El producto de una función par por una impar es impar
La función f de ℝ en ℝ es par si, para todo x, f(-x) = f(x) y es impar si, para todo x, f(-x) -f(x).
Demostrar que el producto de una función par por una impar es impar.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := sorry |
Soluciones con Lean
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import data.real.basic variables (f g : ℝ → ℝ) def par (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = f (-x) def impar (f : ℝ → ℝ) : Prop := ∀ x, f x = -f (-x) -- 1ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, have h1 : f x = f (-x) := hf x, have h2 : g x = -g (-x) := hg x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = (f (-x)) * g x : congr_arg (* g x) h1 ... = (f (-x)) * (-g (-x)) : congr_arg ((*) (f (-x))) h2 ... = -(f (-x) * g (-x)) : mul_neg (f (-x)) (g (-x)) ... = -(f * g) (-x) : rfl, end -- 2ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = f (-x) * -g (-x) : by rw [hf, hg] ... = -(f (-x) * g (-x)) : by rw mul_neg ... = -(f * g) (-x) : rfl end -- 3ª demostración -- =============== example (hf : par f) (hg : impar g) : impar (f * g) := begin intro x, calc (f * g) x = f x * g x : rfl ... = -(f (-x) * g (-x)) : by rw [hf, hg, neg_mul_eq_mul_neg] ... = -((λ x, f x * g x) (-x)) : rfl end |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.
