I1M2015: El TAD de los multiconjuntos mediante diccionarios en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 30 sobre los multiconjuntos mediante diccionarios.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un multiconjunto es una colección de elementos en los que no importa -- el orden de los elementos, pero sí el número de veces en que -- aparecen. Por ejemplo, la factorización prima de un número se puede -- representar como un multiconjunto de números primos. -- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es implementar el TAD de -- los multiconjuntos utilizando los diccionarios estudiados en el tema -- 29 https://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/temas/tema-29.html -- -- El manual, con ejemplos, de la librería Data.Map se encuentra en -- http://bit.ly/25B1na0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import qualified Data.Map as M -- --------------------------------------------------------------------- -- El tipo de dato de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un multiconjunto se puede representar mediante un diccionario donde -- las claves son los elementos del multiconjunto y sus valores sus -- números de ocurrencias. Por ejemplo, el multiconjunto -- {a, b, a, c, b, a, e} -- se representa por el diccionario -- [(a,3), (b,2), (c,1), (e,1)] type MultiConj a = M.Map a Int -- --------------------------------------------------------------------- -- Construcciones de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la constante -- vacio :: MultiConj a -- para el multiconjunto vacío. Por ejemplo, -- vacio == fromList [] -- --------------------------------------------------------------------- vacio :: MultiConj a vacio = M.empty -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- unitario :: a -> MultiConj a -- tal que (unitario x) es el multiconjunto cuyo único elemento es -- x. Por ejemplo, -- unitario 'a' == fromList [('a',1)] -- --------------------------------------------------------------------- unitario :: a -> MultiConj a unitario x = M.singleton x 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Añadir y quitar elementos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- inserta :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (inserta x m) es el multiconjunto obtenido añadiéndole a m el -- elemento x. Por ejemplo, -- ghci> inserta 'a' (unitario 'a') -- fromList [('a',2)] -- ghci> inserta 'b' it -- fromList [('a',2),('b',1)] -- ghci> inserta 'a' it -- fromList [('a',3),('b',1)] -- ghci> inserta 'b' it -- fromList [('a',3),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- inserta :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a inserta x = M.insertWith (+) x 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- listaAmc :: Ord a => [a] -> MultiConj a -- tal que (listaAmc xs) es el multiconjunto cuyos elementos son los de -- la lista xs. Por ejemplo, -- listaAmc "ababc" == fromList [('a',2),('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución listaAmc :: Ord a => [a] -> MultiConj a listaAmc xs = M.fromListWith (+) (zip xs (repeat 1)) -- 2ª solución listaAmc2 :: Ord a => [a] -> MultiConj a listaAmc2 = foldr inserta vacio -- Comparación de eficiencia -- λ> listaAmc (replicate 5000000 1) -- fromList [(1,5000000)] -- (1.52 secs, 1,368,870,760 bytes) -- λ> listaAmc2 (replicate 5000000 1) -- fromList [(1,5000000)] -- (4.20 secs, 2,385,729,056 bytes) -- -- λ> listaAmc (replicate 10000000 1) -- fromList [(1,10000000)] -- (2.97 secs, 2,732,899,360 bytes) -- λ> listaAmc2 (replicate 10000000 1) -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- insertaVarios :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (insertaVarios x n m) es el multiconjunto obtenido -- añadiéndole a m n copias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> insertaVarios 'a' 3 vacio -- fromList [('a',3)] -- ghci> insertaVarios 'b' 2 it -- fromList [('a',3),('b',2)] -- ghci> insertaVarios 'a' 2 it -- fromList [('a',5),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución insertaVarios :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a insertaVarios = M.insertWith (+) -- 2ª solución insertaVarios2 :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a insertaVarios2 x n m = foldr inserta m (replicate n x) -- Comparación de eficiencia -- λ> insertaVarios 1 5000000 vacio -- fromList [(1,5000000)] -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> insertaVarios2 1 5000000 vacio -- fromList [(1,5000000)] -- (4.24 secs, 2,226,242,792 bytes) -- -- λ> insertaVarios 1 10000000 vacio -- fromList [(1,10000000)] -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> insertaVarios2 1 10000000 vacio -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- borra :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borra x m) es el multiconjunto obtenido borrando una -- ocurrencia de x en m. Por ejemplo, -- ghci> borra 'a' (listaAmc "ababc") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',1)] -- ghci> borra 'a' it -- fromList [('b',2),('c',1)] -- ghci> borra 'a' it -- fromList [('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borra :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a borra = M.update f where f m | m <= 1 = Nothing | otherwise = Just (m - 1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- borraVarias :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraVarias x n m) es el multiconjunto obtenido a partir del -- m borrando n ocurrencias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> listaAmc "ababcad" -- fromList [('a',3),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> borraVarias 'a' 2 (listaAmc "ababcad") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> borraVarias 'a' 5 (listaAmc "ababcad") -- fromList [('b',2),('c',1),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición borraVarias :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a borraVarias x n = M.update (f n) x where f n m | m <= n = Nothing | otherwise = Just (m - n) -- 2ª definición borraVarias2 :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a borraVarias2 x n m = foldr borra m (replicate n x) -- Comparación de eficiencia -- λ> borraVarias 1 5000000 (listaAmc (replicate 6000000 1)) -- fromList [(1,1000000)] -- (1.74 secs, 1,594,100,344 bytes) -- λ> borraVarias2 1 5000000 (listaAmc (replicate 6000000 1)) -- fromList [(1,1000000)] -- (6.79 secs, 4,424,846,104 bytes) -- -- λ> borraVarias 1 5000000 (listaAmc (replicate 10000000 1)) -- fromList [(1,5000000)] -- (3.02 secs, 2,768,894,680 bytes) -- λ> borraVarias2 1 5000000 (listaAmc (replicate 10000000 1)) -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- borraTodas :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraTodas x m) es el multiconjunto obtenido a partir del -- m borrando todas las ocurrencias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> borraTodas 'a' (listaAmc "ababcad") -- fromList [('b',2),('c',1),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraTodas :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a borraTodas = M.delete -- --------------------------------------------------------------------- -- Consultas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esVacio :: MultiConj a -> Bool -- tal que (esVacio m) se verifica si el multiconjunto m es vacío. Por -- ejemplo, -- esVacio vacio == True -- esVacio (inserta 'a' vacio) == False -- --------------------------------------------------------------------- esVacio :: MultiConj a -> Bool esVacio = M.null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- cardinal :: MultiConj a -> Int -- tal que (cardinal m) es el número de elementos (contando las -- repeticiones) del multiconjunto m. Por ejemplo, -- cardinal (listaAmc "ababcad") == 7 -- --------------------------------------------------------------------- cardinal :: MultiConj a -> Int cardinal = sum . M.elems -- 2ª definición cardinal2 :: MultiConj a -> Int cardinal2 m = sum [v | (k,v) <- M.assocs m] -- Comparación de eficiencia -- λ> cardinal (listaAmc [1..5000000]) -- 5000000 -- (5.92 secs, 9,071,879,144 bytes) -- λ> cardinal2 (listaAmc [1..5000000]) -- 5000000 -- (7.06 secs, 9,591,013,280 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- cardDistintos :: MultiConj a -> Int -- tal que (cardDistintos m) es el número de elementos (sin contar las -- repeticiones) del multiconjunto m. Por ejemplo, -- cardDistintos (listaAmc "ababcad") == 4 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición cardDistintos :: MultiConj a -> Int cardDistintos = M.size -- 2ª definición cardDistintos2 :: MultiConj a -> Int cardDistintos2 = length . M.keys -- Comparación de eficiencia -- λ> cardDistintos (listaAmc [1..10000000]) -- 10000000 -- (9.86 secs, 17,538,021,680 bytes) -- λ> cardDistintos2 (listaAmc [1..10000000]) -- 10000000 -- (10.14 secs, 18,092,597,184 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- pertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (pertenece x m) se verifica si el elemento x pertenece al -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- pertenece 'b' (listaAmc "ababcad") == True -- pertenece 'r' (listaAmc "ababcad") == False -- --------------------------------------------------------------------- pertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool pertenece = M.member -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- noPertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (noPertenece x m) se verifica si el elemento x no pertenece al -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- noPertenece 'b' (listaAmc "ababcad") == False -- noPertenece 'r' (listaAmc "ababcad") == True -- --------------------------------------------------------------------- noPertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool noPertenece = M.notMember -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- ocurrencias :: Ord a => a -> MultiConj a -> Int -- tal que (ocurrencias x m) es el número de ocurrencias de x en el -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- ocurrencias 'a' (listaAmc "ababcad") == 3 -- ocurrencias 'r' (listaAmc "ababcad") == 0 -- --------------------------------------------------------------------- ocurrencias :: Ord a => a -> MultiConj a -> Int ocurrencias = M.findWithDefault 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- elementos :: Ord a => MultiConj a -> [a] -- tal que (elementos m) es la lista de los elementos (sin repeticiones) -- del multiconjunto m. Por ejemplo, -- elementos (listaAmc "ababcad") == "abcd" -- --------------------------------------------------------------------- elementos :: Ord a => MultiConj a -> [a] elementos = M.keys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.Definir la función -- esSubmultiConj :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (esSubmultiConj m1 m2) se verifica si m1 es un -- submulticonjuto de m2 (es decir; los elementos de m1 pertenecen a m2 -- con un númro de ocurrencias igual o mayor). Por ejemplo, -- ghci> let m1 = listaAmc "ababcad" -- ghci> let m2 = listaAmc "bcbaadaa" -- ghci> m1 -- fromList [('a',3),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> m2 -- fromList [('a',4),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> esSubmultiConj m1 m2 -- True -- ghci> esSubmultiConj m2 m1 -- False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esSubmultiConj :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool esSubmultiConj m1 m2 = all (\x -> ocurrencias x m1 <= ocurrencias x m2) (elementos m1) -- 2ª definición esSubmultiConj2 :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool esSubmultiConj2 = M.isSubmapOfBy (<=) -- Comparación de eficiencia -- λ> esSubmultiConj (listaAmc [1..1000000]) (listaAmc [1..1000000]) -- True -- (3.06 secs, 3,440,710,816 bytes) -- λ> esSubmultiConj2 (listaAmc [1..1000000]) (listaAmc [1..1000000]) -- True -- (1.71 secs, 3,058,187,728 bytes) -- -- λ> let m = listaAmc (replicate 10000000 1) in esSubmultiConj m m -- True -- (5.71 secs, 5,539,250,712 bytes) -- λ> let m = listaAmc (replicate 10000000 1) in esSubmultiConj2 m m -- True -- (5.87 secs, 5,468,766,496 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Elemento minimo y máximo de un multiconjunto -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- minimo :: MultiConj a -> a -- tal que (minimo m) es el mínimo elemento del multiconjunto m. Por -- ejemplo, -- minimo (listaAmc "cdacbab") == 'a' -- --------------------------------------------------------------------- minimo :: MultiConj a -> a minimo = fst . M.findMin -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- maximo :: MultiConj a -> a -- tal que (maximo m) es el máximo elemento del multiconjunto m. Por -- ejemplo, -- maximo (listaAmc "cdacbab") == 'd' -- --------------------------------------------------------------------- maximo :: MultiConj a -> a maximo = fst . M.findMax -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- borraMin :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMin m) es el multiconjunto obtenido eliminando una -- ocurrencia del menor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMin (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',2),('d',1)] -- ghci> borraMin it -- fromList [('b',2),('c',2),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMin :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMin m = borra (minimo m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- borraMax :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMax m) es el multiconjunto obtenido eliminando una -- ocurrencia del mayor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMax (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',2),('b',2),('c',2)] -- ghci> borraMax it -- fromList [('a',2),('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMax :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMax m = borra (maximo m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- borraMinTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMinTodo m) es el multiconjunto obtenido eliminando -- todas las ocurrencias del menor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMinTodo (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('b',2),('c',2),('d',1)] -- ghci> borraMinTodo it -- fromList [('c',2),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMinTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMinTodo = M.deleteMin -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la función -- borraMaxTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMaxTodo m) es el multiconjunto obtenido eliminando -- todas las ocurrencias del mayor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMaxTodo (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',2),('b',2),('c',2)] -- ghci> borraMaxTodo it -- fromList [('a',2),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMaxTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMaxTodo = M.deleteMax -- --------------------------------------------------------------------- -- Operaciones: unión, intersección y diferencia de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- union :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (union m1 m2) es la unión de los multiconjuntos m1 y m2. Por -- ejemplo, -- ghci> let m1 = listaAmc "cdacba" -- ghci> let m2 = listaAmc "acec" -- ghci> m1 -- fromList [('a',2),('b',1),('c',2),('d',1)] -- ghci> m2 -- fromList [('a',1),('c',2),('e',1)] -- ghci> union m1 m2 -- fromList [('a',3),('b',1),('c',4),('d',1),('e',1)] -- --------------------------------------------------------------------- union :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a union = M.unionWith (+) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la función -- unionG :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a -- tal que (unionG ms) es la unión de la lista de multiconjuntos ms. Por -- ejemplo, -- ghci> unionG (map listaAmc ["aba", "cda", "bdb"]) -- fromList [('a',3),('b',3),('c',1),('d',2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición unionG :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a unionG = M.unionsWith (+) -- 2ª definición unionG2 :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a unionG2 = foldr union vacio -- Comparación de eficiencia -- λ> unionG (replicate 1000000 (listaAmc "abc")) -- fromList [('a',1000000),('b',1000000),('c',1000000)] -- (1.04 secs, 693,213,488 bytes) -- λ> unionG2 (replicate 1000000 (listaAmc "abc")) -- fromList [('a',1000000),('b',1000000),('c',1000000)] -- (1.40 secs, 832,739,480 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- diferencia :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (diferencia m1 m2) es la diferencia de los multiconjuntos m1 -- y m2. Por ejemplo, -- ghci> diferencia (listaAmc "abacc") (listaAmc "dcb") -- fromList [('a',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- diferencia :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a diferencia = M.differenceWith f where f x y | x <= y = Nothing | otherwise = Just (x - y) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- interseccion :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (interseccion m1 m2) es la intersección de los multiconjuntos -- m1 y m2. Por ejemplo, -- ghci> interseccion (listaAmc "abcacc") (listaAmc "bdcbc") -- fromList [('b',1),('c',2)] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a interseccion = M.intersectionWith min -- --------------------------------------------------------------------- -- Filtrado y partición -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- filtra :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (filtra p m) es el multiconjunto de los elementos de m que -- verifican la propiedad p. Por ejemplo, -- ghci> filtra (>'b') (listaAmc "abaccaded") -- fromList [('c',2),('d',2),('e',1)] -- --------------------------------------------------------------------- filtra :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> MultiConj a filtra p = M.filterWithKey (\k _ -> p k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Definir la función -- particion :: Ord a => -- (a -> Bool) -> MultiConj a -> (MultiConj a,MultiConj a) -- tal que (particion p m) es el par cuya primera componente consta de -- los elementos de m que cumplen p y la segunda por los que no lo -- cumplen. Por ejemplo, -- ghci> particion (>'b') (listaAmc "abaccaded") -- (fromList [('c',2),('d',2),('e',1)],fromList [('a',3),('b',1)]) -- --------------------------------------------------------------------- particion :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> (MultiConj a,MultiConj a) particion p = M.partitionWithKey (\k _ -> p k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Función aplicativa -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Definir la función -- mapMC :: Ord b => (a -> b) -> MultiConj a -> MultiConj b -- tal que (mapMC f m) es el multiconjunto obtenido aplicando la función -- f a todos los elementos de m. Por ejemplo, -- ghci> mapMC (:"N") (listaAmc "abaccaded") -- fromList [("aN",3),("bN",1),("cN",2),("dN",2),("eN",1)] -- --------------------------------------------------------------------- mapMC :: Ord b => (a -> b) -> MultiConj a -> MultiConj b mapMC = M.mapKeys |