LMF2013: Formas normales conjuntivas y disyuntivas en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de las formas conjuntivas y disyuntivas.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación. En los ejercicios se usa el módulo SintaxisSemantica desarrollado en la clase del día 27 de febrero.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 |
module FormasNormales where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librería suxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import SintaxisSemantica import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Equivalencia lógica -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir la función -- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool -- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son -- equivalentes. Por ejemplo, -- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True -- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True -- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True -- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool esEquivalente f g = esValida (Equi f g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal negativa -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir la función -- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop -- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin -- signos de equivalencia. Por ejemplo, -- eliminaEquivalencias (p <--> q) -- ==> ((p --> q) /\ (q --> p)) -- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r)) -- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q))) -- --------------------------------------------------------------------- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop eliminaEquivalencias (Atom f) = (Atom f) eliminaEquivalencias (Neg f) = Neg (eliminaEquivalencias f) eliminaEquivalencias (Conj f g) = Conj (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Disj f g) = Disj (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Impl f g) = Impl (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g) eliminaEquivalencias (Equi f g) = Conj (Impl (eliminaEquivalencias f) (eliminaEquivalencias g)) (Impl (eliminaEquivalencias g) (eliminaEquivalencias f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop -- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin -- signos de implicación. Por ejemplo, -- eliminaImplicaciones (p --> q) -- ==> (no p \/ q) -- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q)) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p)) -- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia. -- --------------------------------------------------------------------- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop eliminaImplicaciones (Atom f) = (Atom f) eliminaImplicaciones (Neg f) = Neg (eliminaImplicaciones f) eliminaImplicaciones (Conj f g) = Conj (eliminaImplicaciones f) (eliminaImplicaciones g) eliminaImplicaciones (Disj f g) = Disj (eliminaImplicaciones f) (eliminaImplicaciones g) eliminaImplicaciones (Impl f g) = Disj (Neg (eliminaImplicaciones f)) (eliminaImplicaciones g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir la función -- interiorizaNegacion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaNegacion f) es una fórmula equivalente a f donde -- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo, -- interiorizaNegacion (no (no p)) ==> p -- interiorizaNegacion (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q) -- interiorizaNegacion (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q) -- interiorizaNegacion (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q) -- interiorizaNegacion (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q) -- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaNegacion :: Prop -> Prop interiorizaNegacion (Atom f) = (Atom f) interiorizaNegacion (Neg f) = interiorizaNegacionAux f interiorizaNegacion (Conj f g) = Conj (interiorizaNegacion f) (interiorizaNegacion g) interiorizaNegacion (Disj f g) = Disj (interiorizaNegacion f) (interiorizaNegacion g) interiorizaNegacionAux :: Prop -> Prop interiorizaNegacionAux (Atom f) = Neg (Atom f) interiorizaNegacionAux (Neg f) = interiorizaNegacion f interiorizaNegacionAux (Conj f g) = Disj (interiorizaNegacionAux f) (interiorizaNegacionAux g) interiorizaNegacionAux (Disj f g) = Conj (interiorizaNegacionAux f) (interiorizaNegacionAux g) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal negativa. Por ejemplo, -- formaNormalNegativa (p <--> q) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p)) -- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r) -- ==> ((no p /\ q) \/ r) -- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s) -- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop formaNormalNegativa f = interiorizaNegacion (eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Literales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir la función -- literal :: Prop -> Bool -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por -- ejemplo, -- literal p ==> True -- literal (no p) ==> True -- literal (no (p --> q)) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- literal :: Prop -> Bool literal (Atom f) = True literal (Neg (Atom f)) = True literal _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de -- fórmula. -- --------------------------------------------------------------------- type Literal = Prop -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- complementario :: Literal -> Literal -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo, -- complementario p ==> no p -- complementario (no p) ==> p -- --------------------------------------------------------------------- complementario :: Literal -> Literal complementario (Atom f) = Neg (Atom f) complementario (Neg (Atom f)) = Atom f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal] -- tal que (literalesFormulaFNN f) es el conjunto de los literales de la -- fórmula en forma normal negativa f. -- literalesFormulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r] -- literalesFormulaFNN p ==> [p] -- literalesFormulaFNN (no p) ==> [no p] -- --------------------------------------------------------------------- literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal] literalesFormulaFNN (Disj f g) = (literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g) literalesFormulaFNN (Conj f g) = (literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g) literalesFormulaFNN f = [f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal conjuntiva -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- interiorizaDisyuncion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaDisyuncion f) es una fórmula equivalente a f -- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por -- ejemplo, -- interiorizaDisyuncion (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r)) -- interiorizaDisyuncion ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r)) -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaDisyuncion :: Prop -> Prop interiorizaDisyuncion (Disj (Conj f1 f2) g) = interiorizaDisyuncion (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion f1) (interiorizaDisyuncion g)) (Disj (interiorizaDisyuncion f2) (interiorizaDisyuncion g))) interiorizaDisyuncion (Disj f (Conj g1 g2)) = interiorizaDisyuncion (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g1)) (Disj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g2))) interiorizaDisyuncion (Conj f g) = Conj (interiorizaDisyuncion f) (interiorizaDisyuncion g) interiorizaDisyuncion f = f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal conjuntiva. Por ejemplo, -- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r)) -- ==> (p /\ (no q \/ r)) -- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r))) -- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r)) -- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r)) -- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p))) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (formaNormalNegativa f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformación a forma normal disyuntiva -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- interiorizaConjuncion :: Prop -> Prop -- tal que (interiorizaConjuncion f) es una fórmula equivalente a f -- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por -- ejemplo, -- interiorizaConjuncion (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r)) -- interiorizaConjuncion ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r)) -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa. -- --------------------------------------------------------------------- interiorizaConjuncion :: Prop -> Prop interiorizaConjuncion (Conj (Disj f1 f2) g) = interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f1) (interiorizaConjuncion g)) (Conj (interiorizaConjuncion f2) (interiorizaConjuncion g))) interiorizaConjuncion (Conj f (Disj g1 g2)) = interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g1)) (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g2))) interiorizaConjuncion (Disj f g) = Disj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g) interiorizaConjuncion f = f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop -- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en -- forma normal disyuntiva. Por ejemplo, -- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r)) -- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r)) -- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r))) -- ==> (no p \/ (q /\ no r)) -- --------------------------------------------------------------------- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f) |