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Etiqueta: LMF2012

LMF2012: Resolución proposicional

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos hemos continuado la búsqueda de la automatización del razonamiento.

Comenzamos observando que, a partir de la forma normal conjuntiva, podemos representar las fórmulas, y los conjuntos de fórmulas, mediante conjunto de conjuntos de literales. Con esta nueva representación, basta una única regla de demostración: la regla de resolución. Esta regla engloba distintas reglas (como modus pones, modus tollens y encadenamiento).

Mediante las cláusulas, el problema de inconsistencia de un conjunto de de fórmulas se reduce al de la inconsistencia de un conjunto de cláusulas.

Mediante resolución, el problema de la inconsistencia de un conjunto de cláusulas se reduce a buscar la cláusula vacía entre las resolventes del conjunto S.

Las transparencias de esta clase son las páginas 1 a 17 del tema 5

LMF2012: Formas normales conjuntivas y disyuntivas

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos hemos continuado la búsqueda de métodos automáticos para el problema TAUT (i.e. decidir si una fórmula dada es una tautología) y el problema SAT (i.e decidir si una fórmula dada es satisfacible).

Comenzamos observando que:

  • el problema TAUT se resuelve fácilmente para las fórmulas que son conjunciones de disyunciones de literales (es decir, están en forma normal conjuntiva (FNC)) y
  • el problema SAT se resuelve fácilmente para las fórmulas que son disyunciones de conjunciones de literales (es decir, están en forma normal disyuntiva (FND)).

Por tanto,

  • para la solución del problema TAUT sólo nos falta un procedimiento mecánico que dada una fórmula calcule otra que sea equivalente a la dada y que esté en FNC y
  • para la solución del problema SAT sólo nos falta un procedimiento mecánico que dada una fórmula calcule otra que sea equivalente a la dada y que esté en FND.

Mostramos las reglas equivalencia para el cálculo de los formas normales y los procedimientos de decisión para los porblemas TAUT y SAT.

Por último, vemos cómo el método de los tableros semánticos proporciona otro procedimiento de cálculo de las formas normales.

También se han mostrado las opciones del Gateway to Logic que calculan las formas normales conjuntivas y disyuntivas.

Las transparencias de esta clase son las del tema 4

LMF2012: Tableros semánticos proposicionales

En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha presentado un nuevo sistema deductivo: los tableros semánticos.

Hemos visto cómo los problemas de tautología y de consecuencia lógica se reducen a problemas de consistencia:

  • F es una tautología syss \{\neg F\} es inconsistente.
  • F es consecuencia lógica de S syss S \cup \{\neg F\} es inconsistente.

Por tanto, para resolver ambos problemas basta con tener un procedimiento sistemático de búsqueda de modelos. Uno de dichos procedimientos es el de tableros semánticos.

Una ventaja de los tableros semánticos frente a la deducción natural es la reducción del número lo que facilita su automatización.

Además, se ha presentado el sistema Tree Proof Generator que busca automáticamente el tablero semántico correspondiente a la fórmula introducida.

Las transparencias de esta clase son las del tema 3

LMF2012: Ejercicios de sintaxis y semántica de la lógica proposicional en Haskell (2)

En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se han comentados las soluciones de los ejercicios de la 2ª relación, cuyo objetivo es la formalización de la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional en Haskell.

Las soluciones de los ejercicios corregidos se muestran a continuación

LMF2012: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional en Haskell (1)

En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se han comentados las soluciones de los ejercicios de revisión de Haskell planteados en la clase anterior y se ha comenzado la solución de los ejercicios sobre la sintaxis y semántica de la lógica proposicional en Haskell.

Las soluciones de los ejercicios corregidos se muestran a continuación

LMF2012: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

En las dos últimas clases del curso Lógica matemática y fundamentos se ha completado el estudio de la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional.

Se ha presentado la sintaxis de la lógica proposicional. Concretamente,

  • el lenguaje de la lógica proposicional,
  • la definición recursiva de las fórmulas proposicionales,
  • árboles de análisis de fórmulas,
  • definiciones por recursión sobre fórmulas y
  • demostraciones por inducción sobre fórmulas.

LEn la semántica, los conceptos definidos son los valores de verdad, las funciones de verdad, las interpretaciones, el valor de verdad de las fórmulas respectos de las interpretaciones, los modelos de fórmulas, la clasificación semántica de fórmulas (satisfacibles, insatisfacibles, tautologías, contradictorias y contigentes), los problemas SAT y TAUT. Finalmente, se han visto dos algoritmos para la solución de los problemas SAT y TAUT: tablas de verdad y método de Quine.

Otros conceptos definidos son equivalencia de fórmulas, modelos de conjuntos de fórmulas, conjuntos consistentes e inconsistentes y consecuencia lógica.

Se ha demostrado la equivalencia de los siguientes problemas

  1. decidir si una fórmula es consecuencia lógica de un conjunto finito de fórmulas,
  2. decidir si una fórmula es una tautología,
  3. decidir si una fórmula es insatisfacible y
  4. decidir si un conjunto de fórmulas es inconsistente.

Como aplicación se ha visto la decisión de la corrección de un argumento y la resolución de rompecabezas lógicos. En la solución del rompecabeza se ha explicado el uso del Gateway to Logic.

Las transparencias de estas clases son las del tema 1