 with xs xu, split, { rw subset_def at h, apply h, exact xs, }, { exact xu, }, end -- 2ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := begin rw [subset_def, inter_def, inter_def], dsimp, rintros x ⟨xs, xu⟩, rw subset_def at h, exact ⟨h x xs, xu⟩, end -- 3ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := begin simp only [subset_def, inter_def, inter_def], rintros x ⟨xs, xu⟩, rw subset_def at h, exact ⟨h _ xs, xu⟩, end -- 4ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := begin intros x xsu, exact ⟨h xsu.1, xsu.2⟩, end -- 5ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := begin rintros x ⟨xs, xu⟩, exact ⟨h xs, xu⟩, end -- 6ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := -- by library_search inter_subset_inter_left u h -- 7ª demostración -- =============== example (h : s ⊆ t) : s ∩ u ⊆ t ∩ u := by tidy |
El código de las demostraciones se encuentra en GitHub y puede ejecutarse con el Lean Web editor.
La construcción de las demostraciones se muestra en el siguiente vídeo
Soluciones con Isabelle/HOL
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theory Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion imports Main begin (* 1ª solución *) lemma assumes "s ⊆ t" shows "s ∩ u ⊆ t ∩ u" proof (rule subsetI) fix x assume hx: "x ∈ s ∩ u" have xs: "x ∈ s" using hx by (simp only: IntD1) then have xt: "x ∈ t" using assms by (simp only: subset_eq) have xu: "x ∈ u" using hx by (simp only: IntD2) show "x ∈ t ∩ u" using xt xu by (simp only: Int_iff) qed (* 2 solución *) lemma assumes "s ⊆ t" shows "s ∩ u ⊆ t ∩ u" proof fix x assume hx: "x ∈ s ∩ u" have xs: "x ∈ s" using hx by simp then have xt: "x ∈ t" using assms by auto have xu: "x ∈ u" using hx by simp show "x ∈ t ∩ u" using xt xu by simp qed (* 3ª solución *) lemma assumes "s ⊆ t" shows "s ∩ u ⊆ t ∩ u" using assms by auto (* 4ª solución *) lemma "s ⊆ t ⟹ s ∩ u ⊆ t ∩ u" by auto end |
