RA2013: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado la deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL. La presentación se basa en los ejemplos de tema 8 del curso de Lógica informática), que a su vez se basa en el capítulo 2 del libro de de Huth y Ryan Logic in Computer Science (Modelling and reasoning about systems).
La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias donde se encuentra la demostración.
Para cada ejemplo se presentan distintas demostraciones. La primera intenta reflejar la demostración de las transparencias, las siguientes van eliminando detalles de la prueba hasta la última que es automática.
A los largos de los ejemplos se van comentando los elementos del lenguaje conforme van entrando en el juego.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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header {* Tema 7: Deducción natural en lógica de primer orden *} theory T7 imports Main begin section {* Reglas del cuantificador universal *} text {* Las reglas del cuantificador universal son · allE: ⟦∀x. P x; P a ⟹ R⟧ ⟹ R · allI: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x *} text {* Ejemplo 1 (p. 10). Demostrar que P(c), ∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x)) ⊢ ¬Q(c) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_1a: assumes 1: "P(c)" and 2: "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have 3: "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using 2 by (rule allE) show 4: "¬Q(c)" using 3 1 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_1b: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using assms(2) .. thus "¬Q(c)" using assms(1) .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_1c: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" using assms by auto text {* Ejemplo 2 (p. 11). Demostrar que ∀x. (P x ⟶ ¬(Q x)), ∀x. P x ⊢ ∀x. ¬(Q x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_2a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof - { fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) have 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) } thus "∀x. ¬(Q x)" by (rule allI) qed -- "La demostración detallada hacia atrás es" lemma ejemplo_2b: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof (rule allI) fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) show 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_2c: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof fix a have "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ ¬(Q a)" using assms(1) .. thus "¬(Q a)" using `P a` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_2d: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" using assms by auto section {* Reglas del cuantificador existencial *} text {* Las reglas del cuantificador existencial son · exI: P a ⟹ ∃x. P x · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q En la regla exE la nueva variable se introduce mediante la declaración "obtain ... where ... by (rule exE)" *} text {* Ejemplo (p. 12). Demostrar que ∀x. P x ⊢ ∃x. P x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_3a: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms by (rule allE) thus "∃x. P x" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_3b: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms .. thus "∃x. P x" .. qed -- "La demostración estructurada se puede simplificar" lemma ejemplo_3c: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof (rule exI) fix a show "P a" using assms .. qed -- "La demostración estructurada se puede simplificar aún más" lemma ejemplo_3d: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof fix a show "P a" using assms .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_3e: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 13). Demostrar ∀x. (P x ⟶ Q x), ∃x. P x ⊢ ∃x. Q x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_4a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ Q x)" and 2: "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where 3: "P a" using 2 by (rule exE) have 4: "P a ⟶ Q a" using 1 by (rule allE) have 5: "Q a" using 4 3 by (rule mp) thus 6: "∃x. Q x" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_4b: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ Q a" using assms(1) .. hence "Q a" using `P a` .. thus "∃x. Q x" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_4c: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" using assms by auto section {* Demostración de equivalencias *} text {* Ejemplo 5.1 (p. 15). Demostrar ¬∀x. P x ⊢ ∃x. ¬(P x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_1a: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" hence "∃x. ¬P(x)" by (rule exI) with `¬(∃x. ¬P(x))` show False by (rule notE) qed qed with assms show False by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_1b: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" hence "∃x. ¬P(x)" .. with `¬(∃x. ¬P(x))` show False .. qed qed with assms show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_1c: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 5.2 (p. 16). Demostrar ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬∀x. P x *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_2a: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof (rule notI) assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms by (rule exE) have "P(a)" using `∀x. P(x)` by (rule allE) with `¬P(a)` show False by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_2b: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms .. have "P(a)" using `∀x. P(x)` .. with `¬P(a)` show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_2c: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 5.3 (p. 17). Demostrar ⊢ ¬∀x. P x ⟷ ∃x. ¬(P x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_3a: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" proof (rule iffI) assume "¬(∀x. P(x))" thus "∃x. ¬P(x)" by (rule ejemplo_5_1a) next assume "∃x. ¬P(x)" thus "¬(∀x. P(x))" by (rule ejemplo_5_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_3b: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" by auto text {* Ejemplo 6.1 (p. 18). Demostrar ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⊢ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_1a: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof (rule conjI) show "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) thus "P(a)" by (rule conjunct1) qed next show "∀x. Q(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) thus "Q(a)" by (rule conjunct2) qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_1b: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof show "∀x. P(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. thus "P(a)" .. qed next show "∀x. Q(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. thus "Q(a)" .. qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_1c: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 6.2 (p. 19). Demostrar (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_2a: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof (rule allI) fix a have "∀x. P(x)" using assms by (rule conjunct1) hence "P(a)" by (rule allE) have "∀x. Q(x)" using assms by (rule conjunct2) hence "Q(a)" by (rule allE) with `P(a)` show "P(a) ∧ Q(a)" by (rule conjI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_2b: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof fix a have "∀x. P(x)" using assms .. hence "P(a)" by (rule allE) have "∀x. Q(x)" using assms .. hence "Q(a)" .. with `P(a)` show "P(a) ∧ Q(a)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_2c: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 6.3 (p. 20). Demostrar ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⟷ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_3a: "(∀x. P(x) ∧ Q(x)) ⟷ ((∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)))" proof (rule iffI) assume "∀x. P(x) ∧ Q(x)" thus "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" by (rule ejemplo_6_1a) next assume "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" thus "∀x. P(x) ∧ Q(x)" by (rule ejemplo_6_2a) qed text {* Ejemplo 7.1 (p. 21). Demostrar (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) ⊢ ∃x. P(x) ∨ Q(x) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_1a: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof (rule disjE) assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" by (rule exE) hence "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI1) thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" by (rule exE) hence "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI2) thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_7_1b: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" .. hence "P(a) ∨ Q(a)" .. thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" .. hence "P(a) ∨ Q(a)" .. thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_7_1c: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms by auto text {* Ejemplo 7.2 (p. 22). Demostrar ∃x. P(x) ∨ Q(x) ⊢ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_2a: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms by (rule exE) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof (rule disjE) assume "P(a)" hence "∃x. P(x)" by (rule exI) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI1) next assume "Q(a)" hence "∃x. Q(x)" by (rule exI) thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI2) qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejercicio_7_2b: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof assume "P(a)" hence "∃x. P(x)" .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. next assume "Q(a)" hence "∃x. Q(x)" .. thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejercicio_7_2c: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 7.3 (p. 23). Demostrar ⊢ ((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_3a: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" proof (rule iffI) assume "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" thus "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule ejemplo_7_1a) next assume "∃x. P(x) ∨ Q(x)" thus "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule ejemplo_7_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_7_3b: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" using assms by auto text {* Ejemplo 8.1 (p. 24). Demostrar ∃x y. P(x,y) ⊢ ∃y x. P(x,y) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_1a: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms by (rule exE) then obtain b where "P(a,b)" by (rule exE) hence "∃x. P(x,b)" by (rule exI) thus "∃y x. P(x,y)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_1b: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms .. then obtain b where "P(a,b)" .. hence "∃x. P(x,b)" .. thus "∃y x. P(x,y)" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_1c: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" using assms by auto text {* Ejemplo 8.2. Demostrar ∃y x. P(x,y) ⊢ ∃x y. P(x,y) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_2a: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms by (rule exE) then obtain a where "P(a,b)" by (rule exE) hence "∃y. P(a,y)" by (rule exI) thus "∃x y. P(x,y)" by (rule exI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2b: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms .. then obtain a where "P(a,b)" .. hence "∃y. P(a,y)" .. thus "∃x y. P(x,y)" .. qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2c: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" using assms by auto text {* Ejemplo 8.3 (p. 25). Demostrar ⊢ (∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_3a: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" proof (rule iffI) assume "∃x y. P(x,y)" thus "∃y x. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_1a) next assume "∃y x. P(x,y)" thus "∃x y. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_2a) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_3b: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" by auto section {* Reglas de la igualdad *} text {* Las reglas básicas de la igualdad son: · refl: t = t · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t *} text {* Ejemplo 9 (p. 27). Demostrar x+1 = 1+x, x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0 ⊢ 1+x > 1 ⟶ 1+x > 0 *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_9a: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" proof - show "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by (rule subst) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_9b: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by (rule subst) -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_9c: assumes "x+1 = 1+x" "x+1 > 1 ⟶ x+1 > 0" shows "1+x > 1 ⟶ 1+x > 0" using assms by auto text {* Ejemplo 10 (p. 27). Demostrar x = y, y = z ⊢ x = z *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_10a: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" proof - show "x = z" using assms(2,1) by (rule subst) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_10b: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms(2,1) by (rule subst) -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_10c: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms by auto text {* Ejemplo 11 (p. 28). Demostrar s = t ⊢ t = s *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_11a: assumes "s = t" shows "t = s" proof - have "s = s" by (rule refl) with assms show "t = s" by (rule subst) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_11b: assumes "s = t" shows "t = s" using assms by auto end |
Finalmente, se ha presentado cómo usar APLI2 para la formalización lógica de argumentos. Después de que APLI2 haya aceptado la formalización del argumento como una traducción válida su versión en lenguaje natural, se ha mostrado cómo usar Isabelle/HOL para demostrar la corrección del argumento.
Como tarea se ha propuesto los ejercicios de la relación 11.