Si c es no negativo y f es monótona, entonces cf es monótona
Demostrar con Lean4 que si \(c\) es no negativo y \(f\) es monótona, entonces \(cf\) es monótona.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable {c : ℝ} example (mf : Monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : Monotone (fun x ↦ c * f x) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Se usará el Lema
\[ \{b ≤ c, 0 ≤ a\} ⊢ ab ≤ ac \tag{L1} \]
Tenemos que demostrar que
\[ (∀ a, b ∈ ℝ) [a ≤ b → (cf)(a) ≤ (cf)(b)] \]
Sean \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\). Puesto que \(f\) es monótona, se tiene
\[ f(a) ≤ f(b) \]
y, junto con la hipótesis de que \(c\) es no negativo, usando el lema L1, se tiene que
\[ cf(a) ≤ cf(b) \]
que es lo que había que demostrar.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic variable (f : ℝ → ℝ) variable {c : ℝ} -- 1ª demostración example (mf : Monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : Monotone (fun x ↦ c * f x) := by have h1 : ∀ a b, a ≤ b → (fun x ↦ c * f x) a ≤ (fun x ↦ c * f x) b { intros a b hab have h2 : f a ≤ f b := mf hab show (fun x ↦ c * f x) a ≤ (fun x ↦ c * f x) b exact mul_le_mul_of_nonneg_left h2 nnc } show Monotone (fun x ↦ c * f x) exact h1 -- 2ª demostración example (mf : Monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : Monotone (fun x ↦ c * f x) := by -- a b : ℝ -- hab : a ≤ b intros a b hab -- (fun x => c * f x) a ≤ (fun x => c * f x) b apply mul_le_mul_of_nonneg_left . -- f a ≤ f b apply mf hab . -- 0 ≤ c apply nnc -- 3ª demostración example (mf : Monotone f) (nnc : 0 ≤ c) : Monotone (fun x ↦ c * f x) := λ _ _ hab ↦ mul_le_mul_of_nonneg_left (mf hab) nnc -- Lemas usados -- ============ -- variable (a b : ℝ) -- #check (mul_le_mul_of_nonneg_left : b ≤ c → 0 ≤ a → a * b ≤ a * c) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.
