El producto de dos funciones impares es par
Demostrar con Lean4 que el producto de dos funciones impares es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- (esImpar f) expresa que f es impar. def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = - f (-x) example (h1 : esImpar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f * g) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Supongamos que \(f\) y \(g\) son funciones impares. Tenemos que demostrar que \(f·g\) es par; es decir, que
\[ (∀ x ∈ ℝ) (f·g)(x) = (f·g)(-x) \]
Sea \(x ∈ ℝ\). Entonces,
\begin{align}
(f·g)(x) &= f(x)g(x) \\
&= (-f(-x))g(x) &&\text{[porque \(f\) es impar]} \\
&= (-f(-x)(-g(-x)) &&\text{[porque \(g\) es impar]} \\
&= f(-x)g(-x)) \\
&= (f·g)(-x)
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- (esImpar f) expresa que f es impar. def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = - f (-x) -- 1ª demostración example (h1 : esImpar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f * g) := by intro x have h1 : f x = -f (-x) := h1 x have h2 : g x = -g (-x) := h2 x calc (f * g) x = f x * g x := rfl _ = (-f (-x)) * g x := congrArg (. * g x) h1 _ = (-f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg ((-f (-x)) * .) h2 _ = f (-x) * g (-x) := neg_mul_neg (f (-x)) (g (-x)) _ = (f * g) (-x) := rfl -- 2ª demostración example (h1 : esImpar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f * g) := by intro x calc (f * g) x = f x * g x := rfl _ = (-f (-x)) * g x := congrArg (. * g x) (h1 x) _ = (-f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg ((-f (-x)) * .) (h2 x) _ = f (-x) * g (-x) := neg_mul_neg (f (-x)) (g (-x)) _ = (f * g) (-x) := rfl -- 3ª demostración example (h1 : esImpar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f * g) := by intro x calc (f * g) x = f x * g x := rfl _ = -f (-x) * -g (-x) := by rw [h1, h2] _ = f (-x) * g (-x) := by rw [neg_mul_neg] _ = (f * g) (-x) := rfl -- 4ª demostración example (h1 : esImpar f) (h2 : esImpar g) : esPar (f * g) := by intro x calc (f * g) x = f x * g x := rfl _ = f (-x) * g (-x) := by rw [h1, h2, neg_mul_neg] _ = (f * g) (-x) := rfl -- Lemas usados -- ============ -- variable (a b : ℝ) -- #check (neg_mul_neg a b : -a * -b = a * b) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.
