Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a·1 = a
Demostrar con Lean4 que si \(G\) es un grupo y \(a \in G\), entonces
\[a·1 = a\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Group.Defs variable {G : Type _} [Group G] variable (a b : G) example : a * 1 = a := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Se tiene por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
a·1 &= a·(a⁻¹·a) &&\text{[por producto con inverso]} \\
&= (a·a⁻¹)·a &&\text{[por asociativa]} \\
&= 1·a &&\text{[por producto con inverso]} \\
&= a &&\text{[por producto con uno]}
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Group.Defs variable {G : Type _} [Group G] variable (a b : G) -- 1ª demostración example : a * 1 = a := calc a * 1 = a * (a⁻¹ * a) := by rw [mul_left_inv] _ = (a * a⁻¹) * a := by rw [mul_assoc] _ = 1 * a := by rw [mul_right_inv] _ = a := by rw [one_mul] -- 2ª demostración example : a * 1 = a := calc a * 1 = a * (a⁻¹ * a) := by simp _ = (a * a⁻¹) * a := by simp _ = 1 * a := by simp _ = a := by simp -- 3ª demostración example : a * 1 = a := by simp -- 4ª demostración example : a * 1 = a := by exact mul_one a |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 12.
