I1M2017: Estadística descriptiva (y functores aplicativos) en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 21 sobre estadística descriptiva.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es definir las principales medidas -- estadísticas de centralización (medias, mediana y modas) y de -- dispersión (rango, desviación media, varianza y desviación típica) -- que se estudian en 3º de ESO (como en http://bit.ly/2FbXOQm ). -- -- En las soluciones de los ejercicios se pueden usar las siguientes -- funciones de la librería Data.List fromIntegral, genericLength, sort, -- y group (cuya descripción se puede consultar en el "Manual de -- funciones básicas de Haskell" http://bit.ly/1PqHagT ). -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck import Graphics.Gnuplot.Simple -- --------------------------------------------------------------------- -- Medidas de centralización -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- media :: Floating a => [a] -> a -- tal que (media xs) es la media aritmética de los números de la lista -- xs. Por ejemplo, -- media [4,8,4,5,9] == 6.0 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición media :: Floating a => [a] -> a media xs = sum xs / genericLength xs -- 2ª definición media2 :: Floating a => [a] -> a media2 = (/) <$> sum <*> genericLength -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. La mediana de una lista de valores es el valor de -- la lista que ocupa el lugar central de los valores ordenados de menor -- a mayor. Si el número de datos es impar se toma como valor de la -- mediana el valor central. Si el número de datos es par se toma como -- valor de la mediana la media aritmética de los dos valores -- centrales. -- -- Definir la función -- mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a -- tal que (mediana xs) es la mediana de la lista xs. Por ejemplo, -- mediana [2,3,6,8,9] == 6.0 -- mediana [2,3,4,6,8,9] == 5.0 -- mediana [9,6,8,4,3,2] == 5.0 -- --------------------------------------------------------------------- mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a mediana xs | odd n = ys !! i | otherwise = media [ys !! (i-1), ys !! i] where ys = sort xs n = length xs i = n `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que para cualquier lista no -- vacía xs el número de elementos de xs menores que su mediana es menor -- o igual que la mitad de los elementos de xs y lo mismo pasa con los -- mayores o iguales que la mediana. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property prop_mediana xs = not (null xs) ==> genericLength [x | x <- xs, x < m] <= n/2 && genericLength [x | x <- xs, x > m] <= n/2 where m = mediana xs n = genericLength xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mediana -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)] -- tal que (frecuencias xs) es la lista formada por los elementos de xs -- junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo, -- frecuencias "sosos" == [('o',2),('s',3)] -- -- Nota: El orden de los pares no importa -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)] frecuencias xs = [(y,ocurrencias y xs) | y <- sort (nub xs)] where ocurrencias y zs = length [1 | x <- zs, x == y] -- 2ª solución frecuencias2 :: Ord a => [a] -> [(a,Int)] frecuencias2 xs = [(y,1 + length ys) | (y:ys) <- group (sort xs)] -- 3ª solución frecuencias3 :: Ord a => [a] -> [(a,Int)] frecuencias3 = map (\ys@(y:_) -> (y,length ys)) . group . sort -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Las modas de una lista son los elementos de la lista -- que más se repiten. -- -- Definir la función -- modas :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (modas xs) es la lista ordenada de las modas de xs. Por -- ejemplo -- modas [7,3,7,5,3,1,6,9,6] == [3,6,7] -- --------------------------------------------------------------------- modas :: Ord a => [a] -> [a] modas xs = [y | (y,n) <- ys, n == m] where ys = frecuencias xs m = maximum (map snd ys) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. La media geométrica de una lista de n números es la -- raíz n-ésima del producto de todos los números. -- -- Definir la función -- mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a -- tal que (mediaGeometrica xs) es la media geométrica de xs. Por -- ejemplo, -- mediaGeometrica [2,18] == 6.0 -- mediaGeometrica [3,1,9] == 3.0 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a mediaGeometrica xs = product xs ** (1 / genericLength xs) -- 2ª solución mediaGeometrica2 :: Floating a => [a] -> a mediaGeometrica2 = (**) <$> product <*> ((1/) . genericLength) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Comprobar con QuickCheck que la media geométrica de -- cualquier lista no vacía de números no negativos es siempre menor o -- igual que la media aritmética. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mediaGeometrica :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property prop_mediaGeometrica xs = not (null xs) ==> mediaGeometrica ys <= media ys where ys = map abs xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mediaGeometrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Medidas de dispersión -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. El recorrido (o rango) de una lista de valores es la -- diferencia entre el mayor y el menor. -- -- Definir la función -- rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a -- tal que (rango xs) es el rango de xs. Por ejemplo, -- rango [4,2,4,7,3] == 5 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a rango xs = maximum xs - minimum xs -- 2ª solución rango2 :: (Num a, Ord a) => [a] -> a rango2 = (-) <$> maximum <*> minimum -- 3ª solución rango3 :: (Num a, Ord a) => [a] -> a rango3 xs = maximo - minimo where (y:ys) = xs (minimo,maximo) = aux ys (y,y) aux [] (a,b) = (a,b) aux (z:zs) (a,b) = aux zs (min a z, max z b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. La desviación media de una lista de datos xs es la -- media de las distancias de los datos a la media xs, donde la -- distancia entre dos elementos es el valor absoluto de su -- diferencia. Por ejemplo, la desviación media de [4,8,4,5,9] es 2 ya -- que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y -- (|4-6| + |8-6| + |4-6| + |5-6| + |9-6|) / 5 -- = (2 + 2 + 2 + 1 + 3) / 5 -- = 2 -- -- Definir la función -- desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a -- tal que (desviacionMedia xs) es la desviación media de xs. Por -- ejemplo, -- desviacionMedia [4,8,4,5,9] == 2.0 -- desviacionMedia (replicate 10 3) == 0.0 -- --------------------------------------------------------------------- desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a desviacionMedia xs = media [abs (x - m) | x <- xs] where m = media xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. La varianza de una lista datos es la media de los -- cuadrados de las distancias de los datos a la media. Por ejemplo, la -- varianza de [4,8,4,5,9] es 4.4 ya que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y -- ((4-6)^2 + (8-6)^2 + (4-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2) / 5 -- = (4 + 4 + 4 + 1 + 9) / 5 -- = 4.4 -- -- Definir la función -- varianza :: Floating a => [a] -> a -- tal que (desviacionMedia xs) es la varianza de xs. Por ejemplo, -- varianza [4,8,4,5,9] == 4.4 -- varianza (replicate 10 3) == 0.0 -- --------------------------------------------------------------------- varianza :: Floating a => [a] -> a varianza xs = media [(x-m)^2 | x <- xs] where m = media xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. La desviación típica de una lista de datos es la raíz -- cuadrada de su varianza. -- -- Definir la función -- desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a -- tal que (desviacionTipica xs) es la desviación típica de xs. Por -- ejemplo, -- desviacionTipica [4,8,4,5,9] == 2.0976176963403033 -- desviacionTipica (replicate 10 3) == 0.0 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a desviacionTipica xs = sqrt (varianza xs) -- 2ª definición desviacionTipica2 :: Floating a => [a] -> a desviacionTipica2 = sqrt . varianza -- --------------------------------------------------------------------- -- Regresión lineal -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Dadas dos listas de valores -- xs = [x(1), x(2), ..., x(n)] -- ys = [y(1), y(2), ..., y(n)] -- la ecuación de la recta de regresión de ys sobre xs es y = a+bx, -- donde -- b = (nΣx(i)y(i) - Σx(i)Σy(i)) / (nΣx(i)² - (Σx(i))²) -- a = (Σy(i) - bΣx(i)) / n -- -- Definir la función -- regresionLineal :: [Double] -> [Double] -> (Double,Double) -- tal que (regresionLineal xs ys) es el par (a,b) de los coeficientes -- de la recta de regresión de ys sobre xs. Por ejemplo, para los -- valores -- ejX, ejY :: [Double] -- ejX = [5, 7, 10, 12, 16, 20, 23, 27, 19, 14] -- ejY = [9, 11, 15, 16, 20, 24, 27, 29, 22, 20] -- se tiene -- λ> regresionLineal ejX ejY -- (5.195045748716805,0.9218924347243919) -- --------------------------------------------------------------------- ejX, ejY :: [Double] ejX = [5, 7, 10, 12, 16, 20, 23, 27, 19, 14] ejY = [9, 11, 15, 16, 20, 24, 27, 29, 22, 20] regresionLineal :: [Double] -> [Double] -> (Double,Double) regresionLineal xs ys = (a,b) where n = genericLength xs sumX = sum xs sumY = sum ys sumX2 = sum (zipWith (*) xs xs) sumXY = sum (zipWith (*) xs ys) b = (n*sumXY - sumX*sumY) / (n*sumX2 - sumX^2) a = (sumY - b*sumX) / n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir el procedimiento -- grafica :: [Double] -> [Double] -> IO () -- tal que (grafica xs ys) pinte los puntos correspondientes a las -- listas de valores xs e ys y su recta de regresión. Por ejemplo, -- con (grafica ejX ejY) se obtiene el dibujo de la Figura 1. -- --------------------------------------------------------------------- grafica :: [Double] -> [Double] -> IO () grafica xs ys = plotPathsStyle [YRange (0,10+mY)] [(defaultStyle {plotType = Points, lineSpec = CustomStyle [LineTitle "Datos", PointType 2, PointSize 2.5]}, zip xs ys), (defaultStyle {plotType = Lines, lineSpec = CustomStyle [LineTitle "Ajuste", LineWidth 2]}, [(x,a+b*x) | x <- [0..mX]])] where (a,b) = regresionLineal xs ys mX = maximum xs mY = maximum ys |
Varias de las soluciones están escritas usando functores aplicativos, lo que ha motivado su explicación usando las dos primeras secciones del capítulo 11 (Funtores, funtores aplicativos y monoides) del libro ¡Aprende Haskell por el bien de todos!: