I1M2013: Ejercicios con el TAD de grafos en Haskell (2)

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones ejercicios, a partir del 5, sobre grafos de la 28ª relación.

Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
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-- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir operaciones
-- entre conjuntos, representados mediante listas ordenadas sin
-- repeticiones, explicado en el tema 17 cuyas transparencias se
-- encuentran en 
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-17t.pdf
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{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Librerías auxiliares                                             --
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import Test.QuickCheck

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-- § Representación de conjuntos y operaciones básicas                --
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-- Los conjuntos como listas ordenadas sin repeticiones.
newtype Conj a = Cj [a]
    deriving Eq

-- Procedimiento de escritura de los conjuntos.
instance (Show a) => Show (Conj a) where
    showsPrec _ (Cj s) cad = showConj s cad

showConj []     cad = showString "{}" cad
showConj (x:xs) cad = showChar '{' (shows x (showl xs cad))
     where showl []     cad = showChar '}' cad
           showl (x:xs) cad = showChar ',' (shows x (showl xs cad))

-- Ejemplo de conjunto:
--    ghci> c1
--    {0,1,2,3,5,7,9}
c1, c2, c3, c4 :: Conj Int
c1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0]
c2 = foldr inserta vacio [2,6,8,6,1,2,1,9,6]
c3 = Cj [2..100000]
c4 = Cj [1..100000]

-- vacio es el conjunto vacío. Por ejemplo,
--    ghci> vacio
--    {}
vacio :: Conj a                         
vacio = Cj []

-- (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo, 
--    esVacio c1     ==  False
--    esVacio vacio  ==  True
esVacio :: Conj a -> Bool                
esVacio (Cj xs) = null xs

-- (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Por ejemplo, 
--    c1              ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    pertenece 3 c1  ==  True
--    pertenece 4 c1  ==  False
pertenece :: Ord a => a -> Conj a -> Bool 
pertenece x (Cj s) = x `elem` takeWhile (<= x) s

-- (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x al
-- conjunto c. Por ejemplo,
--    c1            ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    inserta 5 c1  ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    inserta 4 c1  ==  {0,1,2,3,4,5,7,9}
inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a
inserta x (Cj s) = Cj (agrega x s)
    where agrega x []                    = [x]                
          agrega x s@(y:ys) | x > y      = y : agrega x ys
                            | x < y      = x : s
                            | otherwise  = s

-- (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elemento x
-- del conjunto c. Por ejemplo,
--    c1            ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    elimina 3 c1  ==  {0,1,2,5,7,9}
elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a
elimina x (Cj s) = Cj (elimina x s)
    where elimina x []                   = []
          elimina x s@(y:ys) | x > y     = y : elimina x ys
                             | x < y     = s
                             | otherwise = ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Ejercicios                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si todos los elementos de c1 
-- pertenecen a c2. Por ejemplo,         
--    subconjunto (Cj [2..100000]) (Cj [1..100000]) == True
--    subconjunto (Cj [1..100000]) (Cj [2..100000]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se presentan distintas definiciones y se compara su eficiencia.

-- 1ª definición
subconjunto1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto1 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys
    where sublista [] _      = True
          sublista (x:xs) ys = elem x ys && sublista xs ys

-- 2ª definición
subconjunto2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto2 (Cj xs) c =
    and [pertenece x c | x <-xs]

-- 3ª definición
subconjunto3 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto3 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys
    where sublista [] _      = True
          sublista _ []      = False
          sublista (x:xs) ys@(y:zs) = x >= y && elem x ys &&
                                       sublista xs zs

-- 4ª definición
subconjunto4 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto4 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys
    where sublista [] _      = True
          sublista _ []      = False
          sublista (x:xs) ys@(y:zs) 
              | x < y  = False
              | x == y = sublista xs zs
              | x > y  = elem x zs && sublista xs zs

-- Comparación de la eficiencia:
--    ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--      C-c C-cInterrupted.
--    ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--      C-c C-cInterrupted.
--    ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--    True
--    (0.52 secs, 26097076 bytes)
--    ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--    True
--    (0.66 secs, 32236700 bytes)
--    ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.54 secs, 3679024 bytes)
--    ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (38.19 secs, 1415562032 bytes)
--    ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.08 secs, 3201112 bytes)
--    ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.09 secs, 3708988 bytes)

-- En lo que sigue, se usará la 3ª definición:
subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto = subconjunto3

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal (subconjuntoPropio c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto 
-- propio de c2. Por ejemplo,
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..7]) == True
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..4]) == False
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [2..5]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjuntoPropio c1 c2 = 
    subconjunto c1 c2 && c1 /= c2
  
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    unitario :: Ord a => a -> Conj a 
-- tal que (unitario x) es el conjunto {x}. Por ejemplo,
--   unitario 5 == {5}
-- ---------------------------------------------------------------------

unitario :: Ord a => a -> Conj a 
unitario x = inserta x vacio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    cardinal :: Conj a -> Int
-- tal que (cardinal c) es el número de elementos del conjunto c. Por
-- ejemplo,
--    cardinal c1 == 7
--    cardinal c2 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

cardinal :: Conj a -> Int
cardinal (Cj xs) = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal (union c1 c2) es la unión de ambos conjuntos. Por ejemplo,
--    union c1 c2             == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}
--    cardinal (union2 c3 c4) == 100000
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se considera distintas definiciones y se compara la eficiencia.

-- 1ª definición:
union1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union1 (Cj xs) (Cj ys) = foldr inserta (Cj ys) xs

-- Otra definión es
union2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (unionL xs ys)
    where unionL [] ys = ys 
          unionL xs [] = xs 
          unionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)
              | x < y  = x : unionL xs l2
              | x == y = x : unionL xs ys
              | x > y  = y : unionL l1 ys 

-- Comparación de eficiencia
--    ghci> :set +s
--    ghci> let c = Cj [1..1000]
--    ghci> cardinal (union1 c c)
--    1000
--    (1.04 secs, 56914332 bytes)
--    ghci> cardinal (union2 c c)
--    1000
--    (0.01 secs, 549596 bytes)

-- En lo que sigue se usará la 2ª definición
union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union = union2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
-- tal (unionG cs) calcule la unión de la lista de conjuntos cd. Por
-- ejemplo,
--    unionG [c1, c2] == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
unionG []          = vacio
unionG (Cj xs:css) = Cj xs `union` unionG css

-- Se puede definir por plegados
unionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
unionG2 = foldr union vacio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    interseccion :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (interseccion c1 c2) es la intersección de los conjuntos c1 y
-- c2. Por ejemplo,
--    interseccion (Cj [1..7]) (Cj [4..9])    == {4,5,6,7}
--    interseccion (Cj [2..1000000]) (Cj [1]) == {}
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se da distintas definiciones y se compara su eficiencia.

-- 1ª definición
interseccion1 :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion1 (Cj xs) (Cj ys) = Cj [x | x <- xs, x `elem` ys]

-- 2ª definición
interseccion2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (interseccionL xs ys)
    where interseccionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)
              | x > y   = interseccionL l1 ys
              | x == y  = x : interseccionL xs ys
              | x < y   = interseccionL xs l2
          interseccionL _ _ = []

-- La comparación de eficiencia es
-- ghci> interseccion1 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])
-- {}
-- (0.32 secs, 80396188 bytes)
-- ghci> interseccion2 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])
-- {}
-- (0.00 secs, 2108848 bytes)

-- En lo que sigue se usa la 2ª definición:
interseccion :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion = interseccion2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
-- tal que (interseccionG cs) es la intersección de la lista de
-- conjuntos cs. Por ejemplo,
--    interseccionG [c1, c2] == {1,2,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
interseccionG [c] = c
interseccionG (cs:css) = interseccion cs (interseccionG css)

-- Se puede definir por plegado
interseccionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
interseccionG2 = foldr1 interseccion

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal que (disjuntos c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 son
-- disjuntos. Por ejemplo,
--   disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [6..9]) == True
--   disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [1..9]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
disjuntos c1 c2 = esVacio (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (diferencia c1 c2) es el conjunto de los elementos de c1 que
-- no son elementos de c2. Por ejemplo,
--    diferencia c1 c2 == {0,3,5,7}
--    diferencia c2 c1 == {6,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
diferencia (Cj xs) (Cj ys) = Cj zs
    where zs = [x | x <- xs, x `notElem` ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (diferenciaSimetrica c1 c2) es la diferencia simétrica de los
-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,
--   diferenciaSimetrica c1 c2 == {0,3,5,6,7,8}
--   diferenciaSimetrica c2 c1 == {0,3,5,6,7,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
diferenciaSimetrica c1 c2 = 
    diferencia (union c1 c2) (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a
-- tal (filtra p c) es el conjunto de elementos de c que verifican el
-- predicado p. Por ejemplo,
--    filtra even c1 == {0,2}
--    filtra odd  c1  == {1,3,5,7,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a
filtra p (Cj xs) = Cj (filter p xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)
-- tal que (particion c) es el par formado por dos conjuntos: el de sus
-- elementos que verifican p y el de los elementos que no lo
-- verifica. Por ejemplo,
--    particion even c1 == ({0,2},{1,3,5,7,9})
-- ---------------------------------------------------------------------

particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)
particion p c = (filtra p c, filtra (not . p) c)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    divide :: (Ord a) => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)
-- tal que (divide x c) es el par formado por dos subconjuntos de c: el
-- de los elementos menores o iguales que x y el de los mayores que x.
-- Por ejemplo,
--    divide 5 c1 == ({0,1,2,3,5},{7,9})  
-- ---------------------------------------------------------------------

divide :: Ord a => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)
divide x = particion (<= x)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b
-- tal que (map f c) es el conjunto formado por las imágenes de los
-- elemsntos de c, mediante f. Por ejemplo,
--   mapC (*2) (Cj [1..4]) == {2,4,6,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b
mapC f (Cj xs) = Cj (map f xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
-- tal que (everyC p c) se verifica si todos los elemsntos de c
-- verifican el predicado p.  Por ejmplo,
--   everyC even (Cj [2,4..10]) == True
--   everyC even (Cj [2..10])   == False
-- ---------------------------------------------------------------------

everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
everyC p (Cj xs) = all p xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
--    someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
-- tal que (someC p c) se verifica si algún elemento de c verifica el
-- predicado p. Por ejemplo,
--   someC even (Cj [1,4,7]) == True
--   someC even (Cj [1,3,7]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
someC p (Cj xs) = any p xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)
-- tal que (productoC c1 c2) es el producto cartesiano de los 
-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,
--   productoC (Cj [1,3]) (Cj [2,4])== {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}
-- ---------------------------------------------------------------------

productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)
productoC (Cj xs) (Cj ys) = 
    foldr inserta vacio [(x,y) | x <- xs, y <- ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio. Especificar que, dado un tipo ordenado a, el orden entre
-- los conjuntos con elementos en a es el orden inducido por el orden
-- existente entre las listas con elementos en a. 
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Ord a => Ord (Conj a) where
    (Cj xs) <= (Cj ys) = xs <= ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)
-- tal que (potencia c) es el conjunto potencia de c; es decir, el
-- conjunto de todos los subconjuntos de c. Por ejemplo,
--    potencia (Cj [1,2])  == {{},{1},{1,2},{2}}
--    potencia (Cj [1..3]) == {{},{1},{1,2},{1,2,3},{1,3},{2},{2,3},{3}}
-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)
potencia (Cj []) = unitario vacio
potencia (Cj (x:xs)) = mapC (inserta x) pr `union` pr
    where pr = potencia (Cj xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que la relación de subconjunto
-- es un orden parcial. Es decir, es una relación reflexiva,
-- antisimétrica y transitiva.
-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoReflexiva:: Conj Int -> Bool
propSubconjuntoReflexiva c = subconjunto c c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoReflexiva
--    +++ OK, passed 100 tests.

propSubconjuntoAntisimetrica:: Conj Int -> Conj Int -> Property
propSubconjuntoAntisimetrica c1 c2 =
    subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c1 ==> c1 == c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoAntisimetrica
--    *** Gave up! Passed only 13 tests.

propSubconjuntoTransitiva :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Property
propSubconjuntoTransitiva c1 c2 c3 =
    subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c3 ==> subconjunto c1 c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoTransitiva
--    *** Gave up! Passed only 7 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que el conjunto vacío está
-- contenido en cualquier conjunto.
-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoVacio:: Conj Int -> Bool
propSubconjuntoVacio c = subconjunto vacio c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoVacio
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la unión de conjuntos:
--    Idempotente:      A U A = A
--    Neutro:           A U {} = A
--    Commutativa:      A U B = B U A
--    Asociativa:       A U (B U C) = (A U B) U C
--    UnionSubconjunto: A y B son subconjuntos de (A U B)
--    UnionDiferencia:  A U B = A U (B \ A)
-- ---------------------------------------------------------------------

propUnionIdempotente :: Conj Int -> Bool
propUnionIdempotente c = 
    union c c == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionIdempotente
--    +++ OK, passed 100 tests.

propVacioNeutroUnion:: Conj Int -> Bool
propVacioNeutroUnion c = 
    union c vacio == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propVacioNeutroUnion
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionCommutativa:: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionCommutativa c1 c2 =
    union c1 c2 == union c2 c1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionCommutativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionAsociativa:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionAsociativa c1 c2 c3 =
    union c1 (union c2 c3) == union (union c1 c2) c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionAsociativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionSubconjunto c1 c2 =
    subconjunto c1 c3 && subconjunto c2 c3
    where c3 = union c1 c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionSubconjunto
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionDiferencia :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionDiferencia c1 c2 =
    union c1 c2 == union c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionDiferencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la intersección de conjuntos:
--    Idempotente:             A n A = A
--    VacioInterseccion:       A n {} = {}
--    Commutativa:             A n B = B n A
--    Asociativa:              A n (B n C) = (A n B) n C
--    InterseccionSubconjunto: (A n B) es subconjunto de A y B
--    DistributivaIU:          A n (B U C) = (A n B) U (A n C)
--    DistributivaUI:          A U (B n C) = (A U B) n (A U C)
-- ---------------------------------------------------------------------


propInterseccionIdempotente :: Conj Int -> Bool
propInterseccionIdempotente c = 
    interseccion c c == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionIdempotente
--    +++ OK, passed 100 tests.

propVacioInterseccion:: Conj Int -> Bool
propVacioInterseccion c = 
    interseccion c vacio == vacio

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propVacioInterseccion
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionCommutativa:: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionCommutativa c1 c2 =
    interseccion c1 c2 == interseccion c2 c1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionCommutativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionAsociativa:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionAsociativa c1 c2 c3 =
    interseccion c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (interseccion c1 c2) c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionAsociativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionSubconjunto c1 c2 =
    subconjunto c3 c1 && subconjunto c3 c2
        where c3 = interseccion c1 c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionSubconjunto
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaIU:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDistributivaIU c1 c2 c3 =
    interseccion c1 (union c2 c3) == union (interseccion c1 c2)
                                           (interseccion c1 c3)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDistributivaIU
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaUI:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDistributivaUI c1 c2 c3 =
    union c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (union c1 c2)
                                                  (union c1 c3)
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDistributivaUI
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la diferencia de conjuntos:
--    DiferenciaVacio1: A \ {} = A
--    DiferenciaVacio2: {} \ A = {}
--    DiferenciaDif1:   (A \ B) \ C = A \ (B U C)
--    DiferenciaDif2:   A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C)
--    DiferenciaSubc:   (A \ B) es subconjunto de A
--    DiferenciaDisj:   A y (B \ A) son disjuntos
--    DiferenciaUI:     (A U B) \ A = B \ (A n B)
-- ---------------------------------------------------------------------

propDiferenciaVacio1 :: Conj Int -> Bool
propDiferenciaVacio1 c = diferencia c vacio == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaVacio2 :: Conj Int -> Bool
propDiferenciaVacio2 c = diferencia vacio c == vacio

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif1 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDif1 c1 c2 c3 =
  diferencia (diferencia c1 c2) c3 == diferencia c1 (union c2 c3)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDif1
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif2 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDif2 c1 c2 c3 =
  diferencia c1 (diferencia c2 c3) == union (diferencia c1 c2) 
                                            (interseccion c1 c3) 
  
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDif2
--    +++ OK, passed 100 tests.  

propDiferenciaSubc:: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaSubc c1 c2 =
  subconjunto (diferencia c1 c2) c1
  
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaSubc
--    +++ OK, passed 100 tests.  

propDiferenciaDisj:: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDisj c1 c2 =  
  disjuntos c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDisj
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaUI:: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaUI c1 c2 =  
  diferencia (union c1 c2) c1 == diferencia c2 (interseccion c1 c2)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaUI
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Generador de conjuntos                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- genConjunto es un generador de conjuntos. Por ejemplo,
--    ghci> sample genConjunto
--    {}
--    {}
--    {}
--    {3,-2,-2,-3,-2,4}
--    {-8,0,4,6,-5,-2}
--    {12,-2,-1,-10,-2,2,15,15}
--    {2}
--    {}
--    {-42,55,55,-11,23,23,-11,27,-17,-48,16,-15,-7,5,41,43}
--    {-124,-66,-5,-47,58,-88,-32,-125}
--    {49,-38,-231,-117,-32,-3,45,227,-41,54,169,-160,19}
genConjunto :: Gen (Conj Int)
genConjunto = do xs <- listOf arbitrary
                 return (foldr inserta vacio xs)

-- Los conjuntos son concreciones de los arbitrarios.
instance Arbitrary (Conj Int) where
    arbitrary = genConjunto

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir operaciones

-- entre conjuntos, representados mediante listas ordenadas sin

-- repeticiones, explicado en el tema 17 cuyas transparencias se

-- encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-17t.pdf

-- ---------------------------------------------------------------------

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Librerías auxiliares --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Representación de conjuntos y operaciones básicas --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los conjuntos como listas ordenadas sin repeticiones.

newtype Conj a = Cj [a]

deriving Eq

-- Procedimiento de escritura de los conjuntos.

instance (Show a) => Show (Conj a) where

showsPrec _ (Cj s) cad = showConj s cad

showConj [] cad = showString "{}" cad

showConj (x:xs) cad = showChar '{' (shows x (showl xs cad))

where showl [] cad = showChar '}' cad

showl (x:xs) cad = showChar ',' (shows x (showl xs cad))

-- Ejemplo de conjunto:

-- ghci> c1

-- {0,1,2,3,5,7,9}

c1, c2, c3, c4 :: Conj Int

c1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0]

c2 = foldr inserta vacio [2,6,8,6,1,2,1,9,6]

c3 = Cj [2..100000]

c4 = Cj [1..100000]

-- vacio es el conjunto vacío. Por ejemplo,

-- ghci> vacio

-- {}

vacio :: Conj a

vacio = Cj []

-- (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo,

-- esVacio c1 == False

-- esVacio vacio == True

esVacio :: Conj a -> Bool

esVacio (Cj xs) = null xs

-- (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- pertenece 3 c1 == True

-- pertenece 4 c1 == False

pertenece :: Ord a => a -> Conj a -> Bool

pertenece x (Cj s) = x `elem` takeWhile (<= x) s

-- (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x al

-- conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- inserta 5 c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- inserta 4 c1 == {0,1,2,3,4,5,7,9}

inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a

inserta x (Cj s) = Cj (agrega x s)

where agrega x [] = [x]

agrega x s@(y:ys) | x > y = y : agrega x ys

| x < y = x : s

| otherwise = s

-- (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elemento x

-- del conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- elimina 3 c1 == {0,1,2,5,7,9}

elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a

elimina x (Cj s) = Cj (elimina x s)

where elimina x [] = []

elimina x s@(y:ys) | x > y = y : elimina x ys

| x < y = s

| otherwise = ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Ejercicios --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si todos los elementos de c1

-- pertenecen a c2. Por ejemplo,

-- subconjunto (Cj [2..100000]) (Cj [1..100000]) == True

-- subconjunto (Cj [1..100000]) (Cj [2..100000]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se presentan distintas definiciones y se compara su eficiencia.

-- 1ª definición

subconjunto1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto1 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys

where sublista [] _ = True

sublista (x:xs) ys = elem x ys && sublista xs ys

-- 2ª definición

subconjunto2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto2 (Cj xs) c =

and [pertenece x c | x <-xs]

-- 3ª definición

subconjunto3 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto3 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys

where sublista [] _ = True

sublista _ [] = False

sublista (x:xs) ys@(y:zs) = x >= y && elem x ys &&

sublista xs zs

-- 4ª definición

subconjunto4 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto4 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys

where sublista [] _ = True

sublista _ [] = False

sublista (x:xs) ys@(y:zs)

| x < y = False

| x == y = sublista xs zs

| x > y = elem x zs && sublista xs zs

-- Comparación de la eficiencia:

-- ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- C-c C-cInterrupted.

-- ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- C-c C-cInterrupted.

-- ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- True

-- (0.52 secs, 26097076 bytes)

-- ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- True

-- (0.66 secs, 32236700 bytes)

-- ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.54 secs, 3679024 bytes)

-- ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (38.19 secs, 1415562032 bytes)

-- ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.08 secs, 3201112 bytes)

-- ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.09 secs, 3708988 bytes)

-- En lo que sigue, se usará la 3ª definición:

subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto = subconjunto3

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal (subconjuntoPropio c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto

-- propio de c2. Por ejemplo,

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..7]) == True

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..4]) == False

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [2..5]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjuntoPropio c1 c2 =

subconjunto c1 c2 && c1 /= c2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- unitario :: Ord a => a -> Conj a

-- tal que (unitario x) es el conjunto {x}. Por ejemplo,

-- unitario 5 == {5}

-- ---------------------------------------------------------------------

unitario :: Ord a => a -> Conj a

unitario x = inserta x vacio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- cardinal :: Conj a -> Int

-- tal que (cardinal c) es el número de elementos del conjunto c. Por

-- ejemplo,

-- cardinal c1 == 7

-- cardinal c2 == 5

-- ---------------------------------------------------------------------

cardinal :: Conj a -> Int

cardinal (Cj xs) = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal (union c1 c2) es la unión de ambos conjuntos. Por ejemplo,

-- union c1 c2 == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}

-- cardinal (union2 c3 c4) == 100000

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se considera distintas definiciones y se compara la eficiencia.

-- 1ª definición:

union1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union1 (Cj xs) (Cj ys) = foldr inserta (Cj ys) xs

-- Otra definión es

union2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (unionL xs ys)

where unionL [] ys = ys

unionL xs [] = xs

unionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)

| x < y = x : unionL xs l2

| x == y = x : unionL xs ys

| x > y = y : unionL l1 ys

-- Comparación de eficiencia

-- ghci> :set +s

-- ghci> let c = Cj [1..1000]

-- ghci> cardinal (union1 c c)

-- 1000

-- (1.04 secs, 56914332 bytes)

-- ghci> cardinal (union2 c c)

-- 1000

-- (0.01 secs, 549596 bytes)

-- En lo que sigue se usará la 2ª definición

union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union = union2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

-- tal (unionG cs) calcule la unión de la lista de conjuntos cd. Por

-- ejemplo,

-- unionG [c1, c2] == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

unionG [] = vacio

unionG (Cj xs:css) = Cj xs `union` unionG css

-- Se puede definir por plegados

unionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

unionG2 = foldr union vacio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- interseccion :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (interseccion c1 c2) es la intersección de los conjuntos c1 y

-- c2. Por ejemplo,

-- interseccion (Cj [1..7]) (Cj [4..9]) == {4,5,6,7}

-- interseccion (Cj [2..1000000]) (Cj [1]) == {}

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Se da distintas definiciones y se compara su eficiencia.

-- 1ª definición

interseccion1 :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion1 (Cj xs) (Cj ys) = Cj [x | x <- xs, x `elem` ys]

-- 2ª definición

interseccion2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (interseccionL xs ys)

where interseccionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)

| x > y = interseccionL l1 ys

| x == y = x : interseccionL xs ys

| x < y = interseccionL xs l2

interseccionL _ _ = []

-- La comparación de eficiencia es

-- ghci> interseccion1 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])

-- {}

-- (0.32 secs, 80396188 bytes)

-- ghci> interseccion2 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])

-- {}

-- (0.00 secs, 2108848 bytes)

-- En lo que sigue se usa la 2ª definición:

interseccion :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion = interseccion2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

-- tal que (interseccionG cs) es la intersección de la lista de

-- conjuntos cs. Por ejemplo,

-- interseccionG [c1, c2] == {1,2,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

interseccionG [c] = c

interseccionG (cs:css) = interseccion cs (interseccionG css)

-- Se puede definir por plegado

interseccionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

interseccionG2 = foldr1 interseccion

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal que (disjuntos c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 son

-- disjuntos. Por ejemplo,

-- disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [6..9]) == True

-- disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [1..9]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

disjuntos c1 c2 = esVacio (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (diferencia c1 c2) es el conjunto de los elementos de c1 que

-- no son elementos de c2. Por ejemplo,

-- diferencia c1 c2 == {0,3,5,7}

-- diferencia c2 c1 == {6,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

diferencia (Cj xs) (Cj ys) = Cj zs

where zs = [x | x <- xs, x `notElem` ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (diferenciaSimetrica c1 c2) es la diferencia simétrica de los

-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,

-- diferenciaSimetrica c1 c2 == {0,3,5,6,7,8}

-- diferenciaSimetrica c2 c1 == {0,3,5,6,7,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

diferenciaSimetrica c1 c2 =

diferencia (union c1 c2) (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a

-- tal (filtra p c) es el conjunto de elementos de c que verifican el

-- predicado p. Por ejemplo,

-- filtra even c1 == {0,2}

-- filtra odd c1 == {1,3,5,7,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a

filtra p (Cj xs) = Cj (filter p xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)

-- tal que (particion c) es el par formado por dos conjuntos: el de sus

-- elementos que verifican p y el de los elementos que no lo

-- verifica. Por ejemplo,

-- particion even c1 == ({0,2},{1,3,5,7,9})

-- ---------------------------------------------------------------------

particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)

particion p c = (filtra p c, filtra (not . p) c)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- divide :: (Ord a) => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)

-- tal que (divide x c) es el par formado por dos subconjuntos de c: el

-- de los elementos menores o iguales que x y el de los mayores que x.

-- Por ejemplo,

-- divide 5 c1 == ({0,1,2,3,5},{7,9})

-- ---------------------------------------------------------------------

divide :: Ord a => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)

divide x = particion (<= x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b

-- tal que (map f c) es el conjunto formado por las imágenes de los

-- elemsntos de c, mediante f. Por ejemplo,

-- mapC (*2) (Cj [1..4]) == {2,4,6,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b

mapC f (Cj xs) = Cj (map f xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

-- tal que (everyC p c) se verifica si todos los elemsntos de c

-- verifican el predicado p. Por ejmplo,

-- everyC even (Cj [2,4..10]) == True

-- everyC even (Cj [2..10]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

everyC p (Cj xs) = all p xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir la función

-- someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

-- tal que (someC p c) se verifica si algún elemento de c verifica el

-- predicado p. Por ejemplo,

-- someC even (Cj [1,4,7]) == True

-- someC even (Cj [1,3,7]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

someC p (Cj xs) = any p xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)

-- tal que (productoC c1 c2) es el producto cartesiano de los

-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,

-- productoC (Cj [1,3]) (Cj [2,4])== {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}

-- ---------------------------------------------------------------------

productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)

productoC (Cj xs) (Cj ys) =

foldr inserta vacio [(x,y) | x <- xs, y <- ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio. Especificar que, dado un tipo ordenado a, el orden entre

-- los conjuntos con elementos en a es el orden inducido por el orden

-- existente entre las listas con elementos en a.

-- ---------------------------------------------------------------------

instance Ord a => Ord (Conj a) where

(Cj xs) <= (Cj ys) = xs <= ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)

-- tal que (potencia c) es el conjunto potencia de c; es decir, el

-- conjunto de todos los subconjuntos de c. Por ejemplo,

-- potencia (Cj [1,2]) == {{},{1},{1,2},{2}}

-- potencia (Cj [1..3]) == {{},{1},{1,2},{1,2,3},{1,3},{2},{2,3},{3}}

-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)

potencia (Cj []) = unitario vacio

potencia (Cj (x:xs)) = mapC (inserta x) pr `union` pr

where pr = potencia (Cj xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que la relación de subconjunto

-- es un orden parcial. Es decir, es una relación reflexiva,

-- antisimétrica y transitiva.

-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoReflexiva:: Conj Int -> Bool

propSubconjuntoReflexiva c = subconjunto c c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoReflexiva

-- +++ OK, passed 100 tests.

propSubconjuntoAntisimetrica:: Conj Int -> Conj Int -> Property

propSubconjuntoAntisimetrica c1 c2 =

subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c1 ==> c1 == c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoAntisimetrica

-- *** Gave up! Passed only 13 tests.

propSubconjuntoTransitiva :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Property

propSubconjuntoTransitiva c1 c2 c3 =

subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c3 ==> subconjunto c1 c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoTransitiva

-- *** Gave up! Passed only 7 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que el conjunto vacío está

-- contenido en cualquier conjunto.

-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoVacio:: Conj Int -> Bool

propSubconjuntoVacio c = subconjunto vacio c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoVacio

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la unión de conjuntos:

-- Idempotente: A U A = A

-- Neutro: A U {} = A

-- Commutativa: A U B = B U A

-- Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

-- UnionSubconjunto: A y B son subconjuntos de (A U B)

-- UnionDiferencia: A U B = A U (B \ A)

-- ---------------------------------------------------------------------

propUnionIdempotente :: Conj Int -> Bool

propUnionIdempotente c =

union c c == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionIdempotente

-- +++ OK, passed 100 tests.

propVacioNeutroUnion:: Conj Int -> Bool

propVacioNeutroUnion c =

union c vacio == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propVacioNeutroUnion

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionCommutativa:: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionCommutativa c1 c2 =

union c1 c2 == union c2 c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionCommutativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionAsociativa:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionAsociativa c1 c2 c3 =

union c1 (union c2 c3) == union (union c1 c2) c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionAsociativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionSubconjunto c1 c2 =

subconjunto c1 c3 && subconjunto c2 c3

where c3 = union c1 c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionSubconjunto

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionDiferencia :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionDiferencia c1 c2 =

union c1 c2 == union c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionDiferencia

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la intersección de conjuntos:

-- Idempotente: A n A = A

-- VacioInterseccion: A n {} = {}

-- Commutativa: A n B = B n A

-- Asociativa: A n (B n C) = (A n B) n C

-- InterseccionSubconjunto: (A n B) es subconjunto de A y B

-- DistributivaIU: A n (B U C) = (A n B) U (A n C)

-- DistributivaUI: A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

-- ---------------------------------------------------------------------

propInterseccionIdempotente :: Conj Int -> Bool

propInterseccionIdempotente c =

interseccion c c == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionIdempotente

-- +++ OK, passed 100 tests.

propVacioInterseccion:: Conj Int -> Bool

propVacioInterseccion c =

interseccion c vacio == vacio

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propVacioInterseccion

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionCommutativa:: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionCommutativa c1 c2 =

interseccion c1 c2 == interseccion c2 c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionCommutativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionAsociativa:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionAsociativa c1 c2 c3 =

interseccion c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (interseccion c1 c2) c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionAsociativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionSubconjunto c1 c2 =

subconjunto c3 c1 && subconjunto c3 c2

where c3 = interseccion c1 c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionSubconjunto

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaIU:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDistributivaIU c1 c2 c3 =

interseccion c1 (union c2 c3) == union (interseccion c1 c2)

(interseccion c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDistributivaIU

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaUI:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDistributivaUI c1 c2 c3 =

union c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (union c1 c2)

(union c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDistributivaUI

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la diferencia de conjuntos:

-- DiferenciaVacio1: A \ {} = A

-- DiferenciaVacio2: {} \ A = {}

-- DiferenciaDif1: (A \ B) \ C = A \ (B U C)

-- DiferenciaDif2: A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C)

-- DiferenciaSubc: (A \ B) es subconjunto de A

-- DiferenciaDisj: A y (B \ A) son disjuntos

-- DiferenciaUI: (A U B) \ A = B \ (A n B)

-- ---------------------------------------------------------------------

propDiferenciaVacio1 :: Conj Int -> Bool

propDiferenciaVacio1 c = diferencia c vacio == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaVacio2 :: Conj Int -> Bool

propDiferenciaVacio2 c = diferencia vacio c == vacio

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif1 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDif1 c1 c2 c3 =

diferencia (diferencia c1 c2) c3 == diferencia c1 (union c2 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDif1

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif2 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDif2 c1 c2 c3 =

diferencia c1 (diferencia c2 c3) == union (diferencia c1 c2)

(interseccion c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDif2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaSubc:: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaSubc c1 c2 =

subconjunto (diferencia c1 c2) c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaSubc

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDisj:: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDisj c1 c2 =

disjuntos c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDisj

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaUI:: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaUI c1 c2 =

diferencia (union c1 c2) c1 == diferencia c2 (interseccion c1 c2)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaUI

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Generador de conjuntos --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- genConjunto es un generador de conjuntos. Por ejemplo,

-- ghci> sample genConjunto

-- {}

-- {3,-2,-2,-3,-2,4}

-- {-8,0,4,6,-5,-2}

-- {12,-2,-1,-10,-2,2,15,15}

-- {2}

-- {}

-- {-42,55,55,-11,23,23,-11,27,-17,-48,16,-15,-7,5,41,43}

-- {-124,-66,-5,-47,58,-88,-32,-125}

-- {49,-38,-231,-117,-32,-3,45,227,-41,54,169,-160,19}

genConjunto :: Gen (Conj Int)

genConjunto = do xs <- listOf arbitrary

return (foldr inserta vacio xs)

-- Los conjuntos son concreciones de los arbitrarios.

instance Arbitrary (Conj Int) where

arbitrary = genConjunto

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