I1M2011: Combinatoria en Haskell (3)

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios 13 a 34 de la 17ª relación.

El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se estudia

Permutaciones.
Combinaciones sin repetición..
Combinaciones con repetición
Variaciones sin repetición.
Variaciones con repetición.

Además, se estudia dos temas relacionados:

Reconocimiento y generación de subconjuntos y
El triángulo de Pascal

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
import Test.QuickCheck
import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Subconjuntos
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función 
--    subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto []     _ = True
subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función 
--    subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto
-- y subconjunto' son equivalentes.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- La propiedad es
prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_equivalencia xs ys =
    subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys  
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_equivalencia
--    OK, passed 100 tests.
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función 
--    igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,
-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,
--    igualConjunto [1..10] [10,9..1]   ==  True
--    igualConjunto [1..10] [11,10..1]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función 
--    subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> subconjuntos [2,3,4]
--    [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
--    ghci> subconjuntos [1,2,3,4]
--    [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
--       [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos []     = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub
    where sub = subconjuntos xs  

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene
subconjuntos' :: [a] -> [[a]]
subconjuntos' []     = [[]]
subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub
    where sub = subconjuntos' xs  
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Permutaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    intercala :: a -> [a] -> [[a]]
-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas
-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,
--    intercala 1 [2,3]  ==  [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercala :: a -> [a] -> [[a]]
intercala x [] = [[x]]
intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    permutaciones :: [a] -> [[a]]  
-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    permutaciones "bc"   ==  ["bc","cb"]
--    permutaciones "abc"  ==  ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
permutaciones :: [a] -> [[a]]
permutaciones []     = [[]]
permutaciones (x:xs) = 
    concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n
-- primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> permutacionesN 3
--    [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]
permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función
--    numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer
-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer
numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    fact :: Integer -> Integer
-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--    fact 3  ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Integer -> Integer
fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función
--    numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer
-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN' 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN' 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer
numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones
-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para
-- los n primeros números. Por ejemplo,
--    prop_numeroPermutacionesN 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool
prop_numeroPermutacionesN n = 
    and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones          
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función 
--    combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> combinaciones 2 "bcde"
--    ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
--    ghci> combinaciones 3 "bcde"
--    ["bcd","bce","bde","cde"]
--    ghci> combinaciones 3 "abcde"
--    ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- 1ª definición
combinaciones_1 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_1 n xs = 
    [ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]  
 
-- 2ª definición
combinaciones_2 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_2 0 _          = [[]]
combinaciones_2 _ []         = []
combinaciones_2 k (x:xs) = 
    [x:ys | ys <- combinaciones_2 (k-1) xs] ++ combinaciones_2 k xs  

-- La anterior definición se puede escribir usando map:
combinaciones_3 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_3 0 _ = [[]]
combinaciones_3 _ [] = []
combinaciones_3 (k+1) (x:xs) = 
    map (x:) (combinaciones_3 k xs) ++ combinaciones_3 (k+1) xs
 
-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la
-- siguiente sesión
--    ghci> :set +s
--    ghci> length (combinaciones_1 2 [1..15])
--    105
--    (0.19 secs, 6373848 bytes)
--    ghci> length (combinaciones_2 2 [1..15])
--    105
--    (0.01 secs, 525360 bytes)
--    ghci> length (combinaciones_3 2 [1..15])
--    105
--    (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones_2
combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones = combinaciones_2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Int]]
-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesN 4 2
--    [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]
--    ghci> combinacionesN 4 3
--    [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función
--    numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición
numeroCombinaciones_2 :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones_2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de
-- funciones con dos argumentos, se puede definir 
(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d
(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a
numeroCombinaciones_3 :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones_3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    comb :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, . 
--    (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).
-- Por ejemplo,
--    comb 4 2  ==  6
--    comb 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------
 
comb :: Integer -> Integer -> Integer
comb n k = (fact n) `div` ((fact k) * (fact (n-k)))
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones' 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones' 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones' = comb 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool
prop_numeroCombinaciones n =
  and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesR 2 "abc"
--    ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "bc"
--    ["bbb","bbc","bcc","ccc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "abc"
--    ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinacionesR _ [] = []
combinacionesR 0 _  = [[]]
combinacionesR k (x:xs) =
    [x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]
--    ghci> combinacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función
--    numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR' 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR' 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool
prop_numeroCombinacionesR n =
  and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función 
--    variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias
-- de la lista xs. Por ejemplo,
--    variaciones 2 "abc"  ==  ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
variaciones k xs = 
  concat (map permutaciones (combinaciones k xs))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k
-- de los n primeros números. Por ejemplo,
--    variacionesN 3 2  ==  [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función
--    numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función
--    numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones' 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones' 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariaciones' n k = product [(n-k+1)..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool
prop_numeroVariaciones n =
  and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesR 1 "ab"
--    ["a","b"]
--    ghci> variacionesR 2 "ab"
--    ["aa","ab","ba","bb"]
--    ghci> variacionesR 3 "ab"
--    ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
variacionesR _ [] = [[]]
variacionesR 0 _  = [[]] 
variacionesR k xs =
    [z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
--    variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]
--    ghci> variacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función
--    numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función
--    numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR' 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR' 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 33. Definir la función
--    prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool
prop_numeroVariacionesR n =
  and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § El triángulo de Pascal
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números
--          1
--         1 1
--        1 2 1
--      1  3 3  1
--     1 4  6  4 1
--    1 5 10 10 5 1
--   ...............
-- construido de la siguiente forma
-- * la primera fila está formada por el número 1;
-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes
--   de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la
--   fila. 
-- 
-- Definir la función 
--    pascal :: Integer -> [Integer]
-- tal que (pascal n) es la n-ésima fila del triángulo de Pascal. Por
-- ejemplo, 
--    pascal 6  ==  [1,5,10,10,5,1]  
-- ----------------------------------------------------------------------------
 
pascal :: Integer -> [Integer]
pascal 1 = [1]
pascal n = [1] ++ [x+y | (x,y) <- pares (pascal (n-1))] ++ [1]
 
-- (pares xs) es la lista formada por los pares de elementos adyacentes
-- de la lista xs. Por ejemplo, 
--    pares [1,4,6,4,1]  ==  [(1,4),(4,6),(6,4),(4,1)]  
pares :: [a] -> [(a,a)]
pares (x:y:xs) = (x,y) : pares (y:xs)
pares _        = []  
 
-- otra definición de pares, usando zip, es
pares' :: [a] -> [(a,a)]
pares' xs = zip xs (tail xs)
 
-- las definiciones son equivalentes
prop_pares :: [Integer] -> Bool
prop_pares xs =
    pares xs == pares' xs  

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_pares
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.2. Comprobar con QuickCheck, que la fila n-ésima del
-- triángulo de Pascal tiene n elementos.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- La propiedad es
prop_Pascal :: Integer -> Property
prop_Pascal n =
    n >= 1 ==> genericLength (pascal n) == n
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_Pascal
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.3. Comprobar con QuickCheck, que la suma de los
-- elementos de la fila n-ésima del triángulo de Pascal es igual a
-- 2^(n-1). 
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- la propiedad es
prop_sumaPascal :: Integer -> Property
prop_sumaPascal n =
    n >= 1 ==> sum (pascal n) == 2^(n-1)
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_sumaPascal
--    OK, passed 100 tests.
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.4. Comprobar con QuickCheck, que el m-ésimo elemento de
-- la fila (n+1)-ésima del triángulo de Pascal es el número combinatorio 
-- (comb n m).
-- ---------------------------------------------------------------------
 
--  La propiedad es
prop_Combinaciones :: Integer -> Property
prop_Combinaciones n =
    n >= 1 ==> pascal n == [comb (n-1) m | m <- [0..n-1]]
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_Combinaciones
--    OK, passed 100 tests.

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-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Subconjuntos

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función

-- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto [] _ = True

subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función

-- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto

-- y subconjunto' son equivalentes.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_equivalencia xs ys =

subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_equivalencia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,

-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,

-- igualConjunto [1..10] [10,9..1] == True

-- igualConjunto [1..10] [11,10..1] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]

-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> subconjuntos [2,3,4]

-- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]

-- ghci> subconjuntos [1,2,3,4]

-- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],

-- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []]

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]

subconjuntos [] = [[]]

subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub

where sub = subconjuntos xs

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene

subconjuntos' :: [a] -> [[a]]

subconjuntos' [] = [[]]

subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub

where sub = subconjuntos' xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Permutaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- intercala :: a -> [a] -> [[a]]

-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas

-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,

-- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercala :: a -> [a] -> [[a]]

intercala x [] = [[x]]

intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- permutaciones :: [a] -> [[a]]

-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- permutaciones "bc" == ["bc","cb"]

-- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutaciones :: [a] -> [[a]]

permutaciones [] = [[]]

permutaciones (x:xs) =

concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]

-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n

-- primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> permutacionesN 3

-- [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]

permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función

-- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer

-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN 3 == 6

-- numeroPermutacionesN 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer

numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- fact :: Integer -> Integer

-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- fact 3 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Integer -> Integer

fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función

-- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer

-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN' 3 == 6

-- numeroPermutacionesN' 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer

numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones

-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para

-- los n primeros números. Por ejemplo,

-- prop_numeroPermutacionesN 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool

prop_numeroPermutacionesN n =

and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> combinaciones 2 "bcde"

-- ["bc","bd","be","cd","ce","de"]

-- ghci> combinaciones 3 "bcde"

-- ["bcd","bce","bde","cde"]

-- ghci> combinaciones 3 "abcde"

-- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

combinaciones_1 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_1 n xs =

[ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]

-- 2ª definición

combinaciones_2 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_2 0 _ = [[]]

combinaciones_2 _ [] = []

combinaciones_2 k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinaciones_2 (k-1) xs] ++ combinaciones_2 k xs

-- La anterior definición se puede escribir usando map:

combinaciones_3 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_3 0 _ = [[]]

combinaciones_3 _ [] = []

combinaciones_3 (k+1) (x:xs) =

map (x:) (combinaciones_3 k xs) ++ combinaciones_3 (k+1) xs

-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la

-- siguiente sesión

-- ghci> :set +s

-- ghci> length (combinaciones_1 2 [1..15])

-- 105

-- (0.19 secs, 6373848 bytes)

-- ghci> length (combinaciones_2 2 [1..15])

-- 105

-- (0.01 secs, 525360 bytes)

-- ghci> length (combinaciones_3 2 [1..15])

-- 105

-- (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones_2

combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones = combinaciones_2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Int]]

-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesN 4 2

-- [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]

-- ghci> combinacionesN 4 3

-- [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función

-- numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición

numeroCombinaciones_2 :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones_2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de

-- funciones con dos argumentos, se puede definir

(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d

(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a

numeroCombinaciones_3 :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones_3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- comb :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, .

-- (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).

-- Por ejemplo,

-- comb 4 2 == 6

-- comb 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

comb :: Integer -> Integer -> Integer

comb n k = (fact n) `div` ((fact k) * (fact (n-k)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones' 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones' 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones' = comb

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool

prop_numeroCombinaciones n =

and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesR 2 "abc"

-- ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "bc"

-- ["bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "abc"

-- ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinacionesR _ [] = []

combinacionesR 0 _ = [[]]

combinacionesR k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]

-- ghci> combinacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función

-- numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR' 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR' 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool

prop_numeroCombinacionesR n =

and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k |

k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- variaciones 2 "abc" == ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

variaciones k xs =

concat (map permutaciones (combinaciones k xs))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k

-- de los n primeros números. Por ejemplo,

-- variacionesN 3 2 == [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función

-- numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones 4 2 == 12

-- numeroVariaciones 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función

-- numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones' 4 2 == 12

-- numeroVariaciones' 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariaciones' n k = product [(n-k+1)..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool

prop_numeroVariaciones n =

and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesR 1 "ab"

-- ["a","b"]

-- ghci> variacionesR 2 "ab"

-- ["aa","ab","ba","bb"]

-- ghci> variacionesR 3 "ab"

-- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

variacionesR _ [] = [[]]

variacionesR 0 _ = [[]]

variacionesR k xs =

[z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 30. Definir la función

-- variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]

-- ghci> variacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función

-- numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función

-- numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR' 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR' 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 33. Definir la función

-- prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool

prop_numeroVariacionesR n =

and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k |

k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § El triángulo de Pascal

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números

-- 1

-- 1 1

-- 1 2 1

-- 1 3 3 1

-- 1 4 6 4 1

-- 1 5 10 10 5 1

-- ...............

-- construido de la siguiente forma

-- * la primera fila está formada por el número 1;

-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes

-- de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la

-- fila.

-- Definir la función

-- pascal :: Integer -> [Integer]

-- tal que (pascal n) es la n-ésima fila del triángulo de Pascal. Por

-- ejemplo,

-- pascal 6 == [1,5,10,10,5,1]

-- ----------------------------------------------------------------------------

pascal :: Integer -> [Integer]

pascal 1 = [1]

pascal n = [1] ++ [x+y | (x,y) <- pares (pascal (n-1))] ++ [1]

-- (pares xs) es la lista formada por los pares de elementos adyacentes

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- pares [1,4,6,4,1] == [(1,4),(4,6),(6,4),(4,1)]

pares :: [a] -> [(a,a)]

pares (x:y:xs) = (x,y) : pares (y:xs)

pares _ = []

-- otra definición de pares, usando zip, es

pares' :: [a] -> [(a,a)]

pares' xs = zip xs (tail xs)

-- las definiciones son equivalentes

prop_pares :: [Integer] -> Bool

prop_pares xs =

pares xs == pares' xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_pares

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.2. Comprobar con QuickCheck, que la fila n-ésima del

-- triángulo de Pascal tiene n elementos.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_Pascal :: Integer -> Property

prop_Pascal n =

n >= 1 ==> genericLength (pascal n) == n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_Pascal

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.3. Comprobar con QuickCheck, que la suma de los

-- elementos de la fila n-ésima del triángulo de Pascal es igual a

-- 2^(n-1).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- la propiedad es

prop_sumaPascal :: Integer -> Property

prop_sumaPascal n =

n >= 1 ==> sum (pascal n) == 2^(n-1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_sumaPascal

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.4. Comprobar con QuickCheck, que el m-ésimo elemento de

-- la fila (n+1)-ésima del triángulo de Pascal es el número combinatorio

-- (comb n m).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_Combinaciones :: Integer -> Property

prop_Combinaciones n =

n >= 1 ==> pascal n == [comb (n-1) m | m <- [0..n-1]]

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_Combinaciones

-- OK, passed 100 tests.

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