Sucesiones auto descriptivas en Haskell
En las Olimpiadas de Matemáticas del 2001 se propuso el siguiente problema
Buscar todas las sucesiones finitas (x(0), x(1),…,x(n)) tales que para todo j, 0 ≤ j ≤ n, x(j) es igual al número de veces que aparece j en la sucesión.
Las sucesiones que cumplen la anterior condición se llaman auto descriptivas. Un ejemplo de sucesión auto descriptiva es [5,2,1,0,0,1,0,0,0] ya que
- el 0 aparece 5 veces,
- el 1 aparece 2 veces,
- el 2 aparece 1 vez,
- el 3 aparece 0 veces,
- el 4 aparece 0 veces,
- el 5 aparece 1 vez,
- el 6 aparece 0 veces,
- el 7 aparece 0 veces y
- el 8 aparece 0 veces.
En la siguiente relación de ejercicios, elaborada para la asignatura de Informática (de 1º del Grado en Matemáticas) y para la siguiente versión del libro Piensa en Haskell, se resuelve el problema con Haskell.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ejercicios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- ocurrencias :: Eq a => a -> [a] -> Int -- tal que (ocurrencias x ys) es el número de veces que x ocurre en -- ys. Por ejemplo, -- ocurrencias 2 [3,2,5,2,2,7] == 3 -- --------------------------------------------------------------------- ocurrencias :: Eq a => a -> [a] -> Int ocurrencias x ys = length [y | y <- ys, y == x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- esAutoDescriptiva:: [Int] -> Bool -- tal que (esAutoDescriptiva xs) se verifica si la sucesión xs es auto -- descriptiva. Por ejemplo, -- esAutoDescriptiva [5,2,1,0,0,1,0,0,0] == True -- esAutoDescriptiva [6,2,1,0,0,1,0,0,0] == False -- --------------------------------------------------------------------- esAutoDescriptiva:: [Int] -> Bool esAutoDescriptiva xs = and [xs!!j == ocurrencias j xs | j <- [0..length xs - 1]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden k -- de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo, -- ghci> variacionesR 1 "ab" -- ["a","b"] -- ghci> variacionesR 2 "ab" -- ["aa","ab","ba","bb"] -- ghci> variacionesR 3 "ab" -- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"] -- --------------------------------------------------------------------- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]] variacionesR _ [] = [] variacionesR 0 _ = [[]] variacionesR k xs = [z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- autoDescriptivas1 :: Int -> [Int] -> [[Int]] -- tal que (autoDescriptivas1 n xs) es la listas de las sucesiones -- auto descriptivas de longitud n y valores en xs. Por ejemplo, -- autoDescriptivas1 4 [0..3] == [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] -- --------------------------------------------------------------------- autoDescriptivas1 :: Int -> [Int] -> [[Int]] autoDescriptivas1 n xs = [ys | ys <- variacionesR n xs, esAutoDescriptiva ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Calcular el valor de (autoDescriptivas1 n [0..6]) para n -- de 0 a 9. -- --------------------------------------------------------------------- -- El resultado del cálculo es -- autoDescriptivas1 0 [0..6] == [[]] -- autoDescriptivas1 1 [0..6] == [] -- autoDescriptivas1 2 [0..6] == [] -- autoDescriptivas1 3 [0..6] == [] -- autoDescriptivas1 4 [0..6] == [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] -- autoDescriptivas1 5 [0..6] == [[2,1,2,0,0]] -- autoDescriptivas1 6 [0..6] == [] -- autoDescriptivas1 7 [0..6] == [[3,2,1,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas1 7 [0..6] == [[3,2,1,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas1 8 [0..6] == [[4,2,1,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas1 8 [0..6] == [[4,2,1,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas1 9 [0..6] == [[5,2,1,0,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas1 9 [0..6] == [[5,2,1,0,0,1,0,0,0]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. ¿Qué relación hay entre la longitud de las sucesiones -- auto descriptivas y la suma de sus elementos? -- --------------------------------------------------------------------- -- En en ejercicio anterior se observa que si xs es una sucesión auto -- descriptiva, entonces la suma de los elementos de xs es igual a la -- longitud de xs. -- -- La demostración de la propiedad es trivial. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- sucLongSum :: Int -> Int -> [[Int]] -- tal que (sucLongSum m n) es la lista de las sucesiones de longitud m -- cuyos elementos suman n. Por ejemplo, -- sucLongSum 2 3 == [[0,3],[1,2],[2,1],[3,0]] -- sucLongSum 3 2 == [[0,0,2],[0,1,1],[0,2,0],[1,0,1],[1,1,0],[2,0,0]] -- --------------------------------------------------------------------- sucLongSum :: Int -> Int -> [[Int]] sucLongSum 0 0 = [[]] sucLongSum 0 n = [] sucLongSum 1 n = [[n]] sucLongSum m n = [x:ys | x <- [0..n], ys <- sucLongSum (m-1) (n-x)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir, usando los ejercicios 7 y 8, la función -- autoDescriptivas2 :: Int -> [[Int]] -- tal que (autoDescriptivas2 n) es la listas de las sucesiones -- auto descriptivas de longitud n. Por ejemplo, -- autoDescriptivas2 4 == [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] -- --------------------------------------------------------------------- autoDescriptivas2 :: Int -> [[Int]] autoDescriptivas2 n = [ys | ys <- sucLongSum n n, esAutoDescriptiva ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Calcular (autoDescriptivas2 n) para n entre 0 y 1. -- --------------------------------------------------------------------- -- El resultado del cálculo es -- autoDescriptivas2 0 == [[]] -- autoDescriptivas2 1 == [] -- autoDescriptivas2 2 == [] -- autoDescriptivas2 3 == [] -- autoDescriptivas2 4 == [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] -- autoDescriptivas2 5 == [[2,1,2,0,0]] -- autoDescriptivas2 6 == [] -- autoDescriptivas2 7 == [[3,2,1,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas2 8 == [[4,2,1,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas2 9 == [[5,2,1,0,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas2 10 == [[6,2,1,0,0,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas2 11 == [[7,2,1,0,0,0,0,1,0,0,0]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, usando el ejercicios 9, la función -- autoDescriptivas3 :: Int -> [[Int]] -- tal que (autoDescriptivas3 n) es la listas de las sucesiones -- auto descriptivas de longitud n. Por ejemplo, -- autoDescriptivas3 4 == [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] -- autoDescriptivas3 15 == [[11,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0]] -- autoDescriptivas3 16 == [[12,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0]] -- --------------------------------------------------------------------- autoDescriptivas3 :: Int -> [[Int]] autoDescriptivas3 n | n == 0 = [[]] | n <= 3 = [] | n == 4 = [[1,2,1,0],[2,0,2,0]] | n == 5 = [[2,1,2,0,0]] | n == 6 = [] | otherwise = [[n-4,2,1] ++ replicate (n-7) 0 ++ [1,0,0,0]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- autoDescriptivas3Correcta1 :: Int -> Bool -- tal que (autoDescriptivas3Correcta1 n) se verifica si todas las -- sucesiones de (autoDescriptivas3 n) son auto descriptivas. Por -- ejemplo, -- autoDescriptivas3Correcta1 100 == True -- --------------------------------------------------------------------- autoDescriptivas3Correcta1 :: Int -> Bool autoDescriptivas3Correcta1 n = all esAutoDescriptiva (autoDescriptivas3 n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Comprobar que las listas calculadas por -- (autoDescriptivas3 n), para n entre 0 y 300, son auto descriptivas. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- ghci> all autoDescriptivas3Correcta1 [0..300] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que una lista de números -- naturales xs es auto descriptiva si, y sólo si, xs pertenece a -- (autoDescriptivas3 n) donde n es la longitud de xs. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es autoDescriptivas3Correcta2 :: [Int] -> Bool autoDescriptivas3Correcta2 xs = esAutoDescriptiva xs' == elem xs' (autoDescriptivas3 n) where xs' = map abs xs n = length xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck autoDescriptivas3Correcta2 -- +++ OK, passed 100 tests. |
En el último ejercicio sólo se ha hecho una comprobación, para completar el problema queda pendiente demostrar formalmente la propiedad.