LMF2012: Tableros semánticos en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de los tableros semánticos.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación. En los ejercicios se usa el módulo SintaxisSemantica desarrollado en la clase del día 13 de marzo.
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module TablerosSemanticos where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import SintaxisSemantica import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Literales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 0: Definir la función -- literal :: Prop -> Bool -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por -- ejemplo, -- literal p == True -- literal (no p) == True -- literal (no (p --> q)) == False -- --------------------------------------------------------------------- literal :: Prop -> Bool literal (Atom f) = True literal (Neg (Atom f)) = True literal _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Notación uniforme -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir la función -- dobleNegacion :: Prop -> Bool -- tal que (dobleNegacion f) se verifica si f es una doble negación. Por -- ejemplo, -- dobleNegacion (no (no p)) ==> True -- dobleNegacion (no (p --> q)) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- dobleNegacion :: Prop -> Bool dobleNegacion (Neg (Neg _)) = True dobleNegacion _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir la función -- alfa :: Prop -> Bool -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa. -- --------------------------------------------------------------------- alfa :: Prop -> Bool alfa (Conj _ _) = True alfa (Neg (Impl _ _)) = True alfa (Neg (Disj _ _)) = True alfa _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- beta :: Prop -> Bool -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta. -- --------------------------------------------------------------------- beta :: Prop -> Bool beta (Disj _ _) = True beta (Impl _ _) = True beta (Neg (Conj _ _)) = True beta (Equi _ _) = True beta (Neg (Equi _ _)) = True beta _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir la función -- componentes :: Prop -> [Prop] -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula -- f. Por ejemplo, -- componentes (p /\ q --> r) ==> [no (p /\ q),r] -- componentes (no (p /\ q --> r)) ==> [(p /\ q),no r] -- --------------------------------------------------------------------- componentes :: Prop -> [Prop] componentes (Neg (Neg f)) = [f] componentes (Conj f g) = [f, g] componentes (Neg (Impl f g)) = [f, Neg g] componentes (Neg (Disj f g)) = [Neg f, Neg g] componentes (Disj f g) = [f, g] componentes (Impl f g) = [Neg f, g] componentes (Neg (Conj f g)) = [Neg f, Neg g] componentes (Equi f g) = [Conj f g, Conj (Neg f) (Neg g)] componentes (Neg (Equi f g)) = [Conj f (Neg g), Conj (Neg f) g] -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos mediante tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de -- literales. Por ejemplo, -- conjuntoDeLiterales [p --> q, no r, r /\ s, p] ==> False -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool conjuntoDeLiterales fs = and [literal f | f <- fs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir la función -- tieneContradiccion :: [Prop] -> Bool -- tal que (tieneContradiccion fs) se verifica si fs contiene una -- fórmula y su negación. Por ejemplo, -- tieneContradiccion [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- tieneContradiccion :: [Prop] -> Bool -- tieneContradiccion fs -- | trace (" " ++ show fs) False = undefined tieneContradiccion fs = [f | f <- fs, elem (Neg f) fs] /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir la función -- expansionDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble -- negación f. Por ejemplo, -- expansionDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==> [[q,p,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionDN fs f = [(componentes f) `union` (delete f fs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- expansionAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la -- fórmula alfa f. Por ejemplo, -- expansionAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==> [[p1,p2,q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionAlfa fs f = [(componentes f) `union` (delete f fs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- expansionBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionBeta fs f) es la expansión de fs mediante la -- fórmula beta f. Por ejemplo, -- expansionBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==> [[p1,q,r],[p2,q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionBeta fs f = [[g] `union` (delete f fs) | g <- componentes f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo, -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] => [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]] -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] => [[p1,p2,r,(q \/ s)]] -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] => [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]] sucesores fs | doblesNegación /= [] = expansionDN fs (head doblesNegación) | alfas /= [] = expansionAlfa fs (head alfas) | betas /= [] = expansionBeta fs (head betas) where doblesNegación = [f | f <- fs, dobleNegacion f] alfas = [f | f <- fs, alfa f] betas = [f | f <- fs, beta f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo, -- modelosTab [p --> q, no(q --> p)] -- ==> [[no p,q],[q,no p]] -- modelosTab [p --> q, no q --> no p] -- ==> [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]] modelosTab fs | tieneContradiccion fs = [] | conjuntoDeLiterales fs = [fs] | otherwise = unionGeneral [modelosTab gs | gs <- sucesores fs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por -- ejemplo, -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==> True -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = and [elem x ys | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por -- ejemplo, -- modelosGenerales [p --> q, no q --> no p] ==> [[no p],[q]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]] modelosGenerales fs = [gs | gs <- modelos , [hs | hs <- delete gs modelos, subconjunto hs gs] == []] where modelos = modelosTab fs -- --------------------------------------------------------------------- -- Teoremas por tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14: Definir la función -- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, -- esTeoremaPorTableros (p --> p) ==> True -- esTeoremaPorTableros (p --> q) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool esTeoremaPorTableros f = modelosTab [Neg f] == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Consecuencia por tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por -- ejemplo, -- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True -- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p <--> r) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool esDeduciblePorTableros fs f = modelosTab ((Neg f):fs) == [] |