I1M2019: 2º examen de programación funcional con Haskell
Hoy se ha realizado el 2º examen del curso de Informática (de 1º de Grado en Matemáticas). Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- Informática (1º del Grado en Matemáticas, Grupo 4) -- 2º examen de evaluación continua (18 de diciembre de 2019) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- --------------------------------------------------------------------- import Data.Char import Data.List import Data.Numbers.Primes import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir la función -- ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer -- tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del -- factorial de n. Por ejemplo, -- ultimoNoNuloFactorial 7 == 4 -- ultimoNoNuloFactorial 10 == 8 -- ultimoNoNuloFactorial 12 == 6 -- ultimoNoNuloFactorial 97 == 2 -- ultimoNoNuloFactorial 0 == 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer ultimoNoNuloFactorial = ultimoNoNulo . factorial -- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- factorial 7 == 5040 factorial :: Integer -> Integer factorial n = product [1..n] -- (ultimoNoNulo n) es el último dígito no nulo de n. Por ejemplo, -- ultimoNoNulo 5040 == 4 ultimoNoNulo :: Integer -> Integer ultimoNoNulo n | r /= 0 = r | otherwise = ultimoNoNulo q where (q,r) = n `quotRem` 10 -- 2ª solución -- =========== ultimoNoNuloFactorial2 :: Integer -> Integer ultimoNoNuloFactorial2 = last . filter (/= 0) . digitos . factorial digitos :: Integer -> [Integer] digitos n = [read [x] | x <- show n] -- 3ª solución -- =========== ultimoNoNuloFactorial3 :: Integer -> Integer ultimoNoNuloFactorial3 = last . filter (/= 0) . digitos3 . factorial3 digitos3 :: Integer -> [Integer] digitos3 = map (fromIntegral . digitToInt) . show factorial3 :: Integer -> Integer factorial3 = product . enumFromTo 1 -- 4ª solución -- =========== ultimoNoNulo4 :: Integer -> Integer ultimoNoNulo4 n = read [head (dropWhile (=='0') (reverse (show n)))] -- 5ª solución -- =========== ultimoNoNulo5 :: Integer -> Integer ultimoNoNulo5 = read . return . head . dropWhile ('0' ==) . reverse . show -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, -- entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Property prop_ultimoNoNuloFactorial n = n > 4 ==> even (ultimoNoNuloFactorial n) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ultimoNoNuloFactorial -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Una forma de aproximar el número π es usando la -- siguiente igualdad: -- π 1 1*2 1*2*3 1*2*3*4 -- --- = 1 + --- + ----- + ------- + --------- + .... -- 2 3 3*5 3*5*7 3*5*7*9 -- Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el -- producto de los primeros n números y los primeros n números impares: -- Π i -- s(n) = ----------- -- Π (2*i+1) -- -- Definir la función -- aproximaPi :: Double -> Double -- tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la -- serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo, -- aproximaPi 10 == 3.141106021601377 -- aproximaPi 30 == 3.1415926533011587 -- aproximaPi 50 == 3.1415926535897922 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución (por comprensión): aproximaPi :: Double -> Double aproximaPi n = 2 * sum [product [1..i] / product [1,3..2*i+1] | i <- [0..n]] -- 2ª solución (por recursión): aproximaPi2 :: Double -> Double aproximaPi2 0 = 2 aproximaPi2 n = aproximaPi2 (n-1) + 2 * product [1..n] / product [3,5..2*n+1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. La descomposición prima de 600 es -- 600 = 2³ * 3 * 5² -- -- Definir la función -- factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] -- tal que (factorizacion x) ses la lista de las bases y exponentes de -- la descomposición prima de x. Por ejemplo, -- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)] -- factorizacion 5500 == [(2,2),(5,3),(11,1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion n = [(x,nOcurrencias x xs) | x <- elementos xs] where xs = factoresPrimos n -- (factores primos n) es la lista de los factores primos de n. Por -- ejemplo, -- factoresPrimos 600 == [2,2,2,3,5,5] factoresPrimos :: Integer -> [Integer] factoresPrimos 1 = [] factoresPrimos n = x : factoresPrimos (n `div` x) where x = menorFactor n -- (menorFactor n) es el menor factor primo de n. Por ejemplo, -- menorFactor 10 == 2 -- menorFactor 11 == 11 menorFactor :: Integer -> Integer menorFactor n = head [x | x <- [2..n], n `mod` x == 0] -- (elementos xs) es la lista de los elementos, sin repeticiones, de -- xs. Por ejemplo, -- elementos [3,2,3,5,2] == [3,2,5] elementos :: Eq a => [a] -> [a] elementos [] = [] elementos (x:xs) = x : elementos (filter (/=x) xs) -- (nOcurrencias x ys) es el número de ocurrencias de x en ys. Por -- ejemplo, -- nOcurrencias 'a' "Salamanca" == 4 nOcurrencias :: Eq a => a -> [a] -> Integer nOcurrencias _ [] = 0 nOcurrencias x (y:ys) | x == y = 1 + nOcurrencias x ys | otherwise = nOcurrencias x ys -- 2ª solución -- =========== factorizacion2 :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion2 n = [(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)] -- 3ª solución -- =========== factorizacion3 :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion3 = map primeroYlongitud . group . primeFactors -- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs -- y la longitud de xs. Por ejemplo, -- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4) primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer) primeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> length (factorizacion (product [1..10^4])) -- 1229 -- (4.84 secs, 2,583,331,768 bytes) -- λ> length (factorizacion2 (product [1..10^4])) -- 1229 -- (0.24 secs, 452,543,360 bytes) -- λ> length (factorizacion3 (product [1..10^4])) -- 1229 -- (0.23 secs, 452,433,504 bytes) -- -- λ> length (factorizacion (product (take (2*10^3) primes))) -- 2000 -- (6.58 secs, 3,415,098,552 bytes) -- λ> length (factorizacion2 (product (take (2*10^3) primes))) -- 2000 -- (0.02 secs, 23,060,512 bytes) -- λ> length (factorizacion3 (product (take (2*10^3) primes))) -- 2000 -- (0.02 secs, 22,882,080 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Las expresiones aritméticas se pueden representar como -- árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por -- ejemplo, la expresión "9-2*4" se puede representar por el árbol -- - -- / \ -- 9 * -- / \ -- 2 4 -- -- Definiendo el tipo de dato Arbol por -- data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol -- la representación del árbol anterior es -- N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)) -- -- Definir la función -- valor :: Arbol -> Int -- tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética -- correspondiente al árbol a. Por ejemplo, -- valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 1 -- valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))) == 17 -- valor (N (+) (H 9) (N (div) (H 4) (H 2))) == 11 -- valor (N (+) (H 9) (N (max) (H 4) (H 2))) == 13 -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol valor :: Arbol -> Int valor (H x) = x valor (N f i d) = f (valor i) (valor d) |