I1M2015: Ejercicios de definiciones por recursión
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han comentado las soluciones de los ejercicios de la 5ª relación sobre definiciones por recursión.
Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- recursión correspondientes al tema 6 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-6.html -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List import Data.Char -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir por recursión la función -- potencia :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (potencia x n) es x elevado al número natural n. Por ejemplo, -- potencia 2 3 == 8 -- --------------------------------------------------------------------- potencia :: Integer -> Integer -> Integer potencia m 0 = 1 potencia m n = m*(potencia m (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Comprobar con QuickCheck que la función potencia es -- equivalente a la predefinida (^). -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_potencia :: Integer -> Integer -> Property prop_potencia x n = n >= 0 ==> potencia x n == x^n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_potencia -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Dados dos números naturales, a y b, es posible -- calcular su máximo común divisor mediante el Algoritmo de -- Euclides. Este algoritmo se puede resumir en la siguiente fórmula: -- mcd(a,b) = a, si b = 0 -- = mcd (b, a módulo b), si b > 0 -- -- Definir la función -- mcd :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado -- mediante el algoritmo de Euclides. Por ejemplo, -- mcd 30 45 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- mcd :: Integer -> Integer -> Integer mcd a 0 = a mcd a b = mcd b (a `mod` b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir y comprobar la propiedad prop_mcd según la -- cual el máximo común divisor de dos números a y b (ambos mayores que -- 0) es siempre mayor o igual que 1 y además es menor o igual que el -- menor de los números a y b. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcd :: Integer -> Integer -> Property prop_mcd a b = a > 0 && b > 0 ==> m >= 1 && m <= min a b where m = mcd a b -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcd -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Teniendo en cuenta que buscamos el máximo común -- divisor de a y b, sería razonable pensar que el máximo común divisor -- siempre sería igual o menor que la mitad del máximo de a y b. Definir -- esta propiedad y comprobarla. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcd_div :: Integer -> Integer -> Property prop_mcd_div a b = a > 0 && b > 0 ==> mcd a b <= (max a b) `div` 2 -- Al verificarla, se obtiene -- ghci> quickCheck prop_mcd_div -- Falsifiable, after 0 tests: -- 3 -- 3 -- que la refuta. Pero si la modificamos añadiendo la hipótesis que los números -- son distintos, prop_mcd_div' :: Integer -> Integer -> Property prop_mcd_div' a b = a > 0 && b > 0 && a /= b ==> mcd a b <= (max a b) `div` 2 -- entonces al comprobarla -- ghci> quickCheck prop_mcd_div' -- OK, passed 100 tests. -- obtenemos que se verifica. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1, Definir por recursión la función -- pertenece :: Eq a => a -> [a] -> Bool -- tal que (pertenece x xs) se verifica si x pertenece a la lista xs. Por -- ejemplo, -- pertenece 3 [2,3,5] == True -- pertenece 4 [2,3,5] == False -- --------------------------------------------------------------------- pertenece :: Eq a => a -> [a] -> Bool pertenece _ [] = False pertenece x (y:ys) = x == y || pertenece x ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Comprobar con quickCheck que pertenece es equivalente -- a elem. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_pertenece :: Eq a => a -> [a] -> Bool prop_pertenece x xs = pertenece x xs == elem x xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_pertenece -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir por recursión la función -- concatenaListas :: [[a]] -> [a] -- tal que (concatenaListas xss) es la lista obtenida concatenando las listas de -- xss. Por ejemplo, -- concatenaListas [[1..3],[5..7],[8..10]] == [1,2,3,5,6,7,8,9,10] -- --------------------------------------------------------------------- concatenaListas :: [[a]] -> [a] concatenaListas [] = [] concatenaListas (xs:xss) = xs ++ concatenaListas xss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Comprobar con QuickCheck que concatenaListas es -- equivalente a concat. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_concat :: Eq a => [[a]] -> Bool prop_concat xss = concatenaListas xss == concat xss -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_concat -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir por recursión la función -- coge :: Int -> [a] -> [a] -- tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de -- xs. Por ejemplo, -- coge 3 [4..12] => [4,5,6] -- --------------------------------------------------------------------- coge :: Int -> [a] -> [a] coge n _ | n <= 0 = [] coge n [] = [] coge n (x:xs) = x : coge (n-1) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Comprobar con QuickCheck que coge es equivalente a -- take. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_coge :: Int -> [Int] -> Bool prop_coge n xs = coge n xs == take n xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosR n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosR 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer sumaCuadradosR 0 = 0 sumaCuadradosR n = n^2 + sumaCuadradosR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Comprobar con QuickCheck si sumaCuadradosR n es igual a -- n(n+1)(2n+1)/6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_SumaCuadrados :: Integer -> Property prop_SumaCuadrados n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == n * (n+1) * (2*n+1) `div` 6 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_SumaCuadrados -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosC :: Integer --> Integer -- tal que (sumaCuadradosC n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosC 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosC :: Integer -> Integer sumaCuadradosC n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- sumaCuadradosR y sumaCuadradosC son equivalentes sobre los números -- naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaCuadradosR :: Integer -> Property prop_sumaCuadradosR n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == sumaCuadradosC n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaCuadrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir, por recursión, la función -- digitosR :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosR n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosR 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- --------------------------------------------------------------------- digitosR :: Integer -> [Integer] digitosR n = reverse (digitosR' n) digitosR' n | n < 10 = [n] | otherwise = (n `rem` 10) : digitosR' (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, por comprensión, la función -- digitosC :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosC n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosC 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- Indicación: Usar las funciones show y read. -- --------------------------------------------------------------------- digitosC :: Integer -> [Integer] digitosC n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones digitosR y -- digitosC son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_digitos :: Integer -> Property prop_digitos n = n >= 0 ==> digitosR n == digitosC n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_digitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, por recursión, la función -- sumaDigitosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosR 3 == 3 -- sumaDigitosR 2454 == 15 -- sumaDigitosR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosR :: Integer -> Integer sumaDigitosR n | n < 10 = n | otherwise = n `rem` 10 + sumaDigitosR (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir, sin usar recursión, la función -- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosNR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosNR 3 == 3 -- sumaDigitosNR 2454 == 15 -- sumaDigitosNR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer sumaDigitosNR n = sum (digitosC n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones sumaDigitosR -- y sumaDigitosNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaDigitos :: Integer -> Property prop_sumaDigitos n = n >= 0 ==> sumaDigitosR n == sumaDigitosNR n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaDigitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir, por recursión, la función -- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroR xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroR [5] == 5 -- listaNumeroR [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroR [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer listaNumeroR xs = listaNumeroR' (reverse xs) listaNumeroR' :: [Integer] -> Integer listaNumeroR' [] = 0 listaNumeroR' (x:xs) = x + 10 * (listaNumeroR' xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir, por comprensión, la función -- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroC xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroC [5] == 5 -- listaNumeroC [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroC [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: listaNumeroC :: [Integer] -> Integer listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]] -- 2ª definición: listaNumeroC2 :: [Integer] -> Integer listaNumeroC2 xs = read [x | x <- show xs, isDigit x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- listaNumeroR y listaNumeroC son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_listaNumero :: [Integer] -> Bool prop_listaNumero xs = listaNumeroR xs == listaNumeroC xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_listaNumero -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- capicua :: Integer -> Bool -- tal que (capicua n) se verifica si los dígitos que n son las mismos -- de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, -- capicua 1234 = False -- capicua 1221 = True -- capicua 4 = True -- --------------------------------------------------------------------- capicua :: Integer -> Bool capicua n = show n == reverse (show n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Definir, por recursión, la función -- mayorExponenteR :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mayorExponenteR a b) es el exponente de la mayor potencia de -- a que divide b. Por ejemplo, -- mayorExponenteR 2 8 == 3 -- mayorExponenteR 2 9 == 0 -- mayorExponenteR 5 100 == 2 -- mayorExponenteR 2 60 == 2 -- --------------------------------------------------------------------- mayorExponenteR :: Integer -> Integer -> Integer mayorExponenteR a b | rem b a /= 0 = 0 | otherwise = 1 + mayorExponenteR a (b `div` a) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Definir, por comprensión, la función -- mayorExponenteC :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mayorExponenteC a b) es el exponente de la mayor potencia de -- a que divide a b. Por ejemplo, -- mayorExponenteC 2 8 == 3 -- mayorExponenteC 5 100 == 2 -- mayorExponenteC 5 101 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- mayorExponenteC :: Integer -> Integer -> Integer mayorExponenteC a b = head [x-1 | x <- [0..], mod b (a^x) /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. La suma de la serie -- 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... -- es pi^2/6. Por tanto, pi se puede aproximar mediante la raíz cuadrada -- de 6 por la suma de la serie. -- -- Definir, por comprensión, la función aproximaPiC tal que -- (aproximaPiC n) es la aproximación de pi obtenida mediante n -- términos de la serie. Por ejemplo, -- aproximaPiC 4 == sqrt(6*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2)) -- == 2.9226129861250305 -- aproximaPiC 1000 == 3.1406380562059946 -- --------------------------------------------------------------------- aproximaPiC n = sqrt (6*sum [1/x^2 | x <- [1..n]]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir, por recursión, la función aproximaPiR tal -- que (aproximaPiR n) es la aproximación de pi obtenida mediante n -- términos de la serie. Por ejemplo, -- aproximaPiR 4 == sqrt(6*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2)) -- == 2.9226129861250305 -- aproximaPiR 1000 == 3.1406380562059946 -- --------------------------------------------------------------------- aproximaPiR n = sqrt(6*aproximaPiR' n) aproximaPiR' 1 = 1 aproximaPiR' n = 1/n^2 + aproximaPiR' (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Comprobar con QuickCheck si la función mcd definida -- en el ejercicio 2.1 es equivalente a la función gcd -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcd_gcd :: Integer -> Integer -> Bool prop_mcd_gcd a b = mcd a b == gcd a b -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcd_gcd -- *** Failed! Falsifiable (after 5 tests and 2 shrinks): -- 0 -- -1 -- Efectivamente, -- ghci> mcd 0 (-1) -- -1 -- ghci> gcd 0 (-1) -- 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Definir la función -- mcdE :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mcdE a b) es el máximo común divisor de a y b calculado -- mediante el algoritmo de Euclides, pero extendido a los números -- negativos. Por ejemplo, -- mcdE 30 45 == 15 -- mcdE (-2) 0 == 2 -- mcdE (-4) 6 == 2 -- mcdE 0 4 == 4 -- mcdE 0 0 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- mcdE :: Integer -> Integer -> Integer mcdE a 0 = abs a mcdE a b = mcdE b (a `mod` b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.3. Comprobar con QuickCheck si las funciones mcdE y gcd -- son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcdE_gcd :: Integer -> Integer -> Bool prop_mcdE_gcd a b = mcdE a b == gcd a b -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcdE_gcd -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.4. Comprobar con QuickCheck que (mcd a b) es un divisor -- de a y de b. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcdE_esDivisor :: Integer -> Integer -> Property prop_mcdE_esDivisor a b = a > 0 && b > 0 ==> a `rem` m == 0 && b `rem` m == 0 where m = mcdE a b -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcdE_esDivisor -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.4. Comprobar con QuickCheck que todos los divisores -- comunes de a y b son divisores de (mcdE a b). -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcdE_esMaximo :: Integer -> Integer -> Integer -> Property prop_mcdE_esMaximo a b c = a > 0 && b > 0 && c /= 0 && divide c a && divide c b ==> divide c (mcdE a b) where divide x y = rem y x == 0 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcdE_esMaximo -- *** Gave up! Passed only 26 tests. -- La propiedad es prop_mcdE_esMaximo2 :: Integer -> Integer -> Integer -> Property prop_mcdE_esMaximo2 a b c = a > 0 && b > 0 ==> and [divide x (mcdE a b) | x <- divisores a, divide x b] -- (divide x y) se verifica si x divide a y. Por ejemplo, -- divide 2 6 == True -- divide 2 7 == False divide :: Integer -> Integer -> Bool divide x y = rem y x == 0 -- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo, -- divisores 90 == [1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90] divisores :: Integer -> [Integer] divisores x = [y | y <- [1..x], divide y x] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcdE_esMaximo2 -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.1. Definir, por comprensión, la función -- mcdC :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mcdC a b) es el máximo común divisor de a y b. Por ejemplo, -- mcdC 30 45 == 15 -- mcdC (-2) 0 == 2 -- mcdC (-4) 6 == 2 -- mcdC 0 4 == 4 -- mcdC 0 0 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- mcdC :: Integer -> Integer -> Integer mcdC 0 b = abs b mcdC a b = head [x | x <- [c,c-1..1], divide x a, divide x b] where c = min (abs a) (abs b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.2. Comprobar con QuickCheck si las funciones mcdC y gcd -- son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mcdC_gcd :: Integer -> Integer -> Bool prop_mcdC_gcd a b = mcdC a b == gcd a b -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mcdC_gcd -- +++ OK, passed 100 tests. |
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