I1M2011: División y factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini en Haskell

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 25ª relación, cuyos objetivo es implementar la regla de Ruffini y sus aplicaciones utilizando las implementaciones del TAD de polinomio estudiadas en el tema 21.

En los ejercicios se usan las siguientes librerías:

PolRepTDA: Implementación de los polinomios mediante tipos de datos algebraicos.
PolRepDispersa: Implementación de los polinomios mediante listas dispersas.
PolRepDensa: Implementación de los polinomios mediante listas densas.
PolOperaciones: Operaciones con el TAD de los polinomios.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import PolOperaciones
import Test.QuickCheck

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-- Ejemplos                                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Además de los ejemplos de polinomios (ejPol1, ejPol2 y ejPol3) que se
-- encuentran en PolOperaciones, usaremos el siguiente ejemplo.
ejPol4 :: Polinomio Int
ejPol4 = consPol 3 1 
                 (consPol 2 2 
                          (consPol 1 (-1) 
                                   (consPol 0 (-2) polCero)))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    divisores :: Int -> [Int]
-- tal que (divisores n) es la lista de todos los divisores enteros de
-- n. Por ejemplo,
--    divisores 4     ==  [1,-1,2,-2,4,-4]
--    divisores (-6)  ==  [1,-1,2,-2,3,-3,6,-6]
-- ---------------------------------------------------------------------

divisores :: Int -> [Int]
divisores n = concat [[x,-x] | x <- [1..abs n], rem n x == 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a
-- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en
-- p. Por ejemplo:
--     coeficiente 4 ejPol1 == 3
--     coeficiente 3 ejPol1 == 0
--     coeficiente 2 ejPol1 == -5
--     coeficiente 5 ejPol1 == 0
-- ---------------------------------------------------------------------

coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a
coeficiente k p | k == gp      = coefLider p
                | k > grado rp = 0
                | otherwise    = coeficiente k rp
                where gp = grado p
                      rp = restoPol p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función 
--    terminoIndep :: Num a => Polinomio  a -> a
-- tal que (terminoIndep p) es el término independiente del polinomio
-- p. Por ejemplo,
--    terminoIndep ejPol1 == 3
--    terminoIndep ejPol2 == 0
--    terminoIndep ejPol4 == -2
-- ---------------------------------------------------------------------

terminoIndep :: Num a => Polinomio  a -> a
terminoIndep p = coeficiente 0 p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función 
--    coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a]
-- tal que (coeficientes p) es la lista de coeficientes de p, ordenada
-- según el grado. Por ejemplo,
--     coeficientes ejPol1 == [3,0,-5,0,3]
--     coeficientes ejPol4 == [1,2,-1,-2]
--     coeficientes ejPol2 == [1,0,0,5,4,0]
-- ---------------------------------------------------------------------

coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a]
coeficientes p = [coeficiente k p | k <- [n,n-1..0]]
    where n = grado p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función 
--    creaPol :: Num a => [a] -> Polinomio a
-- tal que (creaPol cs) es el polinomio cuya lista de coeficientes es
-- cs. Por ejemplo,
--     creaPol [1,0,0,5,4,0] == x^5 + 5*x^2 + 4*x
--     creaPol [1,2,0,3,0]   == x^4 + 2*x^3 + 3*x
-- ---------------------------------------------------------------------

creaPol :: Num a => [a] -> Polinomio a
creaPol []     = polCero
creaPol (a:as) = consPol n a (creaPol as)
    where n = length as

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p, el
-- polinomio obtenido mediante creaPol a partir de la lista de
-- coeficientes de p coincide con p.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_coef:: Polinomio Int -> Bool
prop_coef p =
    creaPol (coeficientes p) == p

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_coef
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir una función 
--    pRuffini:: Int -> [Int] -> [Int]
-- tal que (pRuffini r cs) es la lista que resulta de aplicar un paso
-- del regla de Ruffini al número entero r y a la lista de coeficientes
-- cs. Por ejemplo,
--    pRuffini 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12]
--    pRuffini 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0]
-- ya que
--      | 1  2  -1  -2           | 1  2  -1  -2
--    2 |    2   8  14         1 |    1   3   2
--    --+--------------        --+-------------
--      | 1  4   7  12           | 1  3   2   0
-- ---------------------------------------------------------------------

pRuffini :: Int -> [Int] -> [Int]
pRuffini r p@(c:cs) = 
    c : [x+r*y | (x,y) <- zip cs (pRuffini r p)]

-- Otra forma:
pRuffini' :: Int -> [Int] -> [Int]
pRuffini' r = scanl1 (\s x -> s * r + x)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función 
--    cocienteRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int
-- tal que (cocienteRuffini r p) es el cociente de dividir el polinomio
-- p por el polinomio x-r. Por ejemplo:
--     cocienteRuffini 2 ejPol4    == x^2 + 4*x + 7
--     cocienteRuffini (-2) ejPol4 == x^2 + -1
--     cocienteRuffini 3 ejPol4    == x^2 + 5*x + 14
-- ---------------------------------------------------------------------

cocienteRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int
cocienteRuffini r p = creaPol (init (pRuffini r (coeficientes p)))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función 
--    restoRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Int
-- tal que (restoRuffini r p) es el resto de dividir el polinomio p por
-- el polinomio x-r. Por ejemplo, 
--     restoRuffini 2 ejPol4    == 12
--     restoRuffini (-2) ejPol4 == 0
--     restoRuffini 3 ejPol4    == 40
-- ---------------------------------------------------------------------

restoRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Int
restoRuffini r p = last (pRuffini r (coeficientes p))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p y un
-- número entero r, las funciones anteriores verifican la propiedad de
-- la división euclídea.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_diviEuclidea:: Int -> Polinomio Int -> Bool
prop_diviEuclidea r p =
    p == sumaPol (multPol coc div) res
    where coc = cocienteRuffini r p
          div = creaPol [1,-r]
          res = creaTermino 0 (restoRuffini r p) 

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_diviEuclidea
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--     esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool 
-- tal que (esRaizRuffini r p) se verifica si r es una raiz de p, usando
-- para ello el regla de Ruffini. Por ejemplo,
--     esRaizRuffini 0 ejPol3 == True
--     esRaizRuffini 1 ejPol3 == False
-- ---------------------------------------------------------------------

esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool 
esRaizRuffini r p = restoRuffini r p == 0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función 
--     raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int]
-- tal que (raicesRuffini p) es la lista de las raices enteras de p,
-- calculadas usando el regla de Ruffini. Por ejemplo,
--    raicesRuffini ejPol1  == []
--    raicesRuffini ejPol2  == [0,-1]
--    raicesRuffini ejPol3  == [0]
--    raicesRuffini ejPol4  == [1,-1,-2]
--    raicesRuffini polCero == []
-- ---------------------------------------------------------------------

raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int]
raicesRuffini p     
    | esPolCero p = []
    | otherwise   = aux (0 : divisores (terminoIndep p))
    where 
      aux [] = []
      aux (r:rs) 
          | esRaizRuffini r p = r : raicesRuffini (cocienteRuffini r p) 
          | otherwise         = aux rs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int]
-- tal que (factorizacion p) es la lista de la descomposición del
-- polinomio p en factores obtenida mediante el regla de Ruffini. Por
-- ejemplo, 
--  ejPol2                               ==  x^5 + 5*x^2 + 4*x
--  factorizacion ejPol2                 == [1*x,1*x+1,x^3+-1*x^2+1*x+4]
--  ejPol4                               == x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2
--  factorizacion ejPol4                 == [1*x + -1,1*x + 1,1*x + 2,1]
--  factorizacion (creaPol [1,0,0,0,-1]) == [1*x + -1,1*x + 1,x^2 + 1]
-- ---------------------------------------------------------------------

factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int]
factorizacion p 
    | esPolCero p = [p]
    | otherwise   = aux (0 : divisores (terminoIndep p))
    where 
      aux [] = [p]
      aux (r:rs)  
          | esRaizRuffini r p = 
              (creaPol [1,-r]) : factorizacion (cocienteRuffini r p) 
          | otherwise = aux rs

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-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import PolOperaciones

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejemplos --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Además de los ejemplos de polinomios (ejPol1, ejPol2 y ejPol3) que se

-- encuentran en PolOperaciones, usaremos el siguiente ejemplo.

ejPol4 :: Polinomio Int

ejPol4 = consPol 3 1

(consPol 2 2

(consPol 1 (-1)

(consPol 0 (-2) polCero)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- divisores :: Int -> [Int]

-- tal que (divisores n) es la lista de todos los divisores enteros de

-- n. Por ejemplo,

-- divisores 4 == [1,-1,2,-2,4,-4]

-- divisores (-6) == [1,-1,2,-2,3,-3,6,-6]

-- ---------------------------------------------------------------------

divisores :: Int -> [Int]

divisores n = concat [[x,-x] | x <- [1..abs n], rem n x == 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a

-- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en

-- p. Por ejemplo:

-- coeficiente 4 ejPol1 == 3

-- coeficiente 3 ejPol1 == 0

-- coeficiente 2 ejPol1 == -5

-- coeficiente 5 ejPol1 == 0

-- ---------------------------------------------------------------------

coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a

coeficiente k p | k == gp = coefLider p

| k > grado rp = 0

| otherwise = coeficiente k rp

where gp = grado p

rp = restoPol p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- terminoIndep :: Num a => Polinomio a -> a

-- tal que (terminoIndep p) es el término independiente del polinomio

-- p. Por ejemplo,

-- terminoIndep ejPol1 == 3

-- terminoIndep ejPol2 == 0

-- terminoIndep ejPol4 == -2

-- ---------------------------------------------------------------------

terminoIndep :: Num a => Polinomio a -> a

terminoIndep p = coeficiente 0 p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a]

-- tal que (coeficientes p) es la lista de coeficientes de p, ordenada

-- según el grado. Por ejemplo,

-- coeficientes ejPol1 == [3,0,-5,0,3]

-- coeficientes ejPol4 == [1,2,-1,-2]

-- coeficientes ejPol2 == [1,0,0,5,4,0]

-- ---------------------------------------------------------------------

coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a]

coeficientes p = [coeficiente k p | k <- [n,n-1..0]]

where n = grado p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- creaPol :: Num a => [a] -> Polinomio a

-- tal que (creaPol cs) es el polinomio cuya lista de coeficientes es

-- cs. Por ejemplo,

-- creaPol [1,0,0,5,4,0] == x^5 + 5*x^2 + 4*x

-- creaPol [1,2,0,3,0] == x^4 + 2*x^3 + 3*x

-- ---------------------------------------------------------------------

creaPol :: Num a => [a] -> Polinomio a

creaPol [] = polCero

creaPol (a:as) = consPol n a (creaPol as)

where n = length as

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p, el

-- polinomio obtenido mediante creaPol a partir de la lista de

-- coeficientes de p coincide con p.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_coef:: Polinomio Int -> Bool

prop_coef p =

creaPol (coeficientes p) == p

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_coef

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir una función

-- pRuffini:: Int -> [Int] -> [Int]

-- tal que (pRuffini r cs) es la lista que resulta de aplicar un paso

-- del regla de Ruffini al número entero r y a la lista de coeficientes

-- cs. Por ejemplo,

-- pRuffini 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12]

-- pRuffini 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0]

-- ya que

-- | 1 2 -1 -2 | 1 2 -1 -2

-- 2 | 2 8 14 1 | 1 3 2

-- --+-------------- --+-------------

-- | 1 4 7 12 | 1 3 2 0

-- ---------------------------------------------------------------------

pRuffini :: Int -> [Int] -> [Int]

pRuffini r p@(c:cs) =

c : [x+r*y | (x,y) <- zip cs (pRuffini r p)]

-- Otra forma:

pRuffini' :: Int -> [Int] -> [Int]

pRuffini' r = scanl1 (\s x -> s * r + x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- cocienteRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int

-- tal que (cocienteRuffini r p) es el cociente de dividir el polinomio

-- p por el polinomio x-r. Por ejemplo:

-- cocienteRuffini 2 ejPol4 == x^2 + 4*x + 7

-- cocienteRuffini (-2) ejPol4 == x^2 + -1

-- cocienteRuffini 3 ejPol4 == x^2 + 5*x + 14

-- ---------------------------------------------------------------------

cocienteRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int

cocienteRuffini r p = creaPol (init (pRuffini r (coeficientes p)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- restoRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Int

-- tal que (restoRuffini r p) es el resto de dividir el polinomio p por

-- el polinomio x-r. Por ejemplo,

-- restoRuffini 2 ejPol4 == 12

-- restoRuffini (-2) ejPol4 == 0

-- restoRuffini 3 ejPol4 == 40

-- ---------------------------------------------------------------------

restoRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Int

restoRuffini r p = last (pRuffini r (coeficientes p))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p y un

-- número entero r, las funciones anteriores verifican la propiedad de

-- la división euclídea.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_diviEuclidea:: Int -> Polinomio Int -> Bool

prop_diviEuclidea r p =

p == sumaPol (multPol coc div) res

where coc = cocienteRuffini r p

div = creaPol [1,-r]

res = creaTermino 0 (restoRuffini r p)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_diviEuclidea

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool

-- tal que (esRaizRuffini r p) se verifica si r es una raiz de p, usando

-- para ello el regla de Ruffini. Por ejemplo,

-- esRaizRuffini 0 ejPol3 == True

-- esRaizRuffini 1 ejPol3 == False

-- ---------------------------------------------------------------------

esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool

esRaizRuffini r p = restoRuffini r p == 0

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int]

-- tal que (raicesRuffini p) es la lista de las raices enteras de p,

-- calculadas usando el regla de Ruffini. Por ejemplo,

-- raicesRuffini ejPol1 == []

-- raicesRuffini ejPol2 == [0,-1]

-- raicesRuffini ejPol3 == [0]

-- raicesRuffini ejPol4 == [1,-1,-2]

-- raicesRuffini polCero == []

-- ---------------------------------------------------------------------

raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int]

raicesRuffini p

| esPolCero p = []

| otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p))

where

aux [] = []

aux (r:rs)

| esRaizRuffini r p = r : raicesRuffini (cocienteRuffini r p)

| otherwise = aux rs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int]

-- tal que (factorizacion p) es la lista de la descomposición del

-- polinomio p en factores obtenida mediante el regla de Ruffini. Por

-- ejemplo,

-- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x

-- factorizacion ejPol2 == [1*x,1*x+1,x^3+-1*x^2+1*x+4]

-- ejPol4 == x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2

-- factorizacion ejPol4 == [1*x + -1,1*x + 1,1*x + 2,1]

-- factorizacion (creaPol [1,0,0,0,-1]) == [1*x + -1,1*x + 1,x^2 + 1]

-- ---------------------------------------------------------------------

factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int]

factorizacion p

| esPolCero p = [p]

| otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p))

where

aux [] = [p]

aux (r:rs)

| esRaizRuffini r p =

(creaPol [1,-r]) : factorizacion (cocienteRuffini r p)

| otherwise = aux rs

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