Si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva
Demostrar que si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic open function variables {A : Type*} {B : Type*} {C : Type*} variables {f : A → B} {g : B → C} example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := sorry |
Soluciones con Lean
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import tactic open function variables {A : Type*} {B : Type*} {C : Type*} variables {f : A → B} {g : B → C} -- 1ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := begin assume x : A, assume y : A, assume h1: (g ∘ f) x = (g ∘ f) y, have h2: g (f x) = g (f y) := h1, have h3: f x = f y := hg h2, show x = y, by exact hf h3, end -- 2ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := begin intros x y h, apply hf, apply hg, apply h, end -- 3ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := λ x y h, hf (hg h) -- 4ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := -- by library_search injective.comp hg hf -- 5ª demostración -- =============== example (hg : injective g) (hf : injective f) : injective (g ∘ f) := -- by hint by tauto |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
