El problema de las sucesiones llenas en Haskell
En las Olimpiadas de Matemáticas del 2002 se propuso el siguiente problema
Sea n un entero positivo. Una sucesión de n enteros positivos (no necesariamente distintos) se llama “llena” si verifica la siguiente condición: para cada entero positivo k ≥ 2, si el número k aparece en la sucesión, entonces también lo hace el número k-1 y, además, la primera ocurrencia de k-1 es anterior a la última ocurrencia de k. Para cada n, ¿cuántas sucesiones llenas existen?
En la siguiente relación de ejercicios, elaborada para la asignatura de Informática (de 1º del Grado en Matemáticas), se estudia con Haskell el problema.
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import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- § 1ª solución (por fuerza bruta) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- primera :: Eq a => a -> [a] -> Int -- tal que (primera x ys) es la posición de la primera -- ocurrencia de x en ys. Por ejemplo, -- primera 5 [3,2,5,7,5,4] == 2 -- primera 9 [3,2,5,7,5,4] == 6 -- --------------------------------------------------------------------- primera :: Eq a => a -> [a] -> Int primera x ys = length (takeWhile (/=x) ys) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- ultima :: Eq a => a -> [a] -> Int -- tal que (ultima x ys) es la posición de la última -- ocurrencia de x en ys. Por ejemplo, -- ultima 5 [3,2,5,7,5,4] == 4 -- ultima 9 [3,2,5,7,5,4] == -1 -- --------------------------------------------------------------------- ultima :: Eq a => a -> [a] -> Int ultima x ys = length ys - primera x (reverse ys) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- esLlena :: [Int] -> Bool -- tal que (esLlena xs) se verifica si la sucesión xs es llena. Por -- ejemplo, -- esLlena [1,2,2,3] == True -- esLlena [1,2,1,2,3] == True -- esLlena [1,2,2,4] == False -- esLlena [1,2,2,4,3] == False -- esLlena [1,2,3,2,4] == True -- --------------------------------------------------------------------- esLlena :: [Int] -> Bool esLlena ns = and [cond k ns | k <- numeros ns] where numeros = nub . filter (>=2) cond k ns | k `elem` ns = (k-1) `elem` ns && primera (k-1) ns < ultima k ns | otherwise = True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden -- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo, -- ghci> variacionesR 1 "ab" -- ["a","b"] -- ghci> variacionesR 2 "ab" -- ["aa","ab","ba","bb"] -- ghci> variacionesR 3 "ab" -- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"] -- --------------------------------------------------------------------- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]] variacionesR _ [] = [[]] variacionesR 0 _ = [[]] variacionesR k xs = [z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- sucesiones :: Int -> [[Int]] -- tal que (sucesiones n) es la lista de las sucesiones de longitud n -- formada por los n primeros números. Por ejemplo, -- ghci> sucesiones 2 -- [[1,1],[1,2],[2,1],[2,2]] -- ghci> sucesiones 3 -- [[1,1,1],[1,1,2],[1,1,3],[1,2,1],[1,2,2],[1,2,3], -- [1,3,1],[1,3,2],[1,3,3],[2,1,1],[2,1,2],[2,1,3], -- [2,2,1],[2,2,2],[2,2,3],[2,3,1],[2,3,2],[2,3,3], -- [3,1,1],[3,1,2],[3,1,3],[3,2,1],[3,2,2],[3,2,3], -- [3,3,1],[3,3,2],[3,3,3]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesiones :: Int -> [[Int]] sucesiones n = variacionesR n [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- sucesionesLlenas :: Int -> [[Int]] -- tal que (sucesionesLlenas n) es la lista de las sucesiones llenas de -- longitud n. Por ejemplo, -- ghci> sucesionesLlenas 1 -- [[1]] -- ghci> sucesionesLlenas 2 -- [[1,1],[1,2]] -- ghci> sucesionesLlenas 3 -- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1], -- [1,2,2],[1,2,3],[2,1,2]] -- ghci> sucesionesLlenas 4 -- [[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2], -- [1,1,2,3],[1,2,1,1],[1,2,1,2],[1,2,1,3], -- [1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,2,3],[1,2,3,1], -- [1,2,3,2],[1,2,3,3],[1,2,3,4],[1,3,2,3], -- [2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,2,3], -- [2,1,3,2],[2,2,1,2],[2,3,1,2],[3,1,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionesLlenas :: Int -> [[Int]] sucesionesLlenas n = [xs | xs <- sucesiones n, esLlena xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Calcular el número de sucesiones llenas de longitud n, -- para n entre 1 y 5. Conjeturar dicho número para cualquier n. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- length (sucesionesLlenas 1) == 1 -- length (sucesionesLlenas 2) == 2 -- length (sucesionesLlenas 3) == 6 -- length (sucesionesLlenas 4) == 24 -- length (sucesionesLlenas 5) == 120 -- La conjetura es que el número de sucesiones llenas de longitud n es -- n!. -- --------------------------------------------------------------------- -- § 2ª solución (por recursión) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- reducida :: [Int] -> [Int] -- tal que (reducida xs) es la sucesión obtenida eliminando en xs la -- primera ocurrencia de su mayor elemento. Por ejemplo, -- reducida [2,5,3,5] == [2,3,5] -- reducida [7,2,5,3,5] == [2,5,3,5] -- --------------------------------------------------------------------- reducida :: [Int] -> [Int] reducida xs = take i xs ++ drop (i+1) xs where k = maximum xs i = primera k xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- invariante :: [Int] -> Bool -- tal que (invariante xs) se verifica si la propiedad de ser llena se -- mantiene por las reducciones; es decir, si xs es llena entonces -- (reducida xs) también lo es. -- --------------------------------------------------------------------- invariante :: [Int] -> Bool invariante xs | esLlena xs = esLlena (reducida xs) | otherwise = True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- invariantes :: Int -> Bool -- tal que (invariantes n) se verifica si para todas las sucesiones xs -- llenas de longitud n se cumple (invariante xs). -- --------------------------------------------------------------------- invariantes :: Int -> Bool invariantes n = all invariante (sucesionesLlenas n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Comprobar (invariantes n) para n entre 1 y 5. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> invariantes 1 -- True -- ghci> invariantes 2 -- True -- ghci> invariantes 3 -- True -- ghci> invariantes 4 -- True -- ghci> invariantes 5 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- expansion :: [Int] -> Int -> [Int] -- tal que (expansion xs i) es la sucesión llena obtenida añadiendo un -- elemento en la posición i a la sucesión llena xs. Por ejemplo, -- ghci> [expansion [1,2,3] i | i <- [0..3]] -- [[3,1,2,3],[1,3,2,3],[1,2,3,3],[1,2,3,4]] -- --------------------------------------------------------------------- expansion :: [Int] -> Int -> [Int] expansion xs i | esLlena ys = ys | otherwise = as ++ (k:bs) where (as,bs) = splitAt i xs k = maximum xs ys = as ++ ((k+1):bs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- expansiones :: [Int] -> [[Int]] -- tal que (expansiones xs) son las listas llenas obtenidas añadiendo un -- elemento a las sucesiones llenas xs. Por ejemplo, -- ghci> expansiones [1,1,1] -- [[1,1,1,1],[1,2,1,1],[1,1,2,1],[1,1,1,2]] -- ghci> expansiones [1,1,2] -- [[2,1,1,2],[1,2,1,2],[1,1,2,2],[1,1,2,3]] -- ghci> expansiones [1,2,1] -- [[2,1,2,1],[1,2,2,1],[1,2,3,1],[1,2,1,3]] -- ghci> expansiones [1,2,2] -- [[2,1,2,2],[1,2,2,2],[1,2,3,2],[1,2,2,3]] -- ghci> expansiones [1,2,3] -- [[3,1,2,3],[1,3,2,3],[1,2,3,3],[1,2,3,4]] -- ghci> expansiones [2,1,2] -- [[2,2,1,2],[2,3,1,2],[2,1,3,2],[2,1,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- expansiones :: [Int] -> [[Int]] expansiones xs = [expansion xs i | i <- [0..length xs]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir recursivamente la función -- sucesionesLlenas2 :: Int -> [[Int]] -- tal que (sucesionesLlenas2 n) es la lista de las sucesiones llenas de -- longitud n. Por ejemplo, -- ghci> sucesionesLlenas2 1 -- [[1]] -- ghci> sucesionesLlenas2 2 -- [[1,1],[1,2]] -- ghci> sucesionesLlenas2 3 -- [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,2], -- [2,1,2],[1,2,2],[1,2,3]] -- ghci> sucesionesLlenas2 4 -- [[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,2], -- [1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,2], -- [2,1,1,2],[1,2,1,2],[1,1,2,2],[1,1,2,3], -- [2,2,1,2],[2,2,1,2],[2,1,2,2],[2,1,2,3], -- [2,1,2,2],[1,2,2,2],[1,2,2,2],[1,2,2,3], -- [3,1,2,3],[1,3,2,3],[1,2,3,3],[1,2,3,4]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionesLlenas2 :: Int -> [[Int]] sucesionesLlenas2 0 = [[]] sucesionesLlenas2 1 = [[1]] sucesionesLlenas2 n = concat [expansiones xs | xs <- sucesionesLlenas2 (n-1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- equivalentes :: Int -> Bool -- tal que (equivalentes n) se verifica si los conjuntos -- (sucesionesLlenas n) y (sucesionesLlenas2 n) son iguales. Por -- ejemplo, -- equivalentes 3 == True -- --------------------------------------------------------------------- equivalentes :: Int -> Bool equivalentes n = sort (sucesionesLlenas n) == sort (sucesionesLlenas2 n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar la equivalencia de las definiciones de -- sucesionesLlenas y sucesionesLlenas2 para n entre 1 y 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> all equivalentes [1..6] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- § 3ª solución (mediante correspondencia con las permutaciones) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- segmentosDecrecientes :: [Int] -> [[Int]] -- tal que (segmentosDecrecientes xs) es la lista de los segmentos -- decrecientes de xs. Por ejemplo, -- ghci> segmentosDecrecientes [7,4,5,3,6,2,1] -- [[7,4],[5,3],[6,2,1]] -- --------------------------------------------------------------------- segmentosDecrecientes :: [Int] -> [[Int]] segmentosDecrecientes (x1:x2:xs) | x1 > x2 = (x1:ys):yss | otherwise = [x1]:(ys:yss) where (ys:yss) = segmentosDecrecientes (x2:xs) segmentosDecrecientes [x] =[[x]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- elementosConPosiciones :: [[a]] -> [(a,Int)] -- tal que (elementosConPosiciones xss) es la lista de los elementos de -- las listas de xss etiquetados con su posición. Por ejemplo, -- ghci> elementosConPosiciones [[7,4],[5,3],[6,2,1]] -- [(7,1),(4,1),(5,2),(3,2),(6,3),(2,3),(1,3)] -- --------------------------------------------------------------------- elementosConPosiciones :: [[a]] -> [(a,Int)] elementosConPosiciones xss = concatMap aux (zip xss [1..]) where aux (xs,k) = [(x,k) | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- segundosOrdenados :: Ord a => [(a,Int)] -> [Int] -- tal que (segundosOrdenados ps) es la lista de las segundas componentes de -- los pares ps ordenada según las primeras componentes. Por ejemplo, -- ghci> segundosOrdenados [(7,1),(4,1),(5,2),(3,2),(6,3),(2,3),(1,3)] -- [3,3,2,1,2,3,1] -- --------------------------------------------------------------------- segundosOrdenados :: Ord a => [(a,Int)] -> [Int] segundosOrdenados ps = [k | (x,k) <- sort ps] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. A cada permutación se le puede hacer corresponder una -- sucesión llena utilizando los ejercicios anteriores. Por ejemplo, -- dada la permutación [7,4,5,3,6,2,1] se calcula sus segmentos -- decrecientes -- ghci> segmentosDecrecientes [7,4,5,3,6,2,1] -- [[7,4],[5,3],[6,2,1]] -- se etiquetan los segmentos con las posiciones -- ghci> elementosConPosiciones [[7,4],[5,3],[6,2,1]] -- [(7,1),(4,1),(5,2),(3,2),(6,3),(2,3),(1,3)] -- y se calcula los segundos elementos ordenados por los primeros -- ghci> segundosOrdenados [(7,1),(4,1),(5,2),(3,2),(6,3),(2,3),(1,3)] -- [3,3,2,1,2,3,1] -- -- Definir la función -- permutacionAllena:: [Int] -> [Int] -- tal que (permutacionAllena xs) es la sucesión llena obtenida a partir -- de la permutación xs según el procedimiento anterior. Por ejemplo, -- permutacionAllena [7,4,5,3,6,2,1] == [3,3,2,1,2,3,1] -- --------------------------------------------------------------------- permutacionAllena:: [Int] -> [Int] permutacionAllena = segundosOrdenados . elementosConPosiciones . segmentosDecrecientes -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Comprobar que para cualquier permutación xs de los -- elementos 1,2,3,4 se tiene que (permutacionAllena xs) es una sucesión -- llena. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> all esLlena [permutacionAllena xs | xs <- permutations [1..4]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir, usando permutacionAllena, la función -- sucesionesLlenas3 :: Int -> [[Int]] -- tal que (sucesionesLlenas3 n) es la lista de las sucesiones llenas de -- longitud n. Por ejemplo, -- ghci> sucesionesLlenas3 1 -- [[1]] -- ghci> sucesionesLlenas3 2 -- [[1,2],[1,1]] -- ghci> sucesionesLlenas3 3 -- [[1,2,3],[1,1,2],[1,1,1],[2,1,2],[1,2,1],[1,2,2]] -- ghci> sucesionesLlenas3 4 -- [[1,2,3,4],[1,1,2,3],[1,1,1,2],[2,1,2,3],[1,2,1,3],[1,2,2,3], -- [1,1,1,1],[2,2,1,2],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[3,1,2,3], -- [1,2,3,1],[1,2,3,2],[1,2,3,3],[1,1,2,1],[2,1,3,2],[1,1,2,2], -- [1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,3,2,3],[1,2,1,1],[2,3,1,2],[1,2,1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionesLlenas3 :: Int -> [[Int]] sucesionesLlenas3 n = map permutacionAllena (permutations [1..n]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- equivalentes23 :: Int -> Bool -- tal que (equivalentes23 n) se verifica si los conjuntos -- (sucesionesLlenas2 n) y (sucesionesLlenas3 n) son iguales. Por -- ejemplo, -- equivalentes23 3 == True -- --------------------------------------------------------------------- equivalentes23 :: Int -> Bool equivalentes23 n = sort (sucesionesLlenas2 n) == sort (sucesionesLlenas3 n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Comprobar la equivalencia de las definiciones de -- sucesionesLlenas2 y sucesionesLlenas3 para n entre 1 y 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> all equivalentes23 [1..6] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- posiciones :: Eq a => a -> [a] -> [Int] -- tal que (posiciones y xs) es la lista de las posiciones del elemento -- y en la lista xs. Por ejemplo, -- posiciones 3 [3,3,2,1,2,3,1] == [1,2,6] -- --------------------------------------------------------------------- posiciones :: Eq a => a -> [a] -> [Int] posiciones y xs = [i | (x,i) <- zip xs [1..], x == y] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. A cada sucesión llena se el puede asignar una -- permutación como se muestra en el siguiente ejemplo. -- -- Dada una sucesión llena [3,3,2,1,2,3,1], se calculan las posiciones -- de sus elementos -- posiciones 1 [3,3,2,1,2,3,1] == [4,7] -- posiciones 2 [3,3,2,1,2,3,1] == [3,5] -- posiciones 3 [3,3,2,1,2,3,1] == [1,2,6] -- y se concatena sus inversas: -- [7,4] ++ [5,3] ++ [6,2,1] == [7,4,5,3,6,2,1] -- -- Definir la función -- llenaApermutacion :: [Int] -> [Int] -- tal que (llenaApermutacion xs) es la permutación llena obtenida -- aplicándole a la permutación xs el proceso anterior. Por ejemplo, -- llenaApermutacion [3,3,2,1,2,3,1] == [7,4,5,3,6,2,1] -- --------------------------------------------------------------------- llenaApermutacion :: [Int] -> [Int] llenaApermutacion xs = concat [reverse (posiciones y xs) | y <- [1..maximum xs]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Comprobar que las funciones permutacionAllena y -- llenaApermutacion son inversas para todas las permutaciones de [1..4] -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> :{ -- *Main| and [llenaApermutacion (permutacionAllena xs) == xs | -- *Main| xs <- permutations [1..4]] -- *Main| :} -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Definir, por recursión, la función -- permutacionAllena2 :: [Int] -> [Int] -- tal que (permutacionAllena2 xs) es la sucesión llena correspondiente -- a la permutación xs. Por ejemplo, -- permutacionAllena2 [7,4,5,3,6,2,1] == [3,3,2,1,2,3,1] -- --------------------------------------------------------------------- permutacionAllena2 :: [Int] -> [Int] permutacionAllena2 xs = aux (tail xs) (head xs) 1 [(head xs,1)] where aux [] _ _ ps = segundosOrdenados ps aux (x:xs) y k ps | x < y = aux xs x k ((x,k):ps) | otherwise = aux xs x (k+1) ((x,k+1):ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Definir, usando permutacionAllena2, la función -- sucesionesLlenas4 :: Int -> [[Int]] -- tal que (sucesionesLlenas4 n) es la lista de las sucesiones llenas de -- longitud n. Por ejemplo, -- ghci> sucesionesLlenas4 1 -- [[1]] -- ghci> sucesionesLlenas4 2 -- [[1,2],[1,1]] -- ghci> sucesionesLlenas4 3 -- [[1,2,3],[1,1,2],[1,1,1],[2,1,2],[1,2,1],[1,2,2]] -- ghci> sucesionesLlenas4 4 -- [[1,2,3,4],[1,1,2,3],[1,1,1,2],[2,1,2,3],[1,2,1,3],[1,2,2,3], -- [1,1,1,1],[2,2,1,2],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[3,1,2,3], -- [1,2,3,1],[1,2,3,2],[1,2,3,3],[1,1,2,1],[2,1,3,2],[1,1,2,2], -- [1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,3,2,3],[1,2,1,1],[2,3,1,2],[1,2,1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesionesLlenas4 :: Int -> [[Int]] sucesionesLlenas4 n = map permutacionAllena2 (permutations [1..n]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30. Definir la función -- equivalentes34 :: Int -> Bool -- tal que (equivalentes23 n) se verifica si los conjuntos -- (sucesionesLlenas3 n) y (sucesionesLlenas4 n) son iguales. Por -- ejemplo, -- equivalentes34 3 == True -- --------------------------------------------------------------------- equivalentes34 :: Int -> Bool equivalentes34 n = sort (sucesionesLlenas3 n) == sort (sucesionesLlenas4 n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 31. Comprobar la equivalencia de las definiciones de -- sucesionesLlenas3 y sucesionesLlenas4 para n entre 1 y 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> all equivalentes34 [1..6] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 32. Comparar el tiempo necesario para calcular las -- sucesiones llenas de longitud n (para n igual a 7 y 10) usando las 4 -- definiciones. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comparación es -- ghci> :set +s -- ghci> length (sucesionesLlenas 7) -- 5040 -- (14.66 secs, 1576034020 bytes) -- ghci> length (sucesionesLlenas2 7) -- 5040 -- (0.04 secs, 3618916 bytes) -- ghci> length (sucesionesLlenas3 7) -- 5040 -- (0.00 secs, 1554660 bytes) -- ghci> length (sucesionesLlenas4 7) -- 5040 -- (0.00 secs, 1551664 bytes) -- -- ghci> length (sucesionesLlenas2 10) -- 3628800 -- (21.79 secs, 2532086220 bytes) -- ghci> length (sucesionesLlenas3 10) -- 3628800 -- (0.65 secs, 706143740 bytes) -- ghci> length (sucesionesLlenas4 10) -- 3628800 -- (0.64 secs, 706143760 bytes) |