LMF2013: Cláusulas en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de las cláusulas.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación. En los ejercicios se usa el módulo SintaxisSemantica desarrollado en la clase del día 27 de febrero y el módulo FormasNormales desarrollado en la clase del día 8 de mayo.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 |
module Clausulas where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librería suxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import SintaxisSemantica import FormasNormales import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir el tipo de datos Clausula como una lista de -- literales. -- --------------------------------------------------------------------- type Clausula = [Literal] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir la función -- clausula :: Prop -> Clausula -- tal que (clausula f) es la clausula de la fórmula-clausal f. Por -- ejemplo, -- clausula p ==> [p] -- clausula (no p) ==> [no p] -- clausula (((no p) \/ r) \/ ((no p) \/ q)) ==> [q,r,no p] -- --------------------------------------------------------------------- clausula :: Prop -> Clausula clausula f | literal f = [f] clausula (Disj f g) = sort ((clausula f) `union` (clausula g)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- clausulasFNC :: Prop -> [Clausula] -- tal que (clausulasFNC f) es el conjunto de clausulas de la fórmula en -- forma normal conjuntiva f. Por ejmplo, -- clausulasFNC (p /\ ((no q) \/ r)) -- ==> [[p],[r, no q]] -- clausulasFNC (((no p) \/ q) /\ ((no p) \/ (no r))) -- ==> [[q, no p],[no p,no r]] -- --------------------------------------------------------------------- clausulasFNC :: Prop -> [Clausula] clausulasFNC (Conj f g) = (clausulasFNC f) `union` (clausulasFNC g) clausulasFNC f = [clausula f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir la función -- clausulas :: Prop -> [Clausula] -- tal que (clausulas f) es un conjunto de clausulas equivalente a -- f. Por ejemplo, -- clausulas (p /\ (q --> r)) -- ==> [[p],[r,no q]] -- clausulas (no (p /\ (q --> r))) -- ==> [[q,no p],[no p,no r]] -- clausulas (no(p <--> r)) -- ==> [[p,r],[p,no p],[r,no r],[no p,no r]] -- --------------------------------------------------------------------- clausulas :: Prop -> [Clausula] clausulas f = clausulasFNC (formaNormalConjuntiva f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Clausulas de un conjunto de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- clausulasConjunto :: [Prop] -> [Clausula] -- tal que (clausulasConjunto s) es un conjunto de clausulas equivalente -- a s. Por ejemplo, -- clausulasConjunto [p --> q, q --> r] ==> [[q,no p],[r,no q]] -- clausulasConjunto [p --> q, q <--> p] ==> [[q,no p],[p,no q]] -- --------------------------------------------------------------------- clausulasConjunto :: [Prop] -> [Clausula] clausulasConjunto s = unionGeneral [clausulas f | f <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de una clausula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir la función -- símbolosProposicionalesClausula :: Clausula -> [Prop] -- tal que (símbolosProposicionalesClausula c) es el conjunto de los -- símbolos proposicionales de c. Por ejemplo, -- símbolosProposicionalesClausula [p, q, no p] ==> [p,q] -- --------------------------------------------------------------------- símbolosProposicionalesClausula :: Clausula -> [Prop] símbolosProposicionalesClausula = simbolosPropConj -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de un conjunto de clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir la función -- símbolosProposicionalesConjuntoClausula :: [Clausula] -> [Prop] -- tal que (símbolosProposicionalesConjuntoClausula s) es el conjunto de los -- símbolos proposicionales de s. Por ejemplo, -- símbolosProposicionalesConjuntoClausula [[p, q],[no q, r]] -- ==> [p,q,r] -- --------------------------------------------------------------------- símbolosProposicionalesConjuntoClausula :: [Clausula] -> [Prop] símbolosProposicionalesConjuntoClausula s = unionGeneral [símbolosProposicionalesClausula c | c <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de una clausula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesClausula c) es el conjunto de -- interpretaciones de c. Por ejemplo, -- interpretacionesClausula [p, q, no p] ==> [[p,q],[p],[q],[]] -- interpretacionesClausula [] ==> [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] interpretacionesClausula c = subconjuntos (símbolosProposicionalesClausula c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de un conjunto de clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- interpretacionesConjuntoClausula :: [Clausula] -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesConjuntoClausula s) es el conjunto de -- interpretaciones de s. Por ejemplo, -- interpretacionesConjuntoClausula [[p, no q],[no p, q]] -- ==> [[p,q],[p],[q],[]] -- interpretacionesConjuntoClausula [] -- ==> [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesConjuntoClausula :: [Clausula] -> [Interpretacion] interpretacionesConjuntoClausula c = subconjuntos (símbolosProposicionalesConjuntoClausula c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool -- tal que (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo de l. Por -- ejemplo, -- esModeloLiteral [p,r] p ==> True -- esModeloLiteral [p,r] q ==> False -- esModeloLiteral [p,r] (no p) ==> False -- esModeloLiteral [p,r] (no q) ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool esModeloLiteral i (Atom s) = elem (Atom s) i esModeloLiteral i (Neg (Atom s)) = notElem (Atom s) i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool -- tal que (esModeloClausula i c) se verifica si i es modelo de c . Por -- ejemplo, -- esModeloClausula [p,r] [p, q] ==> True -- esModeloClausula [r] [p, no q] ==> True -- esModeloClausula [q,r] [p, no q] ==> False -- esModeloClausula [q,r] [] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool esModeloClausula i c = or [esModeloLiteral i l | l <- c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (modelosClausula c) es la lista de los modelos de c. Por -- ejemplo, -- modelosClausula [no p, q] ==> [[p,q],[q],[]] -- modelosClausula [no p, p] ==> [[p],[]] -- modelosClausula [] ==> [] -- --------------------------------------------------------------------- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] modelosClausula c = [i | i <- interpretacionesClausula c, esModeloClausula i c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de conjuntos de clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- esModeloConjuntoClausulas :: Interpretacion -> [Clausula] -> Bool -- tal que (esModeloConjuntoClausulas i c) se verifica si i es modelo de -- c. Por ejemplo, -- esModeloConjuntoClausulas [p,r] [[p, no q], [r]] ==> True -- esModeloConjuntoClausulas [p] [[p, no q], [r]] ==> False -- esModeloConjuntoClausulas [p] [] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloConjuntoClausulas :: Interpretacion -> [Clausula] -> Bool esModeloConjuntoClausulas i s = and [esModeloClausula i c | c <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14: Definir la función -- modelosConjuntoClausulas :: [Clausula] -> [Interpretacion] -- tal que (modelosConjuntoClausulas s) es la lista de los modelos de -- s. Por ejemplo, -- modelosConjuntoClausulas [[no p, q], [no q, p]] -- ==> [[p,q],[]] -- modelosConjuntoClausulas [[no p, q], [p], [no q]] -- ==> [] -- modelosConjuntoClausulas [[p, no p, q]] -- ==> [[p,q],[p],[q],[]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosConjuntoClausulas :: [Clausula] -> [Interpretacion] modelosConjuntoClausulas s = [i | i <- interpretacionesConjuntoClausula s, esModeloConjuntoClausulas i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Clausulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- esClausulaVálida :: Clausula -> Bool -- tal que (esClausulaVálida c) se verifica si la clausula c es -- válida. Por ejemplo, -- esClausulaVálida [p, q, no p] ==> True -- esClausulaVálida [p, q, no r] ==> False -- esClausulaVálida [] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esClausulaVálida :: Clausula -> Bool esClausulaVálida c = [l | l <- c, elem (complementario l) c] /= [] -- Definición alternativa: esClausulaVálida1 :: Clausula -> Bool esClausulaVálida1 c = and [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16: Definir la función -- esClausulaInsatisfacible :: Clausula -> Bool -- tal que (esClausulaInsatisfacible c) se verifica si la clausula c es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esClausulaInsatisfacible [p, q, no p] ==> False -- esClausulaInsatisfacible [p, q, no r] ==> False -- esClausulaInsatisfacible [] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esClausulaInsatisfacible :: Clausula -> Bool esClausulaInsatisfacible c = null c -- Definición alternativa: esClausulaInsatisfacible1 :: Clausula -> Bool esClausulaInsatisfacible1 c = and [not (esModeloClausula i c) | i <- interpretacionesClausula c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17: Definir la función -- esClausulaSatisfacible :: Clausula -> Bool -- tal que (esClausulaSatisfacible c) se verifica si la clausula c es -- satisfacible. Por ejemplo, -- esClausulaSatisfacible [p, q, no p] ==> True -- esClausulaSatisfacible [p, q, no r] ==> True -- esClausulaSatisfacible [] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esClausulaSatisfacible :: Clausula -> Bool esClausulaSatisfacible c = not (null c) -- Definición alternativa: esClausulaSatisfacible1 :: Clausula -> Bool esClausulaSatisfacible1 c = or [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Conjuntos válidos, consistentes e inconsistentes de clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18: Definir la función -- esConjuntoVálidoDeClausulas :: [Clausula] -> Bool -- tal que (esConjuntoVálidoDeClausulas s) se verifica si el conjunto de -- clausulas s es válido. Por ejemplo, -- esConjuntoVálidoDeClausulas [[no p, q], [no q, p]] ==> False -- esConjuntoVálidoDeClausulas [[no p, p], [no q, q]] ==> True -- esConjuntoVálidoDeClausulas [] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esConjuntoVálidoDeClausulas :: [Clausula] -> Bool esConjuntoVálidoDeClausulas s = and [esClausulaVálida c | c <- s] -- Definición alternativa: esConjuntoVálidoDeClausulas1 :: [Clausula] -> Bool esConjuntoVálidoDeClausulas1 s = modelosConjuntoClausulas s == interpretacionesConjuntoClausula s -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19: Definir la función -- esConjuntoConsistenteDeClausulas :: [Clausula] -> Bool -- tal que (esConjuntoConsistenteDeClausulas s) se verifica si el -- conjunto de clausulas s es consistente. Por ejemplo, -- esConjuntoConsistenteDeClausulas [[no p, q], [no q, p]] ==> True -- esConjuntoConsistenteDeClausulas [[no p, p], [no q, q]] ==> True -- esConjuntoConsistenteDeClausulas [] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esConjuntoConsistenteDeClausulas :: [Clausula] -> Bool esConjuntoConsistenteDeClausulas s = not (null (modelosConjuntoClausulas s)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20: Definir la función -- esConjuntoInconsistenteDeClausulas :: [Clausula] -> Bool -- tal que (esConjuntoInconsistenteDeClausulas s) se verifica si el -- conjunto de clausulas s es consistente. Por ejemplo, -- esConjuntoInconsistenteDeClausulas [[no p,q],[no q,p]] ==> False -- esConjuntoInconsistenteDeClausulas [[no p],[p]] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esConjuntoInconsistenteDeClausulas :: [Clausula] -> Bool esConjuntoInconsistenteDeClausulas s = null (modelosConjuntoClausulas s) -- --------------------------------------------------------------------- -- Validez de fórmulas mediante clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21: Definir la función -- esValidaPorClausulas :: Prop -> Bool -- tal que (esValidaPorClausulas f) se verifica si el conjunto de -- clausulas de f es válido. Por ejemplo, -- esValidaPorClausulas (p --> q) ==> False -- esValidaPorClausulas (p --> p) ==> True -- esValidaPorClausulas ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True -- --------------------------------------------------------------------- esValidaPorClausulas :: Prop -> Bool esValidaPorClausulas f = esConjuntoVálidoDeClausulas (clausulas f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Consecuencia mediante clausulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22: Definir la función -- esConsecuenciaEntreClausulas :: [Clausula] -> [Clausula] -> Bool -- tal que (esConsecuenciaEntreClausulas s1 s2) se verifica si todos los -- modelos de s1 son modelos de s2. Por ejemplo, -- esConsecuenciaEntreClausulas [[no p,q],[no q,r]] [[no p,r]] -- ==> True -- esConsecuenciaEntreClausulas [[p]] [[p],[q]] -- ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esConsecuenciaEntreClausulas :: [Clausula] -> [Clausula] -> Bool esConsecuenciaEntreClausulas s1 s2 = null [i | i <- interpretacionesConjuntoClausula (s1++s2) , esModeloConjuntoClausulas i s1 , not ((esModeloConjuntoClausulas i s2))] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23: Definir la función -- esConsecuenciaPorClausulas1 :: [Prop] -> Prop -> Bool -- tal que (esConsecuenciaPorClausulas s f) se verifica si las clausulas -- de f son consecuencias de las de s. Por ejemplo, -- esConsecuenciaPorClausulas [(p --> q), (q --> r)] (p --> r) -- ==> True -- esConsecuenciaPorClausulas [p] (p /\ q) -- ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esConsecuenciaPorClausulas :: [Prop] -> Prop -> Bool esConsecuenciaPorClausulas s f = esConsecuenciaEntreClausulas (clausulasConjunto s) (clausulas f) -- Definición alternativa: esConsecuenciaPorClausulas1 :: [Prop] -> Prop -> Bool esConsecuenciaPorClausulas1 s f = esConjuntoInconsistenteDeClausulas (clausulasConjunto ((Neg f):s)) |