LMF2012: Revisión de la programación con Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha realizado una revisión de la programación funcional con Haskell, recordando los conceptos necesarios para la implementación de los algoritmos lógicos del curso.
Como ejercicios se propuso la siguiente relación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en -- la que se recuerdan: -- * las definiciones elementales de funciones, -- * las definiciones de funciones por comprensión, -- * las definiciones de funciones por recursión y -- * los tipos de datos. -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Char -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es -- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo, -- media3 1 3 8 == 4.0 -- media3 (-1) 0 7 == 2.0 -- media3 (-3) 0 3 == 0.0 -- --------------------------------------------------------------------- media3 x y z = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función volumenEsfera tal que -- (volumenEsfera r) es el volumen de la esfera de radio r. Por ejemplo, -- volumenEsfera 10 == 4188.790204786391 -- Indicación: Usar la constante pi. -- --------------------------------------------------------------------- volumenEsfera r = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x) -- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo, -- ultimaCifra 325 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- ultimaCifra x = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista -- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la -- lista. Por ejemplo, -- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3] -- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2] -- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- rota n xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función palindromo tal que (palindromo xs) se -- verifica si xs es un palíndromo; es decir, es lo mismo leer xs de -- izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, -- palindromo [3,2,5,2,3] == True -- palindromo [3,2,5,6,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- palindromo xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se -- verifica si una es verdadera y la otra es falsa. -- -- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a -- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea -- de la tabla. -- --------------------------------------------------------------------- xor_1 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2 -- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento. -- --------------------------------------------------------------------- xor_2 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación -- (not). Usar 1 ecuación. -- --------------------------------------------------------------------- xor_3 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación. -- --------------------------------------------------------------------- xor_4 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir, por comprensión, la función -- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los -- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo, -- sumaDeCuadrados 3 == 14 -- sumaDeCuadrados 100 == 338350 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeCuadrados = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si -- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función -- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)] -- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas -- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo, -- *Main> pitagoricas 10 -- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)] -- --------------------------------------------------------------------- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)] pitagoricas n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de -- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por -- comprensión y la función factores (del tema), definir la función -- perfectos :: Int -> [Int] -- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos -- menores que n. Por ejemplo: -- *Main> perfectos 500 -- [6,28,496] -- --------------------------------------------------------------------- -- La función factores del tema es factores :: Int -> [Int] factores n = undefined -- La definición es perfectos :: Int -> [Int] perfectos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Un triángulo aritmético se forma como sigue -- 1 -- 2 3 -- 4 5 6 -- 7 8 9 10 -- 11 12 13 14 15 -- 16 16 18 19 20 21 -- Definir la función linea tal que (linea n) es la línea n-ésima de los -- triángulos aritméticos. Por ejemplo, -- linea 4 == [7,8,9,10] -- linea 5 == [11,12,13,14,15] -- --------------------------------------------------------------------- linea n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Definir la función triangulo tal que (triangulo n) es -- el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo, -- triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]] -- triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]] -- --------------------------------------------------------------------- triangulo n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número -- de posiciones en que los correspondientes elementos son -- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" -- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos -- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª). -- -- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la -- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo, -- distancia "romano" "comino" == 2 -- distancia "romano" "camino" == 3 -- distancia "roma" "comino" == 2 -- distancia "roma" "camino" == 3 -- distancia "romano" "ron" == 1 -- distancia "romano" "cama" == 2 -- distancia "romano" "rama" == 1 -- --------------------------------------------------------------------- distancia xs ys = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. Definir, por comprensión, la función -- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] cuadradosC xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir, por recursión, la función -- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] cuadradosR = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesC [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesC :: [Integer] -> [Integer] imparesC xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Definir, por recursión, la función -- imparesR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesR [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesR :: [Integer] -> [Integer] imparesR = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. El doble factorial de un número n se define por -- n!! = n*(n-2)* ... * 3 * 1, si n es impar -- n!! = n*(n-2)* ... * 4 * 2, si n es par -- 1!! = 1 -- 0!! = 1 -- Por ejemplo, -- 8!! = 8*6*4*2 = 384 -- 9!! = 9*7*5*3*1 = 945 -- Definir, por recursión, la función -- dobleFactorial :: Integer -> Integer -- tal que (dobleFactorial n) es el doble factorial de n. Por ejemplo, -- dobleFactorial 8 == 384 -- dobleFactorial 9 == 945 -- --------------------------------------------------------------------- dobleFactorial :: Integer -> Integer dobleFactorial = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir, por comprensión, la función -- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] -- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos -- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7] -- sumaConsecutivos [3] == [] -- --------------------------------------------------------------------- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] sumaConsecutivos xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.0. En los siguientes ejercicios usarán los árboles -- binarios definidos como sigue -- data Arbol a = Hoja -- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- Como ejemplo se usará el árbol definido por -- arbol_1 = Nodo 9 -- (Nodo 3 -- (Nodo 2 Hoja Hoja) -- (Nodo 4 Hoja Hoja)) -- (Nodo 7 Hoja Hoja) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = Hoja | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq) arbol_1 = Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Definir la función -- espejo :: Arbol a -> Arbol a -- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> espejo arbol_1 -- Nodo 9 -- (Nodo 7 Hoja Hoja) -- (Nodo 3 -- (Nodo 4 Hoja Hoja) -- (Nodo 2 Hoja Hoja)) -- --------------------------------------------------------------------- espejo :: Arbol a -> Arbol a espejo = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- prop_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_espejo = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.3. Demostrar por inducción que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración por inducción en x Caso base: Paso de inducción: -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.4. Definir la función -- preorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> preorden arbol_1 -- [9,3,2,4,7] -- --------------------------------------------------------------------- preorden :: Arbol a -> [a] preorden = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.5. Definir la función -- postorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol -- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz -- del árbol. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> postorden arbol_1 -- [2,4,3,7,9] -- --------------------------------------------------------------------- postorden :: Arbol a -> [a] postorden = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool prop_recorrido = undefined -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración por inducción en x. Caso base: Paso de inducción: -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_reverse_preorden_espejo = undefined -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.10. Definir la función -- nNodos :: Arbol a -> Int -- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> nNodos arbol_1 -- 5 -- --------------------------------------------------------------------- nNodos :: Arbol a -> Int nNodos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_nNodos_espejo = undefined -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que nNodos (espejo x) == nNodos x Caso base: Paso de inducción: -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_length_preorden = undefined -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: Por inducción en x, hay que demostrar que length (preorden x) == nNodos x Caso base: Paso de inducción: -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.15. Definir la función -- profundidad :: Arbol a -> Int -- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> profundidad arbol_1 -- 3 -- --------------------------------------------------------------------- profundidad :: Arbol a -> Int profundidad = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool prop_nNodosProfundidad = undefined -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se -- utilizará el siguiente generador. -- --------------------------------------------------------------------- vacio:: Arbol a vacio = Hoja inserta :: (Show a, Ord a) => a -> Arbol a -> Arbol a inserta v' Hoja = Nodo v' Hoja Hoja inserta v' (Nodo v i d) | v' == v = Nodo v i d | v' < v = Nodo v (inserta v' i) d | otherwise = Nodo v i (inserta v' d) genArbol :: (Arbitrary a, Integral a) => Gen (Arbol a) genArbol = do xs <- listOf arbitrary return (foldr inserta vacio xs) instance (Arbitrary a, Integral a) => Arbitrary (Arbol a) where arbitrary = genArbol |