LMF2015: Deducción natural proposicional en Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado la formalización en Isabelle/HOL de las demostraciones por deducción natural estudiadas en el tema 2.
Para cada uno de los ejemplos se ha presentado distintas demostraciones: detallada (que sea parecida a la mostrada en las transparencias), estructurada y automática.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032 1033 1034 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155 1156 1157 1158 1159 1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168 1169 1170 1171 1172 1173 1174 1175 1176 1177 |
header {* Tema 2: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *} theory T2a imports Main begin text {* En esta sección se presentan los ejemplos del tema de deducción natural proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente, a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) http://goo.gl/AwDiv La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LI donde se encuentra la demostración. *} subsection {* Reglas de la conjunción *} text {* Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que p ∧ q, r ⊢ q ∧ r. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_1_1: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI) qed text {* Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assumes" para indicar las hipótesis, · "and" para separar las hipótesis, · "shows" para indicar la conclusión, · "proof" para iniciar la prueba, · "qed" para terminar la pruebas, · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto, · "have" para establecer un paso, · "using" para usar hechos en un paso, · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho, · "show" para establecer la conclusión. Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_2: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 .. show 4: "q ∧ r" using 3 2 .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *} text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *} lemma ejemplo_1_3: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof - have "q" using assms(1) .. thus "q ∧ r" using assms(2) .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y · "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior. Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *} text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_4: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" using assms by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms" para indicar las hipótesis y · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *} text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_5: "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r" by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis, · ";" para separar las hipótesis y · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *} text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás, como sigue *} lemma ejemplo_1_6: assumes "p ∧ q" and "r" shows "q ∧ r" proof (rule conjI) show "q" using assms(1) by (rule conjunct2) next show "r" using assms(2) by this qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la regla r, · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente subobjetivo, · "this" para indicar el hecho actual. *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_7: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof show "q" using assms(1) .. next show "r" using assms(2) . qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "." para indicar por el hecho actual. *} subsection {* Reglas de la doble negación *} text {* La regla de eliminación de la doble negación es · notnotD: ¬¬ P ⟹ P Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de introducción de la doble negación · notnotI: P ⟹ ¬¬ P aunque, de momento, no detallamos su demostración. *} lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P" by auto text {* Ejemplo 2. (p. 5) p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_2_1: assumes 1: "p" and 2: "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI) have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD) have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2) show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_2_2: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have "¬¬p" using assms(1) .. have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) hence "r" .. with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior y · `...` para referenciar un hecho. *} -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_2_3: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" using assms by auto text {* Se puede demostrar hacia atrás *} lemma ejemplo_2_4: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof (rule conjI) show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI) next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" by (rule conjunct2) qed text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como sigue: *} lemma ejemplo_2_5: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof show "¬¬p" using assms(1) .. next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" .. qed subsection {* Regla de eliminación del condicional *} text {* La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q *} text {* Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_3_1: assumes 1: "¬p ∧ q" and 2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_3_2: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_3_3: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_4_1: assumes 1: "p" and 2: "p ⟶ q" and 3: "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have 4: "q" using 2 1 by (rule mp) have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp) show 6: "r" using 5 4 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_4_2: assumes "p" "p ⟶ q" "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have "q" using assms(2,1) .. have "q ⟶ r" using assms(3,1) .. thus "r" using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_4_3: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" by auto subsection {* Regla derivada del modus tollens *} text {* Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus tollens · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F aunque, de momento, sin detallar su demostración. *} lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by auto text {* Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_1: assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 2: "p" and 3: "¬r" shows "¬q" proof - have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp) show "¬q" using 4 3 by (rule mt) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_2: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" proof - have "q ⟶ r" using assms(1,2) .. thus "¬q" using assms(3) by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_1: assumes 1: "¬p ⟶ q" and 2: "¬q" shows "p" proof - have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt) show "p" using 3 by (rule notnotD) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_2: assumes "¬p ⟶ q" "¬q" shows "p" proof - have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt) thus "p" by (rule notnotD) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_3: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" by auto text {* Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_1: assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 2: "q" shows "¬p" proof - have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI) show "¬p" using 1 3 by (rule mt) qed -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_2: assumes "p ⟶ ¬q" "q" shows "¬p" proof - have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI) with assms(1) show "¬p" by (rule mt) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el hecho P se demuestra Q. *} -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_7_3: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" by auto subsection {* Regla de introducción del condicional *} text {* La regla de introducción del condicional es · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q *} text {* Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof - { assume 2: "¬q" have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "{ ... }" para representar una caja. *} -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof assume "¬q" with assms show "¬p" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_9_1: assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof - { assume 2: "p" have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI) have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_9_2: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof assume "p" hence "¬¬p" by (rule notnotI) with assms show "¬¬q" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_9_3: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar ⊢ p ⟶ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_10_1: "p ⟶ p" proof - { assume 1: "p" have "p" using 1 by this } thus "p ⟶ p" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_10_2: "p ⟶ p" proof (rule impI) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_10_3: "p ⟶ p" by auto text {* Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_11_1: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof - { assume 1: "q ⟶ r" { assume 2: "¬q ⟶ ¬p" { assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) have "r" using 1 6 by (rule mp) } hence "p ⟶ r" by (rule impI) } hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI) qed -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_11_2: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof (rule impI) assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof (rule impI) assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof (rule impI) assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 by (rule mp) qed qed qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_11_3: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 .. have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 .. qed qed qed -- "La demostración sin etiquetas es" lemma ejemplo_11_4: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume "p" hence "¬¬p" .. with `¬q ⟶ ¬p` have "¬¬q" by (rule mt) hence "q" by (rule notnotD) with `q ⟶ r` show "r" .. qed qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_11_5: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" by auto subsection {* Reglas de la disyunción *} text {* Las reglas de la introducción de la disyunción son · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q La regla de elimación de la disyunción es · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R *} text {* Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar p ∨ q ⊢ q ∨ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_12_1: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - have "p ∨ q" using assms by this moreover { assume 2: "p" have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } moreover { assume 3: "q" have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "moreover" para separar los bloques y · "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *} -- "La demostración detallada con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_2: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - note `p ∨ q` moreover { assume "p" hence "q ∨ p" .. } moreover { assume "q" hence "q ∨ p" .. } ultimately show "q ∨ p" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "note" para copiar un hecho. *} -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_12_3: assumes 1: "p ∨ q" shows "q ∨ p" using 1 proof (rule disjE) { assume 2: "p" show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } next { assume 3: "q" show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_4: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms proof { assume "p" thus "q ∨ p" .. } next { assume "q" thus "q ∨ p" .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_12_5: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms by auto text {* Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_13_1: assumes 1: "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof (rule impI) assume 2: "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof (rule disjE) { assume 3: "p" show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) } next { assume 4: "q" have 5: "r" using 1 4 by (rule mp) show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_13_2: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof assume "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof { assume "p" thus "p ∨ r" .. } next { assume "q" have "r" using assms `q` .. thus "p ∨ r" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_13_3: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" using assms by auto subsection {* Regla de copia *} text {* Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar ⊢ p ⟶ (q ⟶ p) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_14_1: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof (rule impI) assume 1: "p" show "q ⟶ p" proof (rule impI) assume "q" show "p" using 1 by this qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_14_2: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof assume "p" thus "q ⟶ p" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_14_3: "p ⟶ (q ⟶ p)" by auto subsection {* Reglas de la negación *} text {* La regla de eliminación de lo falso es · FalseE: False ⟹ P La regla de eliminación de la negación es · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R La regla de introducción de la negación es · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P *} text {* Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar ¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_15_1: assumes 1: "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof (rule impI) assume 2: "p" note 1 thus "q" proof (rule disjE) { assume 3: "¬p" show "q" using 3 2 by (rule notE) } next { assume 4: "q" show "q" using 4 by this} qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_15_2: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof assume "p" note `¬p ∨ q` thus "q" proof { assume "¬p" thus "q" using `p` .. } next { assume "q" thus "q" . } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_15_3: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" using assms by auto text {* Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_16_1: assumes 1: "p ⟶ q" and 2: "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof (rule notI) assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule mp) have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp) show False using 5 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_16_2: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof assume "p" have "q" using assms(1) `p` .. have "¬q" using assms(2) `p` .. thus False using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_16_3: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" using assms by auto subsection {* Reglas del bicondicional *} text {* La regla de introducción del bicondicional es · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q Las reglas de eliminación del bicondicional son · iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P *} text {* Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_17_1: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof (rule iffI) { assume 1: "p ∧ q" have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1) have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) } next { assume 4: "q ∧ p" have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_17_2: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof { assume 1: "p ∧ q" have "p" using 1 .. have "q" using 1 .. show "q ∧ p" using `q` `p` .. } next { assume 2: "q ∧ p" have "q" using 2 .. have "p" using 2 .. show "p ∧ q" using `p` `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_17_3: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" by auto text {* Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_18_1: assumes 1: "p ⟷ q" and 2: "p ∨ q" shows "p ∧ q" using 2 proof (rule disjE) { assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1) show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) } next { assume 5: "q" have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_18_2: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms(2) proof { assume "p" with assms(1) have "q" .. with `p` show "p ∧ q" .. } next { assume "q" with assms(1) have "p" .. thus "p ∧ q" using `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_18_3: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms by auto subsection {* Reglas derivadas *} subsubsection {* Regla del modus tollens *} text {* Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_20_1: assumes 1: "F ⟶ G" and 2: "¬G" shows "¬F" proof (rule notI) assume 3: "F" have 4: "G" using 1 3 by (rule mp) show False using 2 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_20_2: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" proof assume "F" with assms(1) have "G" .. with assms(2) show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_20_3: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de la introducción de la doble negación *} text {* Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble negación a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_21_1: assumes 1: "F" shows "¬¬F" proof (rule notI) assume 2: "¬F" show False using 2 1 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_21_2: assumes "F" shows "¬¬F" proof assume "¬F" thus False using assms .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_21_3: assumes "F" shows "¬¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de reducción al absurdo *} text {* La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la regla clásica de contradicción · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P *} subsubsection {* Ley del tercio excluso *} text {* La ley del tercio excluso es · excluded_middle: ¬P ∨ P *} text {* Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_22_1: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume 1: "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume 2: "F" hence 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1) show False using 1 3 by (rule notE) qed qed qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_22_2: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume "F" hence "F ∨ ¬F" .. with `¬(F ∨ ¬F)`show False .. qed qed qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_22_3: "F ∨ ¬F" using assms by auto text {* Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_23_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle) thus "¬p ∨ q" proof (rule disjE) { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" by (rule disjI1) } next { assume 2: "p" have "q" using 1 2 by (rule mp) thus "¬p ∨ q" by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_23_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" .. thus "¬p ∨ q" proof { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" .. } next { assume "p" with assms have "q" .. thus "¬p ∨ q" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_23_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" using assms by auto subsection {* Demostraciones por contradicción *} text {* Ejemplo 24. Demostrar que ¬p, p ∨ q ⊢ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_24_1: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof (rule disjE) assume "p" with assms(1) show "q" by contradiction next assume "q" thus "q" by assumption qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_24_2: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof assume "p" with assms(1) show "q" .. next assume "q" thus "q" . qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_24_3: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using assms by auto end |