Lógica – Página 5

LMF2017: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

PorJosé A. Alonso 9 febrero 201810 febrero 2018

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha explicado la sintaxis de la lógica proposicional insistiendo en el carácter inductivo del tipo de datos de las fórmulas proposicionales, del procedimiento de definiciones por recursión sobre las fórmulas y de demostración de propiedades por inducción sobre las fórmulas.

Finalmente, se ha iniciado el estudio de la semántica de la lógica proposicional definiendo los booleanos, las interpretaciones, las funciones de verdad de las conectivas y mostrando cómo a partir de dichos conceptos se puede calcular el valor de verdad de una fórmula respecto de una interpretación.

A partir de lo anterior se han estudiado los modelos de fórmulas, la clasificación semántica de fórmulas (satisfacibles, insatisfacibles, tautologías, contradictorias y contingentes), los problemas SAT y TAUT. Finalmente, se han visto dos algoritmos para la solución de los problemas SAT y TAUT: tablas de verdad y método de Quine.

Otros conceptos definidos son equivalencia de fórmulas, modelos de conjuntos de fórmulas, conjuntos consistentes e inconsistentes y consecuencia lógica.

Finalmente, se ha hecho un ejemplo de formalización usando APLI2

Las transparencias de esta clase son las páginas 1-30 del tema 1.

LMF2017: Presentación del curso de “Lógica matemática y fundamentos”

PorJosé A. Alonso 6 febrero 20186 febrero 2019

En la clase de hoy, se ha presentado el curso Lógica matemática y fundamentos siguiendo el plan de la asignatura. Se ha comentado el contenido de la asignatura, el sistema de evaluación y los materiales de la asignatura en la Red:

I1M2017: Programa en Haskell para reconocer tautologías

PorJosé A. Alonso 24 noviembre 201725 noviembre 2017

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha estudiado cómo construir un programa para determinar si una fórmula es una tautología.

Para ello se consideran las siguientes fases:

definir un tipo de dato algebraico para las fórmulas proposicionales,
definir un tipo de dato para las interpretaciones,
definir una función para calcular los valores de las fórmulas en las interpretaciones
definir una función para generar todas las posibles interpretaciones de una fórmula y
definir una función que para decidir si una fórmula es tautología (es decir, su valor es verdadero en todas sus interpretaciones).

Los apuntes correspondientes a la clase son

El código correspondiente es
Read More “I1M2017: Programa en Haskell para reconocer tautologías”

LMF2017: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL

PorJosé A. Alonso 22 febrero 201723 febrero 2017

En la segunda parte de la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha continuado el estudio de la deducción natural en la lógica proposicional con Isabelle/HOL.

La teoría Isabelle correspondiente es

lemma ejemplo_1_6:
  assumes "p ∧ q" 
      and "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof (rule conjI)
  show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
next
  show "r" using assms(2) by this
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la
    regla r,
  · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente
    subobjetivo,
  · "this" para indicar el hecho actual. *}
 
text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_7:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof 
  show "q" using assms(1) ..
next
  show "r" using assms(2) . 
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "." para indicar por el hecho actual. *}
 
subsection {* Reglas de la doble negación *}
 
text {*
  La regla de eliminación de la doble negación es
  · notnotD: ¬¬ P ⟹ P
 
  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de
  introducción de la doble negación
  · notnotI: P ⟹ ¬¬ P
  aunque, de momento, no detallamos su demostración.
*}
 
lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 2. (p. 5)
       p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_2_1:
  assumes 1: "p" and
          2: "¬¬(q ∧ r)" 
  shows      "¬¬p ∧ r"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)
  have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)
  have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)
  show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)
qed        
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_2_2:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof -
  have  "¬¬p" using assms(1) ..
  have  "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
  hence "r" ..
  with `¬¬p` show  "¬¬p ∧ r" ..
qed        
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior,
  · `...` para referenciar un hecho y
  · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el
    hecho P se demuestra Q. *}
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_2_3:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
using assms
by auto
 
text {* Se puede demostrar hacia atrás *}
 
lemma ejemplo_2_4:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof  (rule conjI)
  show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" by (rule conjunct2)
qed 
 
text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como
  sigue: *}
 
lemma ejemplo_2_5:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof 
  show "¬¬p" using assms(1) ..
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" .. 
qed
 
subsection {* Regla de eliminación del condicional *}
 
text {*
  La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens
  · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
*}
 
text {* 
  Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que
     ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_3_1:
  assumes 1: "¬p ∧ q" and 
          2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows      "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_3_2:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_3_3:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que
     p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_4_1:
  assumes 1: "p" and 
          2: "p ⟶ q" and 
          3: "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
  have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)
  show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_4_2:
  assumes "p"
          "p ⟶ q"
          "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have "q" using assms(2,1) .. 
  have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..
  thus "r" using `q` ..
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_4_3:
  "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"
by auto
 
subsection {* Regla derivada del modus tollens *}
 
text {*
  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus
  tollens
  · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F 
  aunque, de momento, sin detallar su demostración.
*}
 
lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar
     p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_5_1:
  assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 
          2: "p" and 
          3: "¬r" 
  shows "¬q"
proof -
  have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)
  show "¬q" using 4 3 by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_5_2:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
proof -
  have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..
  thus "¬q" using assms(3) by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_5_3:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar 
     ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_6_1:
  assumes 1: "¬p ⟶ q" and 
          2: "¬q" 
  shows "p"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)
  show "p" using 3 by (rule notnotD)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_6_2:
  assumes "¬p ⟶ q"
          "¬q" 
  shows   "p"
proof -
  have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)
  thus "p" by (rule notnotD)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_6_3:
  "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar
     p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p
  *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_1:
  assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 
          2: "q" 
  shows "¬p"
proof -
  have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)
  show "¬p" using 1 3 by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_2:
  assumes "p ⟶ ¬q"
          "q" 
  shows   "¬p"
proof -
  have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)
  with assms(1) show "¬p" by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_7_3:
  "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"
by auto
 
subsection {* Regla de introducción del condicional *}
 
text {*
  La regla de introducción del condicional es
  · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
*}
 
text {* 
  Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar
     p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_8_1:
  assumes 1: "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
  { assume 2: "¬q"
    have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } 
  thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed    
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "{ ... }" para representar una caja. *}
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_8_2:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof 
  assume "¬q"
  with assms show "¬p" by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_8_3:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar
     ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_9_1: 
  assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
proof -
  { assume 2: "p"
    have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)
    have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } 
  thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_9_2:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows    "p ⟶ ¬¬q"   
proof 
  assume "p"
  hence "¬¬p" by (rule notnotI)
  with assms show "¬¬q" by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_9_3:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar
     ⊢ p ⟶ p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_10_1:
  "p ⟶ p"
proof -
  { assume 1: "p"
    have "p" using 1 by this }
  thus "p ⟶ p" by (rule impI) 
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_10_2:
  "p ⟶ p"
proof (rule impI)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_10_3:
  "p ⟶ p"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar
     ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_11_1:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof -
  { assume 1: "q ⟶ r"
    { assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
      { assume 3: "p"
        have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
        have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
        have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
        have "r" using 1 6 by (rule mp) } 
      hence "p ⟶ r" by (rule impI) } 
    hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } 
  thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)
qed
 
-- "La demostración hacia atrás es"
lemma ejemplo_11_2:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof (rule impI)
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof (rule impI)
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 by (rule mp)
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"
lemma ejemplo_11_3:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 ..
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 ..
    qed
  qed
qed

end

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lemma ejemplo_1_6:

assumes "p ∧ q"

and "r"

shows "q ∧ r"

proof (rule conjI)

show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)

show "r" using assms(2) by this

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la

regla r,

· "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente

subobjetivo,

· "this" para indicar el hecho actual. *}

text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}

lemma ejemplo_1_7:

assumes "p ∧ q"

"r"

shows "q ∧ r"

proof

show "q" using assms(1) ..

show "r" using assms(2) .

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "." para indicar por el hecho actual. *}

subsection {* Reglas de la doble negación *}

text {*

La regla de eliminación de la doble negación es

· notnotD: ¬¬ P ⟹ P

Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de

introducción de la doble negación

· notnotI: P ⟹ ¬¬ P

aunque, de momento, no detallamos su demostración.

lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"

by auto

text {*

Ejemplo 2. (p. 5)

p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_2_1:

assumes 1: "p" and

2: "¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof -

have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)

have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)

have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)

show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_2_2:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof -

have "¬¬p" using assms(1) ..

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

hence "r" ..

with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" ..

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior,

· `...` para referenciar un hecho y

· "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el

hecho P se demuestra Q. *}

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_2_3:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

using assms

by auto

text {* Se puede demostrar hacia atrás *}

lemma ejemplo_2_4:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof (rule conjI)

show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

thus "r" by (rule conjunct2)

qed

text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como

sigue: *}

lemma ejemplo_2_5:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof

show "¬¬p" using assms(1) ..

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

thus "r" ..

qed

subsection {* Regla de eliminación del condicional *}

text {*

La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens

· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q

text {*

Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que

¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_3_1:

assumes 1: "¬p ∧ q" and

2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

proof -

show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_3_2:

assumes "¬p ∧ q"

"¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

proof -

show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_3_3:

assumes "¬p ∧ q"

"¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que

p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_4_1:

assumes 1: "p" and

2: "p ⟶ q" and

3: "p ⟶ (q ⟶ r)"

shows "r"

proof -

have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)

have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)

show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_4_2:

assumes "p"

"p ⟶ q"

"p ⟶ (q ⟶ r)"

shows "r"

proof -

have "q" using assms(2,1) ..

have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..

thus "r" using `q` ..

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_4_3:

"⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"

by auto

subsection {* Regla derivada del modus tollens *}

text {*

Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus

tollens

· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F

aunque, de momento, sin detallar su demostración.

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"

by auto

text {*

Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar

p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_5_1:

assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and

2: "p" and

3: "¬r"

shows "¬q"

proof -

have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)

show "¬q" using 4 3 by (rule mt)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_5_2:

assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"

"p"

"¬r"

shows "¬q"

proof -

have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..

thus "¬q" using assms(3) by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_5_3:

assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"

"p"

"¬r"

shows "¬q"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar

¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_6_1:

assumes 1: "¬p ⟶ q" and

2: "¬q"

shows "p"

proof -

have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)

show "p" using 3 by (rule notnotD)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_6_2:

assumes "¬p ⟶ q"

"¬q"

shows "p"

proof -

have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)

thus "p" by (rule notnotD)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_6_3:

"⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"

by auto

text {*

Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar

p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_7_1:

assumes 1: "p ⟶ ¬q" and

2: "q"

shows "¬p"

proof -

have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)

show "¬p" using 1 3 by (rule mt)

qed

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_7_2:

assumes "p ⟶ ¬q"

"q"

shows "¬p"

proof -

have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)

with assms(1) show "¬p" by (rule mt)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_7_3:

"⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"

by auto

subsection {* Regla de introducción del condicional *}

text {*

La regla de introducción del condicional es

· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q

text {*

Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar

p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_8_1:

assumes 1: "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

proof -

{ assume 2: "¬q"

have "¬p" using 1 2 by (rule mt) }

thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "{ ... }" para representar una caja. *}

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_8_2:

assumes "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

proof

assume "¬q"

with assms show "¬p" by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_8_3:

assumes "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar

¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_9_1:

assumes 1: "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

proof -

{ assume 2: "p"

have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)

have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) }

thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_9_2:

assumes "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

proof

assume "p"

hence "¬¬p" by (rule notnotI)

with assms show "¬¬q" by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_9_3:

assumes "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar

⊢ p ⟶ p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_10_1:

"p ⟶ p"

proof -

{ assume 1: "p"

have "p" using 1 by this }

thus "p ⟶ p" by (rule impI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_10_2:

"p ⟶ p"

proof (rule impI)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_10_3:

"p ⟶ p"

by auto

text {*

Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar

⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_11_1:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof -

{ assume 1: "q ⟶ r"

{ assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

{ assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

have "r" using 1 6 by (rule mp) }

hence "p ⟶ r" by (rule impI) }

hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) }

thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)

qed

-- "La demostración hacia atrás es"

lemma ejemplo_11_2:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof (rule impI)

assume 1: "q ⟶ r"

show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"

proof (rule impI)

assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

show "p ⟶ r"

proof (rule impI)

assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

show "r" using 1 6 by (rule mp)

qed

-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"

lemma ejemplo_11_3:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof

assume 1: "q ⟶ r"

show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"

proof

assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

show "p ⟶ r"

proof

assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 ..

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

show "r" using 1 6 ..

qed

end

LMF2017: Ejercicios de deducción natural proposicional con Pandora

PorJosé A. Alonso 22 febrero 201723 febrero 2017

En la primera parte de la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se han comentado las soluciones propuestas para los ejercicios de la relación 2.

Se ha explicado las soluciones en la pizarra y con Pandora.