Problema – Vestigium

El problema de las sucesiones llenas en Haskell

PorJosé A. Alonso 16 septiembre 2013

En las Olimpiadas de Matemáticas del 2002 se propuso el siguiente problema

Sea n un entero positivo. Una sucesión de n enteros positivos (no necesariamente distintos) se llama “llena” si verifica la siguiente condición: para cada entero positivo k ≥ 2, si el número k aparece en la sucesión, entonces también lo hace el número k-1 y, además, la primera ocurrencia de k-1 es anterior a la última ocurrencia de k. Para cada n, ¿cuántas sucesiones llenas existen?

En la siguiente relación de ejercicios, elaborada para la asignatura de Informática (de 1º del Grado en Matemáticas), se estudia con Haskell el problema.
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Problema sobre números naturales

PorJosé A. Alonso 7 diciembre 20108 marzo 2013

El enunciado del problema de Gaussianos de hoy es el siguiente:

Sea $n>1$ un número natural. Si denotamos como $\lfloor k \rfloor$ a la parte entera del número real $k$ (es decir, el mayor número entero menor o igual que $k$ ), demostrar que existe un único natural $\text{[math]}$ x < n^2[/latex] tal que [latex] \lfloor n^2/x+1 \rfloor[/latex] es divisible por [latex]n[/latex]. Indicar también el valor de [latex]x[/latex].

El problema ha servido de base para la siguiente relación de ejercicios, para el curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas, en la que se conjetura la respuesta con Haskell y se comprueba con QuickCheck.
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El problema de los números felices

PorJosé A. Alonso 3 agosto 20108 marzo 2013

1. El problema de los números felices

Según la Wikipedia, un número feliz se define por el siguiente proceso. Se comienza reemplazando el número por la suma del cuadrado de sus cifras y se repite el proceso hasta que se obtiene el número 1 o se entra en un ciclo que no contiene al 1. Aquellos números para los que el proceso termina en 1 se llaman números felices y los que entran en un ciclo sin 1 se llaman números desgraciados.

Por ejemplo, 7 es un número feliz porque

  7 ~> 7^2                              =  49
     ~> 4^2 + 9^2          = 16 + 81    =  97
     ~> 9^2 + 7^2          = 81 + 49    = 130
     ~> 1^2 + 3^2 + 0^2    =  1 + 9 + 0 =  10
     ~> 1^2 + 0^2          =  1 + 0     =   1

7 ~> 7^2 = 49

~> 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97

~> 9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130

~> 1^2 + 3^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 10

~> 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Pero 17 es un número desgraciado porque

   17 ~> 1^2 + 7^2           =  1 + 49        =  50
       ~> 5^2 + 0^2          = 25 +  0        =  25
       ~> 2^2 + 5^2          =  4 + 25        =  29
       ~> 2^2 + 9^2          =  4 + 81        =  85
       ~> 8^2 + 5^2          = 64 + 25        =  89
       ~> 8^2 + 9^2          = 64 + 81        = 145
       ~> 1^2 + 4^2 + 5^2    =  1 + 16 + 25   =  42
       ~> 4^2 + 2^2          = 16 +  4        =  20
       ~> 2^2 + 0^2          =  4 +  0        =   4
       ~> 4^2                                 =  16
       ~> 1^2 + 6^2          = 1 + 36         =  37
       ~> 3^2 + 7^2          = 9 + 49         =  58
       ~> 5^2 + 8^2          = 25 + 64        =  89

17 ~> 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50

~> 5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25

~> 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29

~> 2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85

~> 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89

~> 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145

~> 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42

~> 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20

~> 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4

~> 4^2 = 16

~> 1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37

~> 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58

~> 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89

que forma un bucle al repetirse el 89.

El objetivo del ejercicio es definir una función que calcule todos los números felices hasta un límite dado.
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