La suma de dos funciones pares es par
Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones pares es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) example (h1 : esPar f) (h2 : esPar g) : esPar (f + g) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Supongamos que \(f\) y \(g\) son funciones pares. Tenemos que demostrar que \(f+g\) es par; es decir, que
\[ (∀ x ∈ ℝ) [(f + g)(x) = (f + g)(-x)] \]
Sea \(x ∈ ℝ\). Entonces,
\begin{align}
(f + g) x &= f(x) + g(x) \\
&= f(-x) + g(x) &&\text{[porque \(f\) es par]} \\
&= f(-x) + g(-x) &&\text{[porque \(g\) es par]} \\
&= (f + g)(-x)
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- (esPar f) expresa que f es par. def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (h1 : esPar f) (h2 : esPar g) : esPar (f + g) := by intro x have h1 : f x = f (-x) := h1 x have h2 : g x = g (-x) := h2 x calc (f + g) x = f x + g x := rfl _ = f (-x) + g x := congrArg (. + g x) h1 _ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) h2 _ = (f + g) (-x) := rfl -- 2ª demostración -- =============== example (h1 : esPar f) (h2 : esPar g) : esPar (f + g) := by intro x calc (f + g) x = f x + g x := rfl _ = f (-x) + g x := congrArg (. + g x) (h1 x) _ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) (h2 x) _ = (f + g) (-x) := rfl -- 3ª demostración -- =============== example (h1 : esPar f) (h2 : esPar g) : esPar (f + g) := by intro x calc (f + g) x = f x + g x := rfl _ = f (-x) + g (-x) := by rw [h1, h2] _ = (f + g) (-x) := rfl |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.
