La composición de dos funciones monótonas es monótona
Demostrar con Lean4 que la composición de dos funciones monótonas es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones monótonas de \(ℝ\) en \(ℝ\). Tenemos que demostrar que \(f ∘ g\) es monótona; es decir, que
\[ (∀ a, b ∈ ℝ) [a ≤ b → (f ∘ g)(a) ≤ (f ∘ g)(b)] \]
Sean \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\). Por ser \(g\) monótona, se tiene
\[ g(a) ≤ g(b) \]
y, por ser f monótona, se tiene
\[ f(g(a)) ≤ f(g(b)) \]
Finalmente, por la definición de composición,
\[ (f ∘ g)(a) ≤ (f ∘ g)(b) \]
que es lo que había que demostrar.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f g : ℝ → ℝ) -- 1ª demostración example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := by have h1 : ∀ a b, a ≤ b → (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b { intros a b hab have h1 : g a ≤ g b := mg hab show (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b exact mf h1 } show Monotone (f ∘ g) exact h1 -- 2ª demostración example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := by have h1 : ∀ a b, a ≤ b → (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b { intros a b hab show (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b exact mf (mg hab) } show Monotone (f ∘ g) exact h1 -- 3ª demostración example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := by -- a b : ℝ -- hab : a ≤ b intros a b hab -- (f ∘ g) a ≤ (f ∘ g) b apply mf -- g a ≤ g b apply mg -- a ≤ b apply hab -- 4ª demostración example (mf : Monotone f) (mg : Monotone g) : Monotone (f ∘ g) := λ _ _ hab ↦ mf (mg hab) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.
