RA2019: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL (2)
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha completado la presentación de la deducción natural con Isabelle/HOL.
La presentación se basa en los ejemplos del tema 2 del curso de Lógica informática que, a su vez, se basa en el capítulo 2 del libro de Huth y Ryan Logic in Computer Science (Modelling and reasoning about systems).
La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias donde se encuentra la demostración.
Para cada ejemplo se presentan distintas demostraciones. La primera intenta reflejar la demostración de las transparencias, las siguientes van eliminando detalles de la prueba hasta la penúltima que es automática y la última es aplicativa.
A los largos de los ejemplos se van comentando los elementos del lenguaje conforme van entrando en el juego.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 |
chapter ‹Tema 6: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL› theory T6_Deduccion_natural_en_logica_proposicional_con_Isabelle imports Main begin section ‹Reglas de la disyunción› text ‹ Las reglas de la introducción de la disyunción son · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q La regla de elimación de la disyunción es · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R › subsection ‹Ejemplo 12› text ‹Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar p ∨ q ⊢ q ∨ p › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_12_1: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - have "p ∨ q" using assms by this moreover { assume 2: "p" have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } moreover { assume 3: "q" have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) qed text ‹ Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "moreover" para separar los bloques y · "ultimately" para unir los resultados de los bloques.› subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración detallada con reglas implícitas es› lemma ejemplo_12_2: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - note ‹p ∨ q› moreover { assume "p" then have "q ∨ p" .. } moreover { assume "q" then have "q ∨ p" .. } ultimately show "q ∨ p" .. qed text ‹ Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "note" para copiar un hecho.› subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás› ― ‹La demostración hacia atrás es› lemma ejemplo_12_3: assumes 1: "p ∨ q" shows "q ∨ p" using 1 proof (rule disjE) { assume 2: "p" show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } next { assume 3: "q" show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } qed subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás› ― ‹La demostración hacia atrás con reglas implícitas es› lemma ejemplo_12_4: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms proof { assume "p" then show "q ∨ p" .. } next { assume "q" then show "q ∨ p" .. } qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_12_5: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_12_6: "p ∨ q ⟹ q ∨ p" apply (erule disjE) apply (rule disjI2) prefer 2 apply (rule disjI1) apply assumption+ done subsection ‹Ejemplo 13› text ‹ Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_13_1: assumes 1: "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof (rule impI) assume 2: "p ∨ q" then show "p ∨ r" proof (rule disjE) { assume 3: "p" show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) } next { assume 4: "q" have 5: "r" using 1 4 by (rule mp) show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) } qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_13_2: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof assume "p ∨ q" then show "p ∨ r" proof { assume "p" then show "p ∨ r" .. } next { assume "q" have "r" using assms ‹q› .. then show "p ∨ r" .. } qed qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_13_3: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_13_4: "q ⟶ r ⟹ p ∨ q ⟶ p ∨ r" apply (rule impI) apply (erule disjE) apply (rule disjI1) prefer 2 apply (drule mp) prefer 2 apply (rule disjI2) apply assumption+ done section ‹Regla de copia› subsection ‹Ejemplo 14› text ‹Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar ⊢ p ⟶ (q ⟶ p) › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_14_1: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof (rule impI) assume 1: "p" show "q ⟶ p" proof (rule impI) assume "q" show "p" using 1 by this qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_14_2: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof assume "p" then show "q ⟶ p" .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_14_3: "p ⟶ (q ⟶ p)" by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_14_4: "p ⟶ (q ⟶ p)" apply (rule impI)+ apply assumption done section ‹Reglas de la negación› text ‹La regla de eliminación de lo falso es · FalseE: False ⟹ P La regla de eliminación de la negación es · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R La regla de introducción de la negación es · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P › subsection ‹Ejemplo 15› text ‹Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar ¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_15_1: assumes 1: "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof (rule impI) assume 2: "p" note 1 then show "q" proof (rule disjE) { assume 3: "¬p" show "q" using 3 2 by (rule notE) } next { assume 4: "q" show "q" using 4 by this} qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_15_2: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof assume "p" note ‹¬p ∨ q› then show "q" proof assume "¬p" then show "q" using ‹p› .. next assume "q" then show "q" . qed qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_15_3: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_15_4: "¬p ∨ q ⟹ p ⟶ q" apply (rule impI) apply (erule disjE) apply (erule notE) apply assumption+ done subsection ‹Ejemplo 16› text ‹Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_16_1: assumes 1: "p ⟶ q" and 2: "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof (rule notI) assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule mp) have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp) show False using 5 4 by (rule notE) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_16_2: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof assume "p" have "q" using assms(1) ‹p› .. have "¬q" using assms(2) ‹p› .. then show False using ‹q› .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_16_3: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_16_4: "⟦p ⟶ q; p ⟶ ¬q⟧ ⟹ ¬p" apply (rule notI) apply (drule mp)+ apply assumption+ apply (drule mp) prefer 2 apply (erule notE) apply assumption+ done section ‹Reglas del bicondicional› text ‹La regla de introducción del bicondicional es · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q Las reglas de eliminación del bicondicional son · iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P › subsection ‹Ejemplo 17› text ‹Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar (p ∧ q) ⟷ (q ∧ p) › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_17_1: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof (rule iffI) { assume 1: "p ∧ q" have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1) have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) } next { assume 4: "q ∧ p" have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_17_2: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof { assume 1: "p ∧ q" have "p" using 1 .. have "q" using 1 .. show "q ∧ p" using ‹q› ‹p› .. } next { assume 2: "q ∧ p" have "q" using 2 .. have "p" using 2 .. show "p ∧ q" using ‹p› ‹q› .. } qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_17_3: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_17_4: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" apply (rule iffI) apply (rule conjI) apply (erule conjunct2) apply (erule conjunct1) apply (rule conjI) apply (erule conjunct2) apply (erule conjunct1) done subsection ‹Ejemplo 18› text ‹Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_18_1: assumes 1: "p ⟷ q" and 2: "p ∨ q" shows "p ∧ q" using 2 proof (rule disjE) { assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1) show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) } next { assume 5: "q" have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_18_2: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms(2) proof { assume "p" with assms(1) have "q" .. with ‹p› show "p ∧ q" .. } next { assume "q" with assms(1) have "p" .. then show "p ∧ q" using ‹q› .. } qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_18_3: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_18_4: "⟦p ⟷ q; p ∨ q⟧ ⟹ p ∧ q" apply (erule disjE) apply (rule conjI) apply assumption apply (erule iffD1) apply assumption apply (rule conjI) apply (erule iffD2) apply assumption+ done section ‹Reglas derivadas› subsection ‹Regla del modus tollens› text ‹Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir de las reglas básicas.› subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_20_1: assumes 1: "F ⟶ G" and 2: "¬G" shows "¬F" proof (rule notI) assume 3: "F" have 4: "G" using 1 3 by (rule mp) show False using 2 4 by (rule notE) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_20_2: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" proof assume "F" with assms(1) have "G" .. with assms(2) show False .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_20_3: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_20_4: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" apply (rule notI) apply (drule mp) apply assumption apply (erule notE) apply assumption done subsection ‹Regla de la introducción de la doble negación› text ‹Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble negación a partir de las reglas básicas.› subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_21_1: assumes 1: "F" shows "¬¬F" proof (rule notI) assume 2: "¬F" show False using 2 1 by (rule notE) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_21_2: assumes "F" shows "¬¬F" proof assume "¬F" then show False using assms .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_21_3: assumes "F" shows "¬¬F" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_21_4: "F ⟹ ¬¬F" apply (rule notI) apply (erule notE) apply assumption done subsection ‹Regla de reducción al absurdo› text ‹La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la regla clásica de contradicción · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P › subsection ‹Ley del tercio excluso› text ‹La ley del tercio excluso es · excluded_middle: ¬P ∨ P › text ‹Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de las reglas básicas.› subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_22_1: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume 1: "¬(F ∨ ¬F)" then show False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume 2: "F" then have 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1) show False using 1 3 by (rule notE) qed qed qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_22_2: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume "¬(F ∨ ¬F)" then show False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume "F" then have "F ∨ ¬F" .. with ‹¬(F ∨ ¬F)›show False .. qed qed qed qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_22_3: "F ∨ ¬F" using assms by simp subsection ‹Ejemplo 23› text ‹Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_23_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle) then show "¬p ∨ q" proof (rule disjE) { assume "¬p" then show "¬p ∨ q" by (rule disjI1) } next { assume 2: "p" have "q" using 1 2 by (rule mp) then show "¬p ∨ q" by (rule disjI2) } qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_23_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" .. then show "¬p ∨ q" proof { assume "¬p" then show "¬p ∨ q" .. } next { assume "p" with assms have "q" .. then show "¬p ∨ q" .. } qed qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_23_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_23_4: "p ⟶ q ⟹ ¬p ∨ q" apply (cut_tac P="p" in excluded_middle) apply (erule disjE) apply (rule disjI1) prefer 2 apply (drule mp) prefer 2 apply (rule disjI2) apply assumption+ done section ‹Demostraciones por contradicción› subsection ‹Ejemplo 24› text ‹Ejemplo 24. Demostrar que ¬p, p ∨ q ⊢ q › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_24_1: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using ‹p ∨ q› proof (rule disjE) assume "p" with assms(1) show "q" by contradiction next assume "q" then show "q" by assumption qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_24_2: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using ‹p ∨ q› proof assume "p" with assms(1) show "q" .. next assume "q" then show "q" . qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_24_3: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using assms by simp subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_24_4: "⟦¬p ; p ∨ q⟧ ⟹ q" apply (erule disjE) apply (erule notE) apply assumption+ done end |
Como práctica, se ha propuesto la 7ª relación de ejercicios.