PFH: Ejercicios sobre árboles binarios de búsqueda
He añadido a la colección de Ejercicios de programación funcional con Haskell la relación de árboles binarios de búsqueda en la que se definen los tipos de datos de los árboles binarios y los árboles binarios de búsqueda, se definen funciones sobre dichos tipos y se comprueban con QuickCheck propiedades de las funciones definidas.
El contenido de la relación es el siguiente
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{-# LANGUAGE DerivingStrategies #-} {-# LANGUAGE GeneralisedNewtypeDeriving #-} module Arboles_binarios_de_busqueda where import Data.List (nub, sort, sortBy) import Data.Maybe (fromMaybe) import Test.QuickCheck import qualified Control.Monad.State as S -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Los siguientes árboles binarios -- 9 9 -- / \ / -- / \ / -- 8 6 8 -- / \ / \ / \ -- 3 2 4 5 3 2 -- se pueden representar por los términos -- N 9 (N 8 (N 3 V V) (N 2 V V)) (N 6 (N 4 V V) (N 5 V V)) -- N 9 (N 8 (N 3 V V) (N 2 V V)) V -- usando los contructores N (para los nodos) y V (para los árboles -- vacío). -- -- Definir el tipo de datos Arbol correspondiente a los términos -- anteriores. -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = N (Arbol a) a (Arbol a) | V deriving (Eq, Show) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir el procedimiento -- arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a) -- tal que (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por -- ejemplo, -- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int)) -- N (N V 0 V) 0 V -- N (N (N (N (N (N V 1 V) (-1) V) (-2) V) (-1) V) 0 V) (-2) V -- N (N (N V (-4) V) (-4) V) 3 V -- N (N (N (N (N V (-5) V) 5 V) (-2) V) 4 V) (-1) V -- N (N (N V 5 V) 1 V) (-2) V -- N (N (N (N (N (N (N (N V 3 V) 10 V) 6 V) (-2) V) (-1) V) 6 V) 3 V) 6 V -- N (N V 10 V) 3 V -- N (N V 1 V) (-14) V -- N (N (N (N (N (N V 9 V) 15 V) 14 V) (-8) V) (-1) V) (-11) V -- N (N (N (N V (-8) V) 4 V) (-14) V) (-10) V -- N (N V (-13) V) 0 V -- --------------------------------------------------------------------- arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a) arbolArbitrario n | n <= 1 = return V | otherwise = do k <- choose (2, n - 1) N <$> arbolArbitrario k <*> arbitrary <*> arbolArbitrario (n - k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Declarar Arbol como subclase de Arbitraria usando el -- generador arbolArbitrario. -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where arbitrary = sized arbolArbitrario shrink V = [] shrink (N i x d) = i : d : [N i' x d | i' <- shrink i] ++ [N i x' d | x' <- shrink x] ++ [N i x d' | d' <- shrink d] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- mapArbol :: (a -> b) -> Arbol a -> Arbol b -- tal que (mapArbol f a) es el árbol obtenido aplicando la función f a -- los elementos del árbol a. Por ejemplo, -- mapArbol (+1) (N V 7 (N V 8 V)) == N V 8 (N V 9 V) -- --------------------------------------------------------------------- mapArbol :: (a -> b) -> Arbol a -> Arbol b mapArbol _ V = V mapArbol f (N i x d) = N (mapArbol f i) (f x) (mapArbol f d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comprobar con QuickCheck que, para todo árbol a, -- map id a == a -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mapArbol :: Arbol Int -> Property prop_mapArbol t = mapArbol id t === t -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_mapArbol -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Declarar el tipo Arbol una instancia de la clase -- Functor. -- --------------------------------------------------------------------- instance Functor Arbol where fmap = mapArbol -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- aplana :: Arbol a -> [a] -- tal que (aplana a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. Por -- ejemplo, -- aplana (N (N V 2 V) 5 V) == [2,5] -- --------------------------------------------------------------------- aplana :: Arbol a -> [a] aplana V = [] aplana (N i x d) = aplana i ++ [x] ++ aplana d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- estrictamenteCreciente :: Ord a => [a] -> Bool -- tal que (estrictamenteCreciente xs) se verifica si xs es -- estrictamente creciente. Por ejemplo, -- estrictamenteCreciente [2,3,5] == True -- estrictamenteCreciente [2,3,3] == False -- estrictamenteCreciente [2,5,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- estrictamenteCreciente :: Ord a => [a] -> Bool estrictamenteCreciente [] = True estrictamenteCreciente [_] = True estrictamenteCreciente (x : y : ys) = x < y && estrictamenteCreciente (y : ys) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario -- tal que el valor de cada nodo es mayor que los valores de su subárbol -- izquierdo y es menor que los valores de su subárbol derecho y, -- además, ambos subárboles son árboles binarios de búsqueda. Por -- ejemplo, al almacenar los valores de [2,3,4,5,6,8,9] en un ABB se -- puede obtener los siguientes ABB: -- -- 5 5 -- / \ / \ -- / \ / \ -- 2 6 3 8 -- \ \ / \ / \ -- 4 8 2 4 6 9 -- / \ -- 3 9 -- -- El objetivo principal de los ABB es reducir el tiempo de acceso a los -- valores. -- -- Definir la función -- esABB :: Ord a => Arbol a -> Bool -- tal que (esABB a) se verifica si a es un árbol binario de -- búsqueda. Por ejemplo, -- esABB (N (N V 2 V) 5 V) == True -- esABB (N V 3 (N V 3 V)) == False -- --------------------------------------------------------------------- esABB :: Ord a => Arbol a -> Bool esABB = estrictamenteCreciente . aplana -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck que un árbol binario a es un -- ABB si, y solo si, (aplana a) es una lista ordenada sin elementos -- repetidos. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_esABB :: Arbol Int -> Property prop_esABB a = esABB a === (xs == sort (nub xs)) where xs = aplana a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_esABB -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- minABB :: ABB a -> Maybe a -- tal que (minABB a) es el mínimo del ABB a. Por ejemplo, -- minABB (N (N V (-1) (N V 0 (N V 9 V))) 10 V) == Just (-1) -- minABB V == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- minABB :: ABB a -> Maybe a minABB V = Nothing minABB (N i x _) = case minABB i of Nothing -> Just x Just y -> Just y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- maxABB :: ABB a -> Maybe a -- tal que (maxABB a) es el máximo del ABB a. Por ejemplo, -- maxABB (N (N V (-1) (N V 0 (N V 9 V))) 10 V) == Just 10 -- maxABB V == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- maxABB :: ABB a -> Maybe a maxABB V = Nothing maxABB (N _ x d) = case maxABB d of Nothing -> Just x Just y -> Just y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir el tipo ABB para los árboles binarios de -- búsqueda (aunque el sistema de tipo no lo compruebe). -- --------------------------------------------------------------------- type ABB a = Arbol a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir el tipo ABB' con el constructor ABB' para los -- árboles binarios de búsqueda. -- --------------------------------------------------------------------- newtype ABB' = ABB' (ABB Integer) deriving newtype Show -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir el procedimiento -- abbArbitrario :: Int -> Gen (Arbol a) -- tal que (abbArbitrario n) es un árbol binario de búsqueda aleatorio -- de altura n. Por ejemplo, -- λ> sample (abbArbitrario 4) -- N (N V (-2) (N V (-1) V)) 0 V -- N (N (N V (-2) V) 0 V) 1 V -- N (N V (-4) V) (-3) (N V (-2) V) -- N (N V (-1) V) 3 (N V 4 V) -- N V 2 (N (N V 3 V) 4 V) -- N (N V (-8) V) (-7) (N V (-2) V) -- N (N V 1 (N V 6 V)) 11 V -- N (N (N V (-21) V) (-12) V) (-11) V -- N V (-1) (N V 0 (N V 1 V)) -- N (N V (-16) (N V (-15) V)) (-11) V -- N (N (N V (-6) V) (-5) V) (-4) V -- --------------------------------------------------------------------- abbArbitrario :: Int -> Gen ABB' abbArbitrario n | n <= 1 = return (ABB' V) | otherwise = do ni <- choose (1, n - 1) let nd = n - ni x <- arbitrary ABB' i' <- abbArbitrario ni ABB' d' <- abbArbitrario nd let iMax = fromMaybe (x - 1) (maxABB i') dMin = fromMaybe (x + 1) (minABB d') iDelta = max 0 (iMax - x + 1) dDelta = max 0 (x - dMin + 1) i = (+ (- iDelta)) <$> i' d = (+ dDelta) <$> d' return (ABB' (N i x d)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Declarar ABB' como subclase de Arbitraria usando el -- generador abbArbitrario. -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary ABB' where arbitrary = sized abbArbitrario shrink (ABB' V) = [] shrink (ABB' (N i x d)) = ABB' i : ABB' d : [ABB' (N i' x d) | ABB' i' <- shrink (ABB' i)] ++ [ABB' (N i x d') | ABB' d' <- shrink (ABB' d)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que abbArbitrario genera -- árboles binarios de búsqueda. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_abbArbitrario_esABB :: ABB' -> Bool prop_abbArbitrario_esABB (ABB' a) = esABB a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_abbArbitrario_esABB -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- pertenece :: Ord a => a -> ABB a -> Bool -- tal que (pertenece x a) se verifica si x pertenece al ABB a. Por -- ejemplo, -- pertenece 5 (N (N V 2 V) 5 V) == True -- pertenece 3 (N (N V 2 V) 5 V) == False -- --------------------------------------------------------------------- pertenece :: Ord a => a -> ABB a -> Bool pertenece _ V = False pertenece x (N i y d) | x < y = pertenece x i | x > y = pertenece x d | otherwise = True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- inserta :: Ord a => a -> ABB a -> ABB a -- tal que (inserta x a) es el ABB obtenido insertando x en a. Por -- ejemplo, -- λ> inserta 7 (N (N V (-1) (N V 0 (N V 9 V))) 10 V) -- N (N V (-1) (N V 0 (N (N V 7 V) 9 V))) 10 V -- --------------------------------------------------------------------- inserta :: Ord a => a -> ABB a -> ABB a inserta x V = N V x V inserta x (N l y r) | x < y = N (inserta x l) y r | x > y = N l y (inserta x r) | otherwise = N l x r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que si a es un ABB, entonces -- (inserta x a) es un ABB. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_inserta_ABB :: Integer -> ABB' -> Bool prop_inserta_ABB x (ABB' a) = esABB (inserta x a) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_inserta_ABB -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que inserta es idempotente. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_inserta_idempotente :: Integer -> ABB' -> Property prop_inserta_idempotente x (ABB' a) = inserta x (inserta x a) === inserta x a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_inserta_idempotente -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck que x pertenece a (inserta x a). -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_pertenece_inserta :: Integer -> ABB' -> Bool prop_pertenece_inserta x (ABB' a) = x `pertenece` inserta x a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_pertenece_inserta -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- borra :: Ord a => a -> ABB a -> ABB a -- tal que (borra x a) es el árbol binario de búsqueda obtenido borando -- en a el elemento x. Por ejemplo, -- borra 1 (N (N V 1 V) 2 (N V 7 V)) == N V 2 (N V 7 V) -- borra 2 (N (N V 1 V) 2 (N V 7 V)) == N V 1 (N V 7 V) -- borra 7 (N (N V 1 V) 2 (N V 7 V)) == N (N V 1 V) 2 V -- borra 8 (N (N V 1 V) 2 (N V 7 V)) == N (N V 1 V) 2 (N V 7 V) -- --------------------------------------------------------------------- borra :: Ord a => a -> ABB a -> ABB a borra _ V = V borra x (N i y d) | x < y = N (borra x i) y d | x > y = N i y (borra x d) | otherwise = case maxABB i of Nothing -> d Just z -> N (borra z i) z d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck que si a es un ABB, entonces -- (borra x a) es un ABB. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_borra_ABB :: Integer -> ABB' -> Bool prop_borra_ABB x (ABB' a) = esABB (borra x a) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_borra_ABB -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Comprobar con QuickCheck que si a es un ABB, entonces -- x no pertenece a (borra x a). -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_pertenece_borra :: Integer -> ABB' -> Bool prop_pertenece_borra x (ABB' a) = not (pertenece x (borra x a)) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_pertenece_borra -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- ordenadaDescendente :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenadaDescendente xs) es la lista obtenida ordenando xs de -- manera descendente. Por ejemplo, -- ordenadaDescendente [3,2,5] == [5,3,2] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición ordenadaDescendente1 :: Ord a => [a] -> [a] ordenadaDescendente1 = reverse . sort -- 2ª definición ordenadaDescendente :: Ord a => [a] -> [a] ordenadaDescendente = sortBy (flip compare) -- Comprobación de la equivalencia -- =============================== -- La propiedad es prop_ordenadaDescendente :: [Int] -> Property prop_ordenadaDescendente xs = ordenadaDescendente1 xs === ordenadaDescendente xs -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_ordenadaDescendente -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> last (ordenadaDescendente1 [1..7*10^6]) -- 1 -- (1.54 secs, 1,008,339,840 bytes) -- λ> last (ordenadaDescendente [1..7*10^6]) -- 1 -- (0.85 secs, 672,339,848 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- listaAabb :: Ord a => [a] -> ABB a -- tal que (listaAabb xs) es un árbol binario de búsqueda cuyos -- elementos son los de xs. Por ejemplo, -- λ> listaAabb [5,1,2,4,3] -- N (N (N V 1 V) 2 V) 3 (N V 4 (N V 5 V)) -- --------------------------------------------------------------------- listaAabb :: Ord a => [a] -> ABB a listaAabb = foldr inserta V -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Comprobar con QuickCheck que, para toda lista xs, -- (listaAabb xs) esun árbol binario de búsqueda. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_listaAabb_esABB :: [Int] -> Bool prop_listaAabb_esABB xs = esABB (listaAabb xs) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_listaAabb_esABB -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Comprobar con QuickCheck que, para toda lista xs, -- aplana (listaAabb xs) es la lista ordenada de los elementos de xs sin -- repeticiones. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_listaAabb_ordena :: [Int] -> Property prop_listaAabb_ordena xs = aplana (listaAabb xs) === nub (sort xs) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_listaAabb_ordena -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30. Definir la función -- etiquetaArbol :: Arbol a -> [b] -> Arbol (a, b) -- tal que (etiquetaArbolt xs) es el árbol t con las hojas etiquetadas -- con elementos de xs. Por ejemplo, -- λ> etiquetaArbol (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) "Betis" -- N (N (N (N V (8,'B') V) (4,'e') V) (5,'t') V) (7,'i') V -- --------------------------------------------------------------------- etiquetaArbol :: Arbol a -> [b] -> Arbol (a, b) etiquetaArbol t xs = fst (aux xs t) where aux :: [b] -> Arbol a -> (Arbol (a, b), [b]) aux ys V = (V, ys) aux ys (N i x d) = (N i' (x, b) d', ys'') where (i', b : ys') = aux ys i (d', ys'') = aux ys' d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 31. Definir la función -- enumeraArbol :: Arbol a -> Arbol (a, Int) -- tal que (enumeraArbolt xs) es el árbol t con las hojas enumeradas -- por números crecientes de izquierda a derecha. Por ejemplo, -- λ> enumeraArbol (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) -- N (N (N (N V (8,1) V) (4,2) V) (5,3) V) (7,4) V -- --------------------------------------------------------------------- enumeraArbol :: Arbol a -> Arbol (a, Int) enumeraArbol = flip etiquetaArbol [1..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 32. Definir la función -- traverseArbol :: Applicative f => (a -> f b) -> Arbol a -> f (Arbol b) -- tal que (traverseArbol f a) aplica a cada elemento de a la acción f, -- las acciones las evalúa de izquierda a derecha y recolexta los -- resultados. Por ejemplo, -- λ> dec n x = if x > n then Just (x - 1) else Nothing -- λ> traverseArbol (dec 3) (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) -- Just (N (N (N (N V 7 V) 3 V) 4 V) 6 V) -- λ> traverseArbol (dec 4) (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- traverseArbol :: Applicative f => (a -> f b) -> Arbol a -> f (Arbol b) traverseArbol _ V = pure V traverseArbol f (N l x r) = N <$> traverseArbol f l <*> f x <*> traverseArbol f r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 33. Definir, usando traverseArbol, la función -- enumeraArbol' :: Arbol a -> Arbol (a, Int) -- que sea equivalente a enumeraArbol. Por ejemplo, -- λ> dec n x = if x > n then Just (x - 1) else Nothing -- λ> traverseArbol' (dec 3) (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) -- Just (N (N (N (N V 7 V) 3 V) 4 V) 6 V) -- λ> traverseArbol' (dec 4) (N (N (N (N V 8 V) 4 V) 5 V) 7 V) -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- enumeraArbol' :: Arbol a -> Arbol (a, Int) enumeraArbol' t = S.evalState (traverseArbol f t) 1 where f c = do l <- S.get S.put $ succ l return (c, l) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 34. Comprobar con QuickCheck que las funciones enumeraArbol -- y enumeraArbol' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_enumeraArbol :: Arbol Char -> Property prop_enumeraArbol a = enumeraArbol a === enumeraArbol' a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_enumeraArbol -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 35. Definir la función -- foldrArbol :: (a -> b -> b) -> b -> Arbol a -> b -- tal que (foldrArbol f e) pliega el árbol a de derecha a izquierda -- usando el operador f y el valor inicial e. Por ejemplo, -- foldrArbol (+) 0 (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == 20 -- foldrArbol (*) 1 (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == 384 -- --------------------------------------------------------------------- foldrArbol :: (a -> b -> b) -> b -> Arbol a -> b foldrArbol f e = foldr f e . aplana -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 36. Declarar el tipo Arbol una instancia de la clase -- Foldable. -- --------------------------------------------------------------------- instance Foldable Arbol where foldr = foldrArbol -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 37. Dado el árbol -- a = N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V -- Calcular su longitud, máximo, mínimo, suma, producto y lista de -- elementos. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- λ> a = N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V -- λ> length a -- 4 -- λ> maximum a -- 8 -- λ> minimum a -- 2 -- λ> sum a -- 20 -- λ> product a -- 384 -- λ> Data.Foldable.toList a -- [8,2,6,4] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 38. Definir, usando foldr, la función -- aplana' :: Arbol a -> [a] -- tal que (aplana a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. Por -- ejemplo, -- aplana' (N (N V 2 V) 5 V) == [2,5] -- --------------------------------------------------------------------- aplana' :: Arbol a -> [a] aplana' = foldr (:) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 39. Comprobar con QuickCheck que las funciones aplana y -- aplana' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_aplana :: Arbol Int -> Property prop_aplana a = aplana a === aplana' a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_aplana -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30. Definir la función -- todos :: Foldable t => (a -> Bool) -> t a -> Bool -- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen -- la propiedad p. Por ejemplo, -- todos even [2,6,4] == True -- todos even [2,5,4] == False -- todos even (Just 6) == True -- todos even (Just 5) == False -- todos even Nothing == True -- todos even (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == True -- todos even (N (N (N (N V 8 V) 5 V) 6 V) 4 V) == False -- --------------------------------------------------------------------- todos :: Foldable t => (a -> Bool) -> t a -> Bool todos p = foldr (\x b -> p x && b) True |