LMF2017: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha continuado el estudio de la deducción natural en la lógica proposicional con Isabelle/HOL.
La teoría Isabelle correspondiente es
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lemma ejemplo_1_6: assumes "p ∧ q" and "r" shows "q ∧ r" proof (rule conjI) show "q" using assms(1) by (rule conjunct2) next show "r" using assms(2) by this qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la regla r, · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente subobjetivo, · "this" para indicar el hecho actual. *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_7: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof show "q" using assms(1) .. next show "r" using assms(2) . qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "." para indicar por el hecho actual. *} subsection {* Reglas de la doble negación *} text {* La regla de eliminación de la doble negación es · notnotD: ¬¬ P ⟹ P Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de introducción de la doble negación · notnotI: P ⟹ ¬¬ P aunque, de momento, no detallamos su demostración. *} lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P" by auto text {* Ejemplo 2. (p. 5) p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_2_1: assumes 1: "p" and 2: "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI) have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD) have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2) show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_2_2: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have "¬¬p" using assms(1) .. have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) hence "r" .. with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior, · `...` para referenciar un hecho y · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el hecho P se demuestra Q. *} -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_2_3: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" using assms by auto text {* Se puede demostrar hacia atrás *} lemma ejemplo_2_4: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof (rule conjI) show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI) next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" by (rule conjunct2) qed text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como sigue: *} lemma ejemplo_2_5: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof show "¬¬p" using assms(1) .. next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" .. qed subsection {* Regla de eliminación del condicional *} text {* La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q *} text {* Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_3_1: assumes 1: "¬p ∧ q" and 2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_3_2: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_3_3: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_4_1: assumes 1: "p" and 2: "p ⟶ q" and 3: "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have 4: "q" using 2 1 by (rule mp) have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp) show 6: "r" using 5 4 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_4_2: assumes "p" "p ⟶ q" "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have "q" using assms(2,1) .. have "q ⟶ r" using assms(3,1) .. thus "r" using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_4_3: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" by auto subsection {* Regla derivada del modus tollens *} text {* Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus tollens · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F aunque, de momento, sin detallar su demostración. *} lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by auto text {* Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_1: assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 2: "p" and 3: "¬r" shows "¬q" proof - have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp) show "¬q" using 4 3 by (rule mt) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_2: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" proof - have "q ⟶ r" using assms(1,2) .. thus "¬q" using assms(3) by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_1: assumes 1: "¬p ⟶ q" and 2: "¬q" shows "p" proof - have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt) show "p" using 3 by (rule notnotD) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_2: assumes "¬p ⟶ q" "¬q" shows "p" proof - have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt) thus "p" by (rule notnotD) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_3: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" by auto text {* Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_1: assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 2: "q" shows "¬p" proof - have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI) show "¬p" using 1 3 by (rule mt) qed -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_2: assumes "p ⟶ ¬q" "q" shows "¬p" proof - have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI) with assms(1) show "¬p" by (rule mt) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_7_3: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" by auto subsection {* Regla de introducción del condicional *} text {* La regla de introducción del condicional es · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q *} text {* Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof - { assume 2: "¬q" have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "{ ... }" para representar una caja. *} -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof assume "¬q" with assms show "¬p" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_9_1: assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof - { assume 2: "p" have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI) have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_9_2: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof assume "p" hence "¬¬p" by (rule notnotI) with assms show "¬¬q" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_9_3: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar ⊢ p ⟶ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_10_1: "p ⟶ p" proof - { assume 1: "p" have "p" using 1 by this } thus "p ⟶ p" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_10_2: "p ⟶ p" proof (rule impI) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_10_3: "p ⟶ p" by auto text {* Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_11_1: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof - { assume 1: "q ⟶ r" { assume 2: "¬q ⟶ ¬p" { assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) have "r" using 1 6 by (rule mp) } hence "p ⟶ r" by (rule impI) } hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI) qed -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_11_2: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof (rule impI) assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof (rule impI) assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof (rule impI) assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 by (rule mp) qed qed qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_11_3: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 .. have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 .. qed qed qed end |