LMF2014: Formas normales conjuntivas y disyuntivas en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de las formas conjuntivas y disyuntivas.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación.
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module FormasNormales where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librería suxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import SintaxisSemantica import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Equivalencia lógica -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir la función -- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool -- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son -- equivalentes. Por ejemplo, -- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True -- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True -- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True -- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool esEquivalente f g = esValida (Equi f g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal negativa -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir la función -- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop -- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin -- signos de equivalencia. Por ejemplo, -- eliminaEquivalencias (p <--> q) -- ==> ((p --> q) /\ (q --> p)) -- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r)) -- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q))) -- --------------------------------------------------------------------- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop eliminaEquivalencias (Atom f) = (Atom f) eliminaEquivalencias (Neg f) = Neg (eliminaEquivalencias f) eliminaEquivalencias (Conj f g) = Conj (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Disj f g) = Disj (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Impl f g) = Impl (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Equi f g) = Conj (Impl (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g)) (Impl (eliminaEquivalencias g) (eliminaEquivalencias f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop -- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin -- signos de implicación. Por ejemplo, -- eliminaImplicaciones (p --> q) -- ==> (no p \/ q) -- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q)) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p)) -- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia. -- --------------------------------------------------------------------- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop eliminaImplicaciones (Atom f) = (Atom f) eliminaImplicaciones (Neg f) = Neg (eliminaImplicaciones f) eliminaImplicaciones (Conj f g) = Conj (eliminaImplicaciones f) (eliminaImplicaciones g) eliminaImplicaciones (Disj f g) = Disj (eliminaImplicaciones f) (eliminaImplicaciones g) eliminaImplicaciones (Impl f g) = Disj (Neg (eliminaImplicaciones f)) (eliminaImplicaciones g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir la función -- interiorizaNegacion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaNegacion f) es una fórmula equivalente a f donde -- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo, -- interiorizaNegacion (no (no p)) ==> p -- interiorizaNegacion (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q) -- interiorizaNegacion (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q) -- interiorizaNegacion (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q) -- interiorizaNegacion (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q) -- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaNegacion :: Prop -> Prop interiorizaNegacion (Atom f) = (Atom f) interiorizaNegacion (Neg f) = interiorizaNegacionAux f interiorizaNegacion (Conj f g) = Conj (interiorizaNegacion f) (interiorizaNegacion g) interiorizaNegacion (Disj f g) = Disj (interiorizaNegacion f) (interiorizaNegacion g) interiorizaNegacionAux :: Prop -> Prop interiorizaNegacionAux (Atom f) = Neg (Atom f) interiorizaNegacionAux (Neg f) = interiorizaNegacion f interiorizaNegacionAux (Conj f g) = Disj (interiorizaNegacionAux f) (interiorizaNegacionAux g) interiorizaNegacionAux (Disj f g) = Conj (interiorizaNegacionAux f) (interiorizaNegacionAux g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal negativa. Por ejemplo, -- formaNormalNegativa (p <--> q) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p)) -- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r) -- ==> ((no p /\ q) \/ r) -- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s) -- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop formaNormalNegativa f = interiorizaNegacion (eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Literales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir la función -- literal :: Prop -> Bool -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por -- ejemplo, -- literal p ==> True -- literal (no p) ==> True -- literal (no (p --> q)) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- literal :: Prop -> Bool literal (Atom f) = True literal (Neg (Atom f)) = True literal _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de -- fórmula. -- --------------------------------------------------------------------- type Literal = Prop -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- complementario :: Literal -> Literal -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo, -- complementario p ==> no p -- complementario (no p) ==> p -- --------------------------------------------------------------------- complementario :: Literal -> Literal complementario (Atom f) = Neg (Atom f) complementario (Neg (Atom f)) = Atom f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal] -- tal que (literalesFormulaFNN f) es el conjunto de los literales de la -- fórmula en forma normal negativa f. -- literalesFormulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r] -- literalesFormulaFNN p ==> [p] -- literalesFormulaFNN (no p) ==> [no p] -- --------------------------------------------------------------------- literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal] literalesFormulaFNN (Disj f g) = (literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g) literalesFormulaFNN (Conj f g) = (literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g) literalesFormulaFNN f = [f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal conjuntiva -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- interiorizaDisyuncion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaDisyuncion f) es una fórmula equivalente a f -- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por -- ejemplo, -- interiorizaDisyuncion (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r)) -- interiorizaDisyuncion ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r)) -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaDisyuncion :: Prop -> Prop interiorizaDisyuncion (Disj (Conj f1 f2) g) = interiorizaDisyuncion (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion f1) (interiorizaDisyuncion g)) (Disj (interiorizaDisyuncion f2) (interiorizaDisyuncion g))) interiorizaDisyuncion (Disj f (Conj g1 g2)) = interiorizaDisyuncion (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g1)) (Disj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g2))) interiorizaDisyuncion (Conj f g) = Conj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g) interiorizaDisyuncion f = f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal conjuntiva. Por ejemplo, -- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r)) -- ==> (p /\ (no q \/ r)) -- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r))) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r)) -- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r)) -- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p))) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (formaNormalNegativa f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal disyuntiva -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- interiorizaConjuncion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaConjuncion f) es una fórmula equivalente a f -- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por -- ejemplo, -- interiorizaConjuncion (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r)) -- interiorizaConjuncion ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r)) -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaConjuncion :: Prop -> Prop interiorizaConjuncion (Conj (Disj f1 f2) g) = interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f1) (interiorizaConjuncion g)) (Conj (interiorizaConjuncion f2) (interiorizaConjuncion g))) interiorizaConjuncion (Conj f (Disj g1 g2)) = interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g1)) (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g2))) interiorizaConjuncion (Disj f g) = Disj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g) interiorizaConjuncion f = f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal disyuntiva. Por ejemplo, -- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r)) -- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r)) -- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r))) -- ==> (no p \/ (q /\ no r)) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f) |
En los ejercicios se usa, al igual que en la clase anterior el módulo SintaxisSemantica.