El problema de los números felices
1. El problema de los números felices
Según la Wikipedia, un número feliz se define por el siguiente proceso. Se comienza reemplazando el número por la suma del cuadrado de sus cifras y se repite el proceso hasta que se obtiene el número 1 o se entra en un ciclo que no contiene al 1. Aquellos números para los que el proceso termina en 1 se llaman números felices y los que entran en un ciclo sin 1 se llaman números desgraciados.
Por ejemplo, 7 es un número feliz porque
1 2 3 4 5 |
7 ~> 7^2 = 49 ~> 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 ~> 9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130 ~> 1^2 + 3^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 10 ~> 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1 |
Pero 17 es un número desgraciado porque
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
17 ~> 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50 ~> 5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25 ~> 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 ~> 2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85 ~> 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89 ~> 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145 ~> 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42 ~> 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 ~> 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4 ~> 4^2 = 16 ~> 1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37 ~> 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58 ~> 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 |
que forma un bucle al repetirse el 89.
El objetivo del ejercicio es definir una función que calcule todos los números felices hasta un límite dado.
2. Ejercicio de los números felices en Haskell
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- cifras :: (Read a, Integral a) => a -> [a] -- tal que (cifras n) es la lista de las cifras de n. Por ejemplo, -- cifras 325 == [3,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- cifras :: (Read a, Integral a) => a -> [a] cifras n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- caminoALaFelicidad :: (Read a, Integral a) => a -> [a] -- tal que (caminoALaFelicidad n) es la lista de los números obtenidos -- en el proceso de la determinación si n es un número feliz: se -- comienza con la lista [n], ampliando la lista con la suma del -- cuadrado de las cifras de su primer elemento y se repite el proceso -- hasta que se obtiene el número 1 o se entra en un ciclo que no -- contiene al 1. Por ejemplo, -- *Main> caminoALaFelicidad 7 -- [1,10,130,97,49,7] -- *Main> caminoALaFelicidad 17 -- [89,58,37,16,4,20,42,145,89,85,29,25,50,17] -- --------------------------------------------------------------------- caminoALaFelicidad :: (Read a, Integral a) => a -> [a] caminoALaFelicidad n = f [n] where f vs@(x:xs) | x == 1 = vs | elem x xs = vs | otherwise = f ((sum [y^2 | y <- cifras x]):vs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- esFeliz :: (Read a, Integral a) => a -> Bool -- tal que (esFeliz n) se verifica si n es un número feliz. Por ejemplo, -- esFeliz 7 == True -- esFeliz 17 == False -- --------------------------------------------------------------------- esFeliz :: (Read a, Integral a) => a -> Bool esFeliz n = head (caminoALaFelicidad n) == 1 -- -------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- numerosFelices :: (Read a, Integral a) => a -> [a] -- tal que (numerosFelices n) es la lista de los números felices menores -- que n. Por ejemplo, -- numerosFelices 50 == [1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49] -- --------------------------------------------------------------------- numerosFelices :: (Read a, Integral a) => a -> [a] numerosFelices n = [x | x <- [1..n-1], esFeliz x] |
3. Ejercicio de los números felices en Maxima
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/* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función cifras tal que cifras(n) es la lista de las cifras de n. Por ejemplo, cifras(325) = [3,2,5] ------------------------------------------------------------------ */ cifras(n) := cifrasAux(n,[])$ cifrasAux(n,xs) := if n<10 then cons(n,xs) else cifrasAux(quotient(n,10),cons(mod(n,10),xs))$ /* Un ejemplo del cálculo con la traza es (%i26) trace(all); (%o26) [cifras, cifrasAux] (%i27) cifras(325); 1 Enter cifras [325] 1 Enter cifrasAux [325, []] 2 Enter cifrasAux [32, [5]] 3 Enter cifrasAux [3, [2, 5]] 3 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 2 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 1 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 1 Exit cifras [3, 2, 5] (%o27) [3, 2, 5] (%i28) untrace; (%o28) untrace */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función caminoALaFelicidad tal que caminoALaFelicidad(n) es la lista de los números obtenidos en el proceso de la determinación si n es un número feliz: se comienza con la lista [n], ampliando la lista con la suma del cuadrado de las cifras de su primer elemento y se repite el proceso hasta que se obtiene el número 1 o se entra en un ciclo que no contiene al 1. Por ejemplo, (%i1) caminoALaFelicidad(7); (%o1) [1, 10, 130, 97, 49, 7] (%i2) caminoALaFelicidad(17); (%o2) [89, 58, 37, 16, 4, 20, 42, 145, 89, 85, 29, 25, 50, 17] ------------------------------------------------------------------ */ caminoALaFelicidad(n) := caminoALaFelicidadAux([n])$ caminoALaFelicidadAux(vs) := block([x:first(vs), xs:rest(vs)], if is(x=1) then vs elseif member(x,xs) then vs else caminoALaFelicidadAux(cons(lsum(y^2,y,cifras(x)),vs)))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función esFeliz tal que esFeliz(n) se verifica si n es un número feliz. Por ejemplo, esFeliz(7) = true esFeliz(17) = false ------------------------------------------------------------------ */ esFeliz(n) := is(first(caminoALaFelicidad(n)) = 1)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función numerosFelices tal que numerosFelices(n) es la lista de los números felices menores que n. Por ejemplo, numerosFelices(50) = [1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49] ------------------------------------------------------------------ */ numerosFelices(n) := reverse(numerosFelicesAux(n-1))$ numerosFelicesAux(n) := if is(n=0) then [] elseif esFeliz(n) then cons(n,numerosFelicesAux(n-1)) else numerosFelicesAux(n-1)$ /* La definición recursiva terminal es */ numerosFelices2(n) := numerosFelices2Aux(n-1,[])$ numerosFelices2Aux(n,xs) := if is(n=0) then xs elseif esFeliz(n) then numerosFelices2Aux(n-1,cons(n,xs)) else numerosFelices2Aux(n-1,xs)$ /* La definición iterativa es */ numerosFelices3(n) := block([xs:[]], for x:n-1 step -1 thru 1 do (if esFeliz(x) then xs:cons(x,xs)), xs)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Compilar todas las funciones anteriores. ------------------------------------------------------------------ */ compile(all)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Calcular el tiempo necesario para calcular la cantidad de números felices hasta 500, 1000 y 2000 con cada una de las 3 definiciones de numerosFelices. ------------------------------------------------------------------ */ /* La sesión es (%i1) showtime:true$ Evaluation took 0.0000 seconds (0.0000 elapsed) (%i2) length(numerosFelices(500)); Evaluation took 0.4800 seconds (0.5100 elapsed) (%o2) 76 (%i3) length(numerosFelices2(500)); Evaluation took 0.4400 seconds (0.4500 elapsed) (%o3) 76 (%i4) length(numerosFelices3(500)); Evaluation took 0.4900 seconds (0.5000 elapsed) (%o4) 76 (%i5) length(numerosFelices(1000)); Evaluation took 0.9100 seconds (0.9000 elapsed) (%o6) 142 (%i6) length(numerosFelices2(1000)); Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow. (%i7) length(numerosFelices3(1000)); Evaluation took 1.0100 seconds (1.0200 elapsed) (%o7) 142 (%i8) length(numerosFelices(2000)); Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow. (%i9) length(numerosFelices3(2000)); Evaluation took 1.9600 seconds (1.9600 elapsed) (%o9) 298 (%i10) showtime:false$ En resumen x | Def. 1 | Def. 2 | Def. 3 -----+--------+--------+-------- 500 | 0.48 | 0.44 | 0.49 1000 | 0.91 | error | 1.01 2000 | error | error | 1.96 */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Definir la función puntos tal que puntos(a) es la lista de los pares [x,y] tales que x es un número de la forma 100*n con n entre 1 y a e y es la cantidad de números felices menores que x. Por ejemplo, (%i1) puntos(5); (%o1) [[100,19],[200,32],[300,44],[400,66],[500,76]] ------------------------------------------------------------------ */ puntos(a) := makelist([x,length(numerosFelices3(x))],x,makelist(100*n,n,1,a))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Cargar la librería de inferencia estadística. ------------------------------------------------------------------ */ load("stats")$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Definir la función regresion tal que regresion(n) que es la recta de regresión para los puntos(n). Por ejemplo, (%i1) regresion(5); (%o1) 0.148 x + 3.000000000000036 Indicación: Usar la función simple_linear_regression de la librería stats. ------------------------------------------------------------------ */ regresion(n) := take_inference(model,simple_linear_regression(puntos(n))); /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Calcular los valores de puntos(10) y regresion(10). ------------------------------------------------------------------ */ /* El cálculo es (%i1) puntos(10); (%o1) [[100,19],[200,32],[300,44],[400,66],[500,76],[600,81], [700,100],[800,111],[900,124],[1000,142]] (%i2) regresion(10); (%o2) 0.13290909090909 x + 6.399999999999992 */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 11. Dibujar en una figura los puntos de puntos(10) y la recta regresion(10). ------------------------------------------------------------------ */ plot2d([[discrete,puntos(10)],regresion(10)], [x,100,1000], [style,points,lines], [gnuplot_term,png], [gnuplot_out_file,"NumerosFelices_1.png"])$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función cifras tal que cifras(n) es la lista de las cifras de n. Por ejemplo, cifras(325) = [3,2,5] ------------------------------------------------------------------ */ cifras(n) := cifrasAux(n,[])$ cifrasAux(n,xs) := if n<10 then cons(n,xs) else cifrasAux(quotient(n,10),cons(mod(n,10),xs))$ /* Un ejemplo del cálculo con la traza es (%i26) trace(all); (%o26) [cifras, cifrasAux] (%i27) cifras(325); 1 Enter cifras [325] 1 Enter cifrasAux [325, []] 2 Enter cifrasAux [32, [5]] 3 Enter cifrasAux [3, [2, 5]] 3 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 2 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 1 Exit cifrasAux [3, 2, 5] 1 Exit cifras [3, 2, 5] (%o27) [3, 2, 5] (%i28) untrace; (%o28) untrace */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función caminoALaFelicidad tal que caminoALaFelicidad(n) es la lista de los números obtenidos en el proceso de la determinación si n es un número feliz: se comienza con la lista [n], ampliando la lista con la suma del cuadrado de las cifras de su primer elemento y se repite el proceso hasta que se obtiene el número 1 o se entra en un ciclo que no contiene al 1. Por ejemplo, (%i1) caminoALaFelicidad(7); (%o1) [1, 10, 130, 97, 49, 7] (%i2) caminoALaFelicidad(17); (%o2) [89, 58, 37, 16, 4, 20, 42, 145, 89, 85, 29, 25, 50, 17] ------------------------------------------------------------------ */ caminoALaFelicidad(n) := caminoALaFelicidadAux([n])$ caminoALaFelicidadAux(vs) := block([x:first(vs), xs:rest(vs)], if is(x=1) then vs elseif member(x,xs) then vs else caminoALaFelicidadAux(cons(lsum(y^2,y,cifras(x)),vs)))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función esFeliz tal que esFeliz(n) se verifica si n es un número feliz. Por ejemplo, esFeliz(7) = true esFeliz(17) = false ------------------------------------------------------------------ */ esFeliz(n) := is(first(caminoALaFelicidad(n)) = 1)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función numerosFelices tal que numerosFelices(n) es la lista de los números felices menores que n. Por ejemplo, numerosFelices(50) = [1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49] ------------------------------------------------------------------ */ numerosFelices(n) := reverse(numerosFelicesAux(n-1))$ numerosFelicesAux(n) := if is(n=0) then [] elseif esFeliz(n) then cons(n,numerosFelicesAux(n-1)) else numerosFelicesAux(n-1)$ /* La definición recursiva terminal es */ numerosFelices2(n) := numerosFelices2Aux(n-1,[])$ numerosFelices2Aux(n,xs) := if is(n=0) then xs elseif esFeliz(n) then numerosFelices2Aux(n-1,cons(n,xs)) else numerosFelices2Aux(n-1,xs)$ /* La definición iterativa es */ numerosFelices3(n) := block([xs:[]], for x:n-1 step -1 thru 1 do (if esFeliz(x) then xs:cons(x,xs)), xs)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Compilar todas las funciones anteriores. ------------------------------------------------------------------ */ compile(all)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Calcular el tiempo necesario para calcular la cantidad de números felices hasta 500, 1000 y 2000 con cada una de las 3 definiciones de numerosFelices. ------------------------------------------------------------------ */ /* La sesión es (%i1) showtime:true$ Evaluation took 0.0000 seconds (0.0000 elapsed) (%i2) length(numerosFelices(500)); Evaluation took 0.4800 seconds (0.5100 elapsed) (%o2) 76 (%i3) length(numerosFelices2(500)); Evaluation took 0.4400 seconds (0.4500 elapsed) (%o3) 76 (%i4) length(numerosFelices3(500)); Evaluation took 0.4900 seconds (0.5000 elapsed) (%o4) 76 (%i5) length(numerosFelices(1000)); Evaluation took 0.9100 seconds (0.9000 elapsed) (%o6) 142 (%i6) length(numerosFelices2(1000)); Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow. (%i7) length(numerosFelices3(1000)); Evaluation took 1.0100 seconds (1.0200 elapsed) (%o7) 142 (%i8) length(numerosFelices(2000)); Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow. (%i9) length(numerosFelices3(2000)); Evaluation took 1.9600 seconds (1.9600 elapsed) (%o9) 298 (%i10) showtime:false$ En resumen x | Def. 1 | Def. 2 | Def. 3 -----+--------+--------+-------- 500 | 0.48 | 0.44 | 0.49 1000 | 0.91 | error | 1.01 2000 | error | error | 1.96 */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Definir la función puntos tal que puntos(a) es la lista de los pares [x,y] tales que x es un número de la forma 100*n con n entre 1 y a e y es la cantidad de números felices menores que x. Por ejemplo, (%i1) puntos(5); (%o1) [[100,19],[200,32],[300,44],[400,66],[500,76]] ------------------------------------------------------------------ */ puntos(a) := makelist([x,length(numerosFelices3(x))],x,makelist(100*n,n,1,a))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Cargar la librería de inferencia estadística. ------------------------------------------------------------------ */ load("stats")$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Definir la función regresion tal que regresion(n) que es la recta de regresión para los puntos(n). Por ejemplo, (%i1) regresion(5); (%o1) 0.148 x + 3.000000000000036 Indicación: Usar la función simple_linear_regression de la librería stats. ------------------------------------------------------------------ */ regresion(n) := take_inference(model,simple_linear_regression(puntos(n))); /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Calcular los valores de puntos(10) y regresion(10). ------------------------------------------------------------------ */ /* El cálculo es (%i1) puntos(10); (%o1) [[100,19],[200,32],[300,44],[400,66],[500,76],[600,81], [700,100],[800,111],[900,124],[1000,142]] (%i2) regresion(10); (%o2) 0.13290909090909 x + 6.399999999999992 */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 11. Dibujar en una figura los puntos de puntos(10) y la recta regresion(10). ------------------------------------------------------------------ */ plot2d([[discrete,puntos(10)],regresion(10)], [x,100,1000], [style,points,lines], [gnuplot_term,png], [gnuplot_out_file,"NumerosFelices_1.png"])$ |
4. Comentarios
He actualizado el libro Introducción al Cálculo simbólico con Maxima y le he añadido el problema de los números felices.
Una tarea pendiente es estudiar el problema de los números felices en un sistema de razonamiento automático (ACL2, Isabelle, PVS). Para ello, hay que demostrar la terminación de la función caminoALaFelicidad. Pienso que en ninguno de los tres sistemas, la prueba de la terminación es automática.
Referencias
Este ejercicio se basa en el artículo Happy Numbers publicado el 23 de julio de 2010 en ProgrammingPraxis y su respuesta en Bonsai.