LMF2019: Deducción natural en lógica de primer orden (1/2)
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se presentado la ampliación del cálculo de deducción natural proposional para tratar los cuantificadores.
Las transparencias de esta clase son las páginas 1 a 13 del tema 4.
A la vez que se han ido haciendo las demostraciones se ha explicado cómo hacerlas en Isabelle/HOL.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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chapter ‹Tema 4a: Deducción natural en lógica de primer orden› theory T4a_Deduccion_natural_en_logica_de_primer_orden imports Main begin text ‹El objetivo de este tema es presentar la deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL. La presentación se basa en los ejemplos de tema 4 del curso LMF que se encuentra en http://goo.gl/uJj8d (que a su vez se basa en el libro de Huth y Ryan "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY ). La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LMF donde se encuentra la demostración.› section ‹Reglas del cuantificador universal› text ‹Las reglas del cuantificador universal son · allE: ⟦∀x. P x; P a ⟹ R⟧ ⟹ R · allI: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x › subsection ‹Ejemplo 1› text ‹Ejemplo 1 (p. 10). Demostrar que P(c), ∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x)) ⊢ ¬Q(c) › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_1a: assumes 1: "P(c)" and 2: "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have 3: "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using 2 by (rule allE) show 4: "¬Q(c)" using 3 1 by (rule mp) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_1b: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" proof - have "P(c) ⟶ ¬Q(c)" using assms(2) .. then show "¬Q(c)" using assms(1) .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_1c: assumes "P(c)" "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))" shows "¬Q(c)" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_1d: "⟦P(c); ∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))⟧ ⟹ ¬Q(c)" apply (erule allE) (* da ⟦P c; P ?x ⟶ ¬ Q ?x⟧ ⟹ ¬ Q c *) apply (erule mp) (* da P c ⟹ P c *) apply assumption (* da No subgoals! *) done text ‹Explicaciones apply (erule allE) + Objetivo: "⟦P(c); ∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))⟧ ⟹ ¬Q(c)" + allE: "⟦∀x. ?P x; ?P ?x ⟹ ?R⟧ ⟹ ?R" + Unificador de ("¬Q(c)", "∀x. (P(x) ⟶ ¬Q(x))") y ("?R", "∀x. ?P x") es ?R / ¬Q(c) ?P x / P(x) ⟶ ¬Q(x) + Nuevo objetivo: "⟦P c; P ?x ⟶ ¬ Q ?x⟧ ⟹ ¬ Q c" apply (erule mp) + Objetivo: "⟦P c; P ?x ⟶ ¬ Q ?x⟧ ⟹ ¬ Q c" + mp: "⟦?P ⟶ ?Q; ?P⟧ ⟹ ?Q" + Unificador de ("¬ Q c", "P ?x ⟶ ¬ Q ?x") y ("?Q", "?P ⟶ ?Q") es ?Q / ¬ Q c ?P / P c + Nuevo objetivo: "P c ⟹ P c" › subsection ‹Ejemplo 2› text ‹Ejemplo 2 (p. 11). Demostrar que ∀x. (P x ⟶ ¬(Q x)), ∀x. P x ⊢ ∀x. ¬(Q x) › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_2a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof - { fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) have 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) } then show "∀x. ¬(Q x)" by (rule allI) qed ― ‹La demostración detallada hacia atrás es› lemma ejemplo_2b: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" and 2: "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof (rule allI) fix a have 3: "P a ⟶ ¬(Q a)" using 1 by (rule allE) have 4: "P a" using 2 by (rule allE) show 5: "¬(Q a)" using 3 4 by (rule mp) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_2c: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" proof fix a have "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ ¬(Q a)" using assms(1) .. then show "¬(Q a)" using ‹P a› .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_2d: assumes "∀x. (P x ⟶ ¬(Q x))" "∀x. P x" shows "∀x. ¬(Q x)" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_2e: "⟦∀x. (P x ⟶ ¬(Q x)); ∀y. P y⟧ ⟹ ∀z. ¬(Q z)" apply (rule allI) (* da ⋀z. ⟦P (?x2 z) ⟶ ¬ Q (?x2 z); P (?y4 z)⟧ ⟹ ¬ Q z*) apply (erule allE)+ (* da ⋀z. ⟦P (?x2 z) ⟶ ¬ Q (?x2 z); P (?y4 z)⟧ ⟹ ¬ Q z *) apply (erule mp) (* da ⋀z. P (?y4 z) ⟹ P z *) apply assumption (* da No subgoals! *) done section ‹Reglas del cuantificador existencial› text ‹Las reglas del cuantificador existencial son · exI: P a ⟹ ∃x. P x · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q En la regla exE la nueva variable se introduce mediante la declaración "obtain ... where ... by (rule exE)" › subsection ‹Ejemplo 3› text ‹Ejemplo 3 (p. 12). Demostrar que ∀x. P x ⊢ ∃x. P x › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_3a: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms by (rule allE) then show "∃x. P x" by (rule exI) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_3b: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof - fix a have "P a" using assms .. then show "∃x. P x" .. qed ― ‹La demostración estructurada se puede simplificar› lemma ejemplo_3c: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof (rule exI) fix a show "P a" using assms .. qed ― ‹La demostración estructurada se puede simplificar aún más› lemma ejemplo_3d: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" proof fix a show "P a" using assms .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_3e: assumes "∀x. P x" shows "∃x. P x" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_3f: "∀x. P x ⟹ ∃y. P y" apply (erule allE) (* da P ?x ⟹ ∃y. P y *) apply (erule exI) (* da No subgoals! *) done subsection ‹Ejemplo 4› text ‹Ejemplo 4 (p. 13). Demostrar ∀x. (P x ⟶ Q x), ∃x. P x ⊢ ∃x. Q x › subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_4a: assumes 1: "∀x. (P x ⟶ Q x)" and 2: "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where 3: "P a" using 2 by (rule exE) have 4: "P a ⟶ Q a" using 1 by (rule allE) have 5: "Q a" using 4 3 by (rule mp) then show 6: "∃x. Q x" by (rule exI) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_4b: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" proof - obtain a where "P a" using assms(2) .. have "P a ⟶ Q a" using assms(1) .. then have "Q a" using ‹P a› .. then show "∃x. Q x" .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_4c: assumes "∀x. (P x ⟶ Q x)" "∃x. P x" shows "∃x. Q x" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_4f: "⟦∀x. P x ⟶ Q x; ∃y. P y⟧ ⟹ ∃z. Q z" apply (erule exE) (* da ⋀y. ⟦∀x. P x ⟶ Q x; P y⟧ ⟹ ∃z. Q z *) apply (erule allE) (* da ⋀y. ⟦P y; P (?x2 y) ⟶ Q (?x2 y)⟧ ⟹ ∃z. Q z *) apply (rule exI) (* da ⋀y. ⟦P y; P (?x2 y) ⟶ Q (?x2 y)⟧ ⟹ Q (?z4 y) *) apply (erule mp) (* da ⋀y. P y ⟹ P (?x2 y) *) apply assumption (* da No subgoals! *) done end |