Lógica

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se presentado la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden como respuestas a las siguientes preguntas:

• ¿cómo se puede representar el conocimiento con la lógica de primer orden?,
• ¿qué es una fórmula de primer orden?,
• ¿qué significa que una fórmula verdadera? y
• ¿qué significa que un argumento sea correcto?

Como ejemplos de representación hemos visto cómo representar conocimiento geográfico, del mundo de los bloques y conocimiento astronómico. En los distintos ejemplos hemos resaltado los tipos de símbolos lógicos utilizados.

A partir de los ejemplos de representación del conocimiento, se han definido los símbolos lógicos (variables, conectivas, cuantificadores e igualdad) y los símbolos no lógicos (constantes, predicados y funciones) que forman el alfabeto del lenguaje de la lógica de primer orden.

A partir del alfabeto, se definen los términos, las fórmulas atómicas y las fórmulas del lenguaje.

Como medio del reconocimiento de fórmulas, se introducen los árboles de análisis. Con ello, respondemos a la segunda de las preguntas iniciales.

En el estudio sintáctico, definimos el conjunto de las subfórmulas, el conjunto de las variables de un término, las ocurrencias libres y ligadas, el conjunto de las variables libres y ligadas y las fórmulas cerradas y abiertas. Algunas de las definiciones anteriores se realizan por recursión sobre fórmulas o sobre términos.

En segundo lugar hemos estudiado la semántica, comenzando con distintas cuestiones sobre qué significa que una fórmula sea verdadera para resaltar su dependencia del universo, la interpretación de los símbolos no lógico y de las asignaciones a las variables libres.

Se han definido las estructuras de un lenguaje, las asignaciones a las variables y las interpretaciones de un lenguaje.

Se ha definido el valor de un término o de una fórmula en una interpretación. Con ello, respondemos a la tercera de las preguntas iniciales.

Finalmente, se han definido los conceptos de consistencia, consecuencia lógica y equivalencia y se ha explicado la metodología de búsqueda semántica de modelos y contramodelos.

Las transparencias de esta clase son las del tema 7.

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado la formalización en Isabelle/HOL de las demostraciones por deducción natural estudiadas en el tema 2.

Para cada uno de los ejemplos se ha presentado distintas demostraciones: detallada (que sea parecida a la mostrada en las transparencias), estructurada y automática.

La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
Read More “LMF2015: Deducción natural proposicional en Isabelle/HOL”

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado la deducción natural en la lógica proposicional.

También se ha presentado cómo escribir demostraciones por deducción natural en Pandora del que se mostró un videotutorial.

Las transparencias de estas clases son las del tema 2

En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional.

Se ha presentado la sintaxis de la lógica proposicional. Concretamente,

• el lenguaje de la lógica proposicional,
• la definición recursiva de las fórmulas proposicionales,
• árboles de análisis de fórmulas,
• definiciones por recursión sobre fórmulas y
• demostraciones por inducción sobre fórmulas.

En la semántica, los conceptos definidos son los valores de verdad, las funciones de verdad, las interpretaciones, el valor de verdad de las fórmulas respectos de las interpretaciones, los modelos de fórmulas, la clasificación semántica de fórmulas (satisfacibles, insatisfacibles, tautologías, contradictorias y contingentes), los problemas SAT y TAUT. Finalmente, se han visto dos algoritmos para la solución de los problemas SAT y TAUT: tablas de verdad y método de Quine.

Otros conceptos definidos son equivalencia de fórmulas, modelos de conjuntos de fórmulas, conjuntos consistentes e inconsistentes y consecuencia lógica.

Se ha demostrado la equivalencia de los siguientes problemas

1. decidir si una fórmula es consecuencia lógica de un conjunto finito de fórmulas,
2. decidir si una fórmula es una tautología,
3. decidir si una fórmula es insatisfacible y
4. decidir si un conjunto de fórmulas es inconsistente.

Como aplicación se ha visto la decisión de la corrección de un argumento y la resolución de rompecabezas lógicos. En la solución del rompecabezas se ha explicado el uso del Gateway to Logic.

Las transparencias de estas clases son las del tema 1
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