PFH: Ejercicios de definiciones por plegado
He añadido a la colección de Ejercicios de programación funcional con Haskell la relación Definiciones por plegado en la que se muestra cómo se pueden definir funciones por plegado. Además, se comparan dichas definiciones con las definiciones recursivas, con acumuladores y con evaluación impaciente. Finalmente, se define la función de plegado para los árboles binarios y se usa para definir funciones sobre árboles.
El contenido de la relación es el siguiente
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{-# LANGUAGE BangPatterns #-} {-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-} module Definiciones_por_plegados where -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List (foldl') import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- producto :: Num a => [a] -> a -- tal que (producto xs) es el producto de los números de xs. Por -- ejemplo, -- producto [2,3,5] == 30 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición producto :: Num a => [a] -> a producto [] = 1 producto (x : xs) = x * producto xs -- 2ª definición producto2 :: Num a => [a] -> a producto2 = foldr (*) 1 -- 3ª definición producto3 :: Num a => [a] -> a producto3 = aux 1 where aux :: Num a => a -> [a] -> a aux r [] = r aux r (x : xs) = aux (r * x) xs -- 4ª definición producto4 :: Num a => [a] -> a producto4 = foldl (*) 1 -- 5ª definición producto5 :: Num a => [a] -> a producto5 = aux 1 where aux :: Num a => a -> [a] -> a aux !r [] = r aux !r (x : xs) = aux (r * x) xs -- 6ª definición producto6 :: Num a => [a] -> a producto6 = foldl' (*) 1 -- 7ª definición producto7 :: Num a => [a] -> a producto7 = product -- La propiedad de la equivalencia es prop_producto :: [Integer] -> Bool prop_producto xs = all (== producto xs) [producto2 xs, producto3 xs, producto4 xs, producto5 xs, producto6 xs, producto7 xs] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_producto -- +++ OK, passed 100 tests. -- La comparación de eficiencia es -- λ> length (show (producto [1..10^5])) -- 456574 -- (8.84 secs, 12,233,346,144 bytes) -- λ> length (show (producto2 [1..10^5])) -- 456574 -- (8.86 secs, 12,224,409,544 bytes) -- λ> length (show (producto3 [1..10^5])) -- 456574 -- (8.20 secs, 11,331,830,408 bytes) -- λ> length (show (producto4 [1..10^5])) -- 456574 -- (8.49 secs, 11,322,997,552 bytes) -- λ> length (show (producto5 [1..10^5])) -- 456574 -- (1.31 secs, 11,328,586,376 bytes) -- λ> length (show (producto6 [1..10^5])) -- 456574 -- (1.21 secs, 11,315,687,984 bytes) -- λ> length (show (producto7 [1..10^5])) -- 456574 -- (8.23 secs, 11,322,997,504 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- inversa :: [a] -> [a] -- tal que (inversa xs) es la inversa de xs. Por ejemplo, -- inversa [3,2,5] == [5,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición inversa1 :: [a] -> [a] inversa1 [] = [] inversa1 (x : xs) = inversa1 xs ++ [x] -- 2ª definición inversa2 :: [a] -> [a] inversa2 = foldr (\x r -> r ++ [x]) [] -- 3ª definición inversa3 :: [a] -> [a] inversa3 = aux [] where aux :: [a] -> [a] -> [a] aux r [] = r aux r (x : xs) = aux (x : r) xs -- 4ª definición inversa4 :: [a] -> [a] inversa4 = foldl (flip (:)) [] -- 5ª definición inversa5 :: [a] -> [a] inversa5 = aux [] where aux :: [a] -> [a] -> [a] aux !r [] = r aux !r (x : xs) = aux (x : r) xs -- 6ª definición inversa6 :: [a] -> [a] inversa6 = foldl' (flip (:)) [] -- 7ª definición inversa7 :: [a] -> [a] inversa7 = reverse -- La propiedad de equivalencia de las definiciones es prop_inversa :: [Integer] -> Bool prop_inversa xs = all (== inversa1 xs) [inversa2 xs, inversa3 xs, inversa4 xs, inversa5 xs, inversa6 xs, inversa7 xs] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_inversa -- +++ OK, passed 100 tests. -- La comparación de eficiencia es -- λ> length (inversa1 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (4.98 secs, 17,512,973,536 bytes) -- λ> length (inversa2 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (5.00 secs, 17,511,525,848 bytes) -- λ> length (inversa3 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (0.02 secs, 4,342,376 bytes) -- λ> length (inversa4 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (0.03 secs, 3,062,336 bytes) -- λ> length (inversa4 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (0.03 secs, 3,062,336 bytes) -- λ> length (inversa6 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (0.03 secs, 2,262,336 bytes) -- λ> length (inversa7 [1..2*10^4]) -- 20000 -- (0.01 secs, 2,262,336 bytes) -- -- λ> length (inversa4 [1..5*10^6]) -- 5000000 -- (0.74 secs, 680,343,848 bytes) -- λ> length (inversa5 [1..5*10^6]) -- 5000000 -- (1.50 secs, 1,000,343,888 bytes) -- λ> length (inversa6 [1..5*10^6]) -- 5000000 -- (0.51 secs, 480,343,848 bytes) -- λ> length (inversa7 [1..5*10^6]) -- 5000000 -- (0.48 secs, 480,343,848 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- coge :: Int -> [a] -> [a] -- tal que (coge n xs) es la lista formada por los n primeros elementos -- de xs. Por ejemplo, -- coge 3 "Betis" == "Bet" -- coge 9 "Betis" == "Betis" -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición coge :: Int -> [a] -> [a] coge n _ | n <= 0 = [] coge _ [] = [] coge n (x : xs) = x : coge (n - 1) xs -- 2ª definición coge2 :: Int -> [a] -> [a] coge2 = flip aux where aux :: [a] -> Int -> [a] aux = foldr f (const []) f :: a -> (Int -> [a]) -> Int -> [a] f x r n | n <= 0 = [] | otherwise = x : r (n - 1) -- 3ª definición coge3 :: Int -> [a] -> [a] coge3 = take -- La propiedad de equivalencia de las definiciones es prop_coge :: Int -> [Int] -> Bool prop_coge n xs = all (== coge n xs) [coge2 n xs, coge3 n xs] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_coge -- +++ OK, passed 100 tests. -- La comparación de eficiencia es -- λ> length (coge (3*10^6) [1..]) -- 3000000 -- (1.85 secs, 984,343,920 bytes) -- λ> length (coge2 (3*10^6) [1..]) -- 3000000 -- (1.76 secs, 1,200,344,192 bytes) -- λ> length (coge3 (3*10^6) [1..]) -- 3000000 -- (0.08 secs, 384,343,800 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- nFoldl :: forall a b. (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b -- tal que (nFoldl f e xs) pliega xs de izquierda a derecha usando el -- operador f y el valor inicial e. Por ejemplo, -- nFoldl (-) 20 [2,5,3] == 10 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición nFoldl :: forall a b. (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b nFoldl _ e [] = e nFoldl f e (x : xs) = nFoldl f (f e x) xs -- 2ª definición nFoldl2 :: forall a b. (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b nFoldl2 f e xs = aux xs e where aux :: [a] -> b -> b aux = foldr g id g :: a -> (b -> b) -> b -> b g a h b = h (f b a) -- 3ª definición nFoldl3 :: forall a b. (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b nFoldl3 = foldl -- Comparación de eficiencia -- λ> nFoldl min 0 [1..3*10^6] -- 0 -- (1.62 secs, 778,190,584 bytes) -- λ> nFoldl2 min 0 [1..3*10^6] -- 0 -- (1.61 secs, 826,190,736 bytes) -- λ> nFoldl3 min 0 [1..3*10^6] -- 0 -- (1.08 secs, 535,732,976 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Los siguientes árboles binarios -- 9 9 -- / \ / -- / \ / -- 8 6 8 -- / \ / \ / \ -- 3 2 4 5 3 2 -- se pueden representar por los términos -- N 9 (N 8 (N 3 V V) (N 2 V V)) (N 6 (N 4 V V) (N 5 V V)) -- N 9 (N 8 (N 3 V V) (N 2 V V)) V -- usando los contructores N (para los nodos) y V (para los árboles -- vacío). -- -- Definir el tipo de datos Arbol correspondiente a los términos -- anteriores. -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = N (Arbol a) a (Arbol a) | V deriving (Eq, Show) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir el procedimiento -- arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a) -- tal que (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de altura n. Por -- ejemplo, -- λ> sample (arbolArbitrario 3 :: Gen (Arbol Int)) -- N (N V 0 V) 0 V -- N (N (N (N (N (N V 1 V) (-1) V) (-2) V) (-1) V) 0 V) (-2) V -- N (N (N V (-4) V) (-4) V) 3 V -- N (N (N (N (N V (-5) V) 5 V) (-2) V) 4 V) (-1) V -- N (N (N V 5 V) 1 V) (-2) V -- N (N (N (N (N (N (N (N V 3 V) 10 V) 6 V) (-2) V) (-1) V) 6 V) 3 V) 6 V -- N (N V 10 V) 3 V -- N (N V 1 V) (-14) V -- N (N (N (N (N (N V 9 V) 15 V) 14 V) (-8) V) (-1) V) (-11) V -- N (N (N (N V (-8) V) 4 V) (-14) V) (-10) V -- N (N V (-13) V) 0 V -- --------------------------------------------------------------------- arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a) arbolArbitrario n | n <= 1 = return V | otherwise = do k <- choose (2, n - 1) N <$> arbolArbitrario k <*> arbitrary <*> arbolArbitrario (n - k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Declarar Arbol como subclase de Arbitraria usando el -- generador arbolArbitrario. -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where arbitrary = sized arbolArbitrario shrink V = [] shrink (N i x d) = i : d : [N i' x d | i' <- shrink i] ++ [N i x' d | x' <- shrink x] ++ [N i x d' | d' <- shrink d] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- aplana :: Arbol a -> [a] -- tal que (aplana a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. Por -- ejemplo, -- aplana (N (N V 2 V) 5 V) == [2,5] -- --------------------------------------------------------------------- aplana :: Arbol a -> [a] aplana V = [] aplana (N i x d) = aplana i ++ [x] ++ aplana d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- foldrArbol :: (a -> b -> b) -> b -> Arbol a -> b -- tal que (foldrArbol f e) pliega el árbol a de derecha a izquierda -- usando el operador f y el valor inicial e. Por ejemplo, -- foldrArbol (+) 0 (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == 20 -- foldrArbol (*) 1 (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == 384 -- --------------------------------------------------------------------- foldrArbol :: (a -> b -> b) -> b -> Arbol a -> b foldrArbol f e = foldr f e . aplana -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Declarar el tipo Arbol una instancia de la clase -- Foldable. -- --------------------------------------------------------------------- instance Foldable Arbol where foldr = foldrArbol -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Dado el árbol -- a = N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V -- Calcular su longitud, máximo, mínimo, suma, producto y lista de -- elementos. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- λ> a = N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V -- λ> length a -- 4 -- λ> maximum a -- 8 -- λ> minimum a -- 2 -- λ> sum a -- 20 -- λ> product a -- 384 -- λ> Data.Foldable.toList a -- [8,2,6,4] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir, usando foldr, la función -- aplana' :: Arbol a -> [a] -- tal que (aplana' a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. Por -- ejemplo, -- aplana' (N (N V 2 V) 5 V) == [2,5] -- --------------------------------------------------------------------- aplana' :: Arbol a -> [a] aplana' = foldr (:) [] -- La propiedad es de equivalencia de las definiciones es prop_aplana :: Arbol Int -> Property prop_aplana a = aplana a === aplana' a -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_aplana -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- todos :: Foldable t => (a -> Bool) -> t a -> Bool -- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen -- la propiedad p. Por ejemplo, -- todos even [2,6,4] == True -- todos even [2,5,4] == False -- todos even (Just 6) == True -- todos even (Just 5) == False -- todos even Nothing == True -- todos even (N (N (N (N V 8 V) 2 V) 6 V) 4 V) == True -- todos even (N (N (N (N V 8 V) 5 V) 6 V) 4 V) == False -- --------------------------------------------------------------------- todos :: Foldable t => (a -> Bool) -> t a -> Bool todos p = foldr (\x b -> p x && b) True |