Si ≤ es un preorden, entonces < es transitiva
Demostrar con Lean4 que si \(≤\) es un preorden, entonces \(<\) es transitiva.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} [Preorder α] variable (a b c : α) example : a < b → b < c → a < c := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Se usará la siguiente propiedad de los preórdenes
\[ (∀ a, b)[a < b ↔ a ≤ b ∧ b ≰ a] \]
Con dicha propiedad, lo que tenemos que demostrar se transforma en
\[ a ≤ b ∧ b ≰ a → b ≤ c ∧ c ≰ b → a ≤ c ∧ c ≰ a \]
Para demostrarla, supongamos que
\begin{align}
&a ≤ b \tag{(1)} \\
&b ≰ a \tag{(2)} \\
&b ≤ c \tag{(3)} \\
&c ≰ b \tag{(4)}
\end{align}
y tenemos que demostrar las siguientes relaciones
\begin{align}
&a ≤ c \tag{(5)} \\
&c ≰ a \tag{(6)}
\end{align}
La (5) se tiene aplicando la propiedad transitiva a (1) y (3).
Para demostrar la (6), supongamos que
\[ c ≤ a \tag{(7)} \]
entonces, junto a la (1), por la propieda transitiva se tiene
\[ c ≤ b \]
que es una contradicción con la (4).
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Tactic variable {α : Type _} [Preorder α] variable (a b c : α) -- 1ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := by simp only [lt_iff_le_not_le] -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩ -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a constructor . -- ⊢ a ≤ c exact le_trans h1 h3 . -- ⊢ ¬c ≤ a contrapose! h4 -- h4 : c ≤ a -- ⊢ c ≤ b exact le_trans h4 h1 -- 2ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := by simp only [lt_iff_le_not_le] -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩ -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a constructor . -- ⊢ a ≤ c exact le_trans h1 h3 . -- ⊢ ¬c ≤ a rintro (h5 : c ≤ a) -- ⊢ False have h6 : c ≤ b := le_trans h5 h1 show False exact h4 h6 -- 3ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := by simp only [lt_iff_le_not_le] -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩ -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a constructor . -- ⊢ a ≤ c exact le_trans h1 h3 . -- ⊢ ¬c ≤ a exact fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1) -- 4ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := by simp only [lt_iff_le_not_le] -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩ -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a exact ⟨le_trans h1 h3, fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1)⟩ -- 5ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := by simp only [lt_iff_le_not_le] -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a exact fun ⟨h1, _h2⟩ ⟨h3, h4⟩ ↦ ⟨le_trans h1 h3, fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1)⟩ -- 6ª demostración -- =============== example : a < b → b < c → a < c := lt_trans -- Lemas usados -- ============ -- #check (lt_iff_le_not_le : a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a) -- #check (le_trans : a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c) -- #check (lt_trans : a < b → b < c → a < c) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 38.
