I1M2019: Distancia esperada entre dos puntos de un cuadrado unitario
En la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha visto otro caso de estudio de simulación aleatoria: la distancia esperada entre dos puntos de un cuadrado unitario. Su enunciado y solución se muestra a continuación:
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Definir, por simulación, la función -- distanciaEsperada :: Int -> IO Double -- tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos -- del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos -- aleatoriamente. Por ejemplo, -- distanciaEsperada 10 == 0.43903617921423593 -- distanciaEsperada 10 == 0.6342350621260004 -- distanciaEsperada 100 == 0.5180418995364429 -- distanciaEsperada 100 == 0.5288261085653962 -- distanciaEsperada 1000 == 0.5143804432569616 -- distanciaEsperada 10000 == 0.5208360147922616 -- -- El valor exacto de la distancia esperada es -- ve = (sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))/15 = 0.5214054331647207 -- Definir la función -- graficaDistanciaEsperada :: [Int] -> IO () -- tal que (graficaDistanciaEsperadan n) dibuja las gráficas de los -- pares (n, distanciaEsperada n) para n en la lista creciente ns junto -- con la recta y = ve, donde ve es el valor exacto. -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List (genericLength) import System.Random (newStdGen, randomRIO, randomRs) import Control.Monad (replicateM) import Graphics.Gnuplot.Simple -- 1ª solución -- =========== -- Un punto es un par de números reales. type Punto = (Double, Double) -- (puntosDelCuadrado n) es una lista de n puntos del cuadrado -- unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo, -- λ> puntosDelCuadrado 3 -- [(0.6067427807212623,0.24785843546479303), -- (0.9579158098726746,8.047408846191773e-2), -- (0.856758357789639,0.9814972717003113)] -- λ> puntosDelCuadrado 3 -- [(1.9785720974027532e-2,0.6343219201012211), -- (0.21903717179861604,0.20947986189590784), -- (0.4739903340716357,1.2262474491489095e-2)] puntosDelCuadrado :: Int -> IO [Punto] puntosDelCuadrado n = do gen <- newStdGen let xs = randomRs (0,1) gen (as, ys) = splitAt n xs (bs, _) = splitAt n ys return (zip as bs) -- (distancia p1 p2) es la distancia entre los puntos p1 y p2. Por -- ejemplo, -- distancia (0,0) (3,4) == 5.0 distancia :: Punto -> Punto -> Double distancia (x1,y1) (x2,y2) = sqrt ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) -- (distancias ps) es la lista de las distancias entre los elementos 1º -- y 2º, 3º y 4º, ... de ps. Por ejemplo, -- distancias [(0,0),(3,4),(1,1),(7,9)] == [5.0,10.0] distancias :: [Punto] -> [Double] distancias [] = [] distancias (p1:p2:ps) = distancia p1 p2 : distancias ps -- (media xs) es la media aritmética de los elementos de xs. Por ejemplo, -- media [1,7,1] == 3.0 media :: [Double] -> Double media xs = sum xs / genericLength xs -- (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos -- aleatorios en el cuadrado unitario. Por ejemplo, distanciaEsperada :: Int -> IO Double distanciaEsperada n = do ps <- puntosDelCuadrado (2*n) return (media (distancias ps)) -- 2ª solución -- =========== distanciaEsperada2 :: Int -> IO Double distanciaEsperada2 n = do ps <- puntosDelCuadrado2 (2*n) return (media (distancias ps)) -- (puntosDelCuadrado2 n) es una lista de n puntos del cuadrado -- unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo, -- λ> puntosDelCuadrado2 3 -- [(0.9836699352638695,0.5143414844876929), -- (0.8715237339877027,0.9905157772823782), -- (0.29502946161912935,0.16889248111565192)] -- λ> puntosDelCuadrado2 3 -- [(0.20405570457106392,0.47574116941605116), -- (0.7128182811364226,3.201419787777959e-2), -- (0.5576891231675457,0.9994474730919443)] puntosDelCuadrado2 :: Int -> IO [Punto] puntosDelCuadrado2 n = replicateM n puntoDelCuadrado2 -- (puntoDelCuadrado2 n) es un punto del cuadrado unitario de vértices -- opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo, -- λ> puntoDelCuadrado2 -- (0.7512991739803923,0.966436016138578) -- λ> puntoDelCuadrado2 -- (0.7306826194847795,0.8984574498515252) puntoDelCuadrado2 :: IO Punto puntoDelCuadrado2 = do x <- randomRIO (0, 1.0) y <- randomRIO (0, 1.0) return (x, y) -- 3ª solución -- =========== distanciaEsperada3 :: Int -> IO Double distanciaEsperada3 n = do ds <- distanciasAleatorias n return (media ds) -- (distanciasAleatorias n) es la lista de las distancias aleatorias -- entre n pares de puntos del cuadrado unitario. Por ejemplo, -- λ> distanciasAleatorias 3 -- [0.8325589110989705,0.6803336613847881,0.1690051224111662] -- λ> distanciasAleatorias 3 -- [0.3470124940889039,0.459002678562019,0.7665623634969365] distanciasAleatorias :: Int -> IO [Double] distanciasAleatorias n = replicateM n distanciaAleatoria -- distanciaAleatoria es la distancia de un par de punto del cuadrado -- unitario elegidos aleatoriamente. Por ejemplo, -- λ> distanciaAleatoria -- 0.8982361685460913 -- λ> distanciaAleatoria -- 0.9777207485571939 -- λ> distanciaAleatoria -- 0.6042223512347842 distanciaAleatoria :: IO Double distanciaAleatoria = do p1 <- puntoDelCuadrado2 p2 <- puntoDelCuadrado2 return (distancia p1 p2) -- 4ª solución -- =========== distanciaEsperada4 :: Int -> IO Double distanciaEsperada4 n = media <$> distanciasAleatorias n -- Gráfica -- ======= graficaDistanciaEsperada :: [Int] -> IO () graficaDistanciaEsperada ns = do ys <- mapM distanciaEsperada ns let e = (sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))/15 plotLists [ Key Nothing , PNG "Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png" ] [ zip ns ys , zip ns (repeat e)] |