I1M2014: Demostración de propiedades por inducción sobre números y listas

En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 39 sobre demostración de propiedades por inducción sobre números y listas

Los ejercicios y su solución se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
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-- En esta relación se plantean ejercicios de demostración por inducción
-- de propiedades de programas. La inducción se realiza sobre números
-- naturales y sobre listas.
--
-- Las transparencias del tema correspondiente se encuentran en 
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-8.pdf

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-- Importación de librerías                                           --
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import Data.List
import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función
--    sumaImpares :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    sumaImpares 5  ==  25
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares :: Int -> Int
sumaImpares 0 = 0
sumaImpares n = sumaImpares (n-1) + (2*n-1) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función
--    sumaImpares' :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    sumaImpares' 5  ==  25
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int
sumaImpares' n = sum [1,3..2*n-1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Definir la función
--    sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y
-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.
-- 
-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para
-- todos los números x entre 1 y 100.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
sumaImparesIguales m n = 
    and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es
--    ghci> sumaImparesIguales 1 100
--    True

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.4. Definir la función 
--    grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x
-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).
--
-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
grafoSumaImpares m n =
    [(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es
--    ghci> grafoSumaImpares 1 9
--    [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1e. Demostrar por inducción que para todo n, 
-- (sumaImpares n) es igual a n^2.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Caso base: Hay que demostrar que
    sumaImpares 0 = 0^2 
 En efecto,
    sumaImpares 0   [por hipótesis]  
    = 0               [por sumaImpares.1]
    = 0^2             [por aritmética]
 
  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaImpares n = n^2
  Hay que demostrar que
     sumaImpares (n+1) = (n+1)^2
  En efecto,
     sumaImpares (n+1) = 
     = (sumaImpares n) + (2*n+1    )    [por sumaImpares.2]
     = n^2 + (2*n+1)                    [por H.I.]
     = (n+1)^2                          [por álgebra]
-} 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
-- tal que 
--    (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno 3  ==  16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2
sumaPotenciasDeDosMasUno n = sumaPotenciasDeDosMasUno (n-1) + 2^n

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
-- tal que 
--    (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' 3  ==  16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que
--    sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Caso base: Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)
  En efecto,
       sumaPotenciasDeDosMasUno 0 
     = 2                              [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]
     = 2^(0+1)                        [por aritmética]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)
  En efecto, 
       sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)
     = (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1)  [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]
     = 2^(n+1) + 2^(n+1)                       [por H.I.]
     = 2^((n+1)+1)                             [por aritmética]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir, por recursión, la función
--    copia :: Int -> a -> [a]
-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo, 
--    copia 3 2  ==  [2,2,2]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
copia :: Int -> a -> [a]
copia 0 _ = []                  -- copia.1
copia n x = x : copia (n-1) x   -- copia.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función 
--    todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
-- la propiedad p. Por ejemplo,
--    todos even [2,6,4]  ==  True
--    todos even [2,5,4]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
todos p []       = True                -- todos.1
todos p (x : xs) = p x && todos p xs   -- todos.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de 
-- (copia n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool
prop_copia n x =
    todos (==x) (copia n' x)
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_copia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos
-- de (copia n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Hay que demostrar que para todo n y todo x,
     todos (==x) (copia n x)

  Caso base: Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia 0 x) = True 
  En efecto, 
       todos (== x) (copia 0 x)
     = todos (== x) []            [por copia.1] 
     = True                       [por todos.1] 

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     todos (==x) (copia n x) = True
  Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia (n+1) x) = True
  En efecto, 
       todos (==x) (copia (n+1) x)
     = todos (==x) (x : copia n x )         [por copia.2]
     = x == x && todos (==x) (copia n x )   [por todos.2] 
     = True && todos (==x) (copia n x )     [por def. de ==] 
     = todos (==x) (copia n x )             [por def. de &&] 
     = True                                 [por H.I.]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.5. Definir, por plegado, la función 
--    todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
-- tal que (todos' p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
-- la propiedad p. Por ejemplo,
--    todos' even [2,6,4]  ==>  True
--    todos' even [2,5,4]  ==>  False
-- ---------------------------------------------------------------------

todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
todos' p = foldr ((&&) . p) True 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función 
--   factR :: Integer -> Integer
-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--   factR 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

factR :: Integer -> Integer
factR 0 = 1
factR n = n * factR (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.2. Definir, por comprensión, la función 
--   factC :: Integer -> Integer
-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--   factC 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

factC :: Integer -> Integer
factC n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones factR y
-- factC son equivalentes sobre los números naturales.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_factR_factC :: Integer -> Bool
prop_factR_factC n = 
    factR n' == factC n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factR_factC
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck si las funciones factR y
-- factC son equivalentes sobre los números enteros.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_factR_factC_Int :: Integer -> Bool
prop_factR_factC_Int n = 
    factR n == factC n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factR_factC_Int
--    *** Exception: Non-exhaustive patterns in function factR

-- No son iguales ya que factR no está definida para los números
-- negativos y factC de cualquier número negativo es 0.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.5. Se considera la siguiente definición iterativa de la
-- función factorial 
--    factI :: Integer -> Integer
--    factI n = factI' n 1
--    
--    factI' :: Integer -> Integer -> Integer
--    factI' 0 x = x                  -- factI'.1
--    factI' n x = factI' (n-1) n*x   -- factI'.2
-- Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los
-- números naturales.
-- ---------------------------------------------------------------------

factI :: Integer -> Integer
factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer
factI' 0 x = x
factI' n x = factI' (n-1) n*x 

-- La propiedad es
prop_factI_factR n = 
    factI n' == factR n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factI_factR
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.6. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural
-- n, (factI' n x) es igual al producto de x y (factR n).
-- --------------------------------------------------------------------- 

-- La propiedad es
prop_factI' :: Integer -> Integer -> Bool
prop_factI' n  x =
    factI' n' x == x * factR n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factI'
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.7. Demostrar por inducción que para todo número natural
-- n, (factI' n x) es igual x*n!
-- --------------------------------------------------------------------- 

{-
  Demostración (por inducción en n)

  Caso base: Hay que demostrar que factI' 0 x = x*0!
  En efecto,
     factI' 0 x 
     = x           [por factI'.1]
     = x*0!        [por álgebra]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción: para todo x,
     factI' n x = x*n!
  hay que demostrar que para todo x
     factI' (n+1) x = x*(n+1)!
  En efecto,
     factI' (n+1) x
     = factI' n (n+1)*x    [por factI'.2]
     = (n+1)*x*n!          [por hipótesis de inducción]
     = x*(n+1)!            [por álgebra]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.1. Definir, recursivamente y sin usar (++). la función
--    amplia :: [a] -> a -> [a]
-- tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
-- final de la lista xs. Por ejemplo,
--    amplia [2,5] 3  ==  [2,5,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

amplia :: [a] -> a -> [a]
amplia []     y = [y]               -- amplia.1
amplia (x:xs) y = x : amplia xs y   -- amplia.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.2. Definir, mediante plegado. la función
--    ampliaF :: [a] -> a -> [a]
-- tal que (ampliaF xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
-- final de la lista xs. Por ejemplo,
--    ampliaF [2,5] 3  ==  [2,5,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

ampliaF :: [a] -> a -> [a]
ampliaF xs y = foldr (:) [y] xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.3. Comprobar con QuickCheck que amplia y ampliaF son
-- equivalentes. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_amplia_ampliaF :: Eq a => [a] -> a -> Bool
prop_amplia_ampliaF xs y =
    amplia xs y == ampliaF xs y

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_amplia_ampliaF
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.4. Comprobar con QuickCheck que
--    amplia xs y = xs ++ [y]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_amplia :: Eq a => [a] -> a -> Bool
prop_amplia xs y =
    amplia xs y == xs ++ [y]

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_amplia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.5. Demostrar por inducción que
--    amplia xs y = xs ++ [y]
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Demostración: Por inducción en xs.

  Caso base: Hay que demostrar que 
     amplia [] y = [] ++ [y]
  En efecto,
     amplia [] y 
     = [y]         [por amplia.1]
     = [] ++ [y]   [por (++).1]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción
     amplia xs y = xs ++ [y]
  Hay que demostrar que
     amplia (x:xs) y = (x:xs) ++ [y]
  En efecto,
     amplia (x:xs) y
     = x : amplia xs y    [por amplia.2]
     = x : (xs ++ [y])    [por hipótesis de inducción]
     = (x:xs) ++ [y]      [por (++).2]
-}

-- ----------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.1. Definir la función 
--    listaConSuma :: Int -> [[Int]] 
-- que, dado un número natural n, devuelve todas las listas de enteros
-- positivos (esto es, enteros mayores o iguales que 1) cuya suma sea
-- n. Por ejemplo,
--    Main> listaConSuma 4
--    [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,3],[2,1,1],[2,2],[3,1],[4]]
-- ---------------------------------------------------------------------

listaConSuma :: Int -> [[Int]]
listaConSuma 0 = [[]]
listaConSuma n = [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.2. Definir la función
--    numeroDeListasConSuma :: Int -> Int
-- tal que (numeroDeListasConSuma n) es el número de elementos de
-- (listaConSuma n). Por ejemplo,
--    numeroDeListasConSuma 10  =  512
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma :: Int -> Int
numeroDeListasConSuma = length . listaConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.3. Definir la constante
--    numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]
-- tal que numerosDeListasConSuma es la lista de los pares formado por un
-- número natural n mayor que 0 y el número de elementos de 
-- (listaConSuma n). 
--
-- Calcular el valor de
--    take 10 numerosDeListasConSuma
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La constante es
numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]
numerosDeListasConSuma = [(n,numeroDeListasConSuma n) | n <- [1..]] 

-- El cálculo es
--    ghci> take 10 numerosDeListasConSuma
--    [(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),(5,16),(6,32),(7,64),(8,128),(9,256),(10,512)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.4. A partir del ejercicio anterior, encontrar una fórmula
-- para calcular el valor de (numeroDeListasConSuma n) paras los
-- números n mayores que 0. 
-- 
-- Demostrar dicha fórmula por inducción fuerte.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 La fórmula es
    numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)
 La demostración, por inducción fuerte en n, es la siguiente:

 Caso base (n=1):
    numeroDeListasConSuma 1 
    = length (listaConSuma 1)    
         [por numeroDeListasConSuma]
    = length [[x:xs | x <- [1..1], xs <- listaConSuma [[]]]
         [por listaConSuma.2]
    = length [[1]]
         [por def. de listas de comprensión]
    = 1
         [por def. de length] 
    = 2^(1-1)
         [por aritmética] 

 Paso de inducción: Se supone que
    para todo x en [1..n-1], 
       numeroDeListasConSuma x = 2^(x-1)
 Hay que demostrar que
    numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)
 En efecto,
    numeroDeListasConSuma n
    = length (listaConSuma n)   
         [por numeroDeListasConSuma]
    = length [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]
         [por listaConSuma.2]
    = sum [numeroDeListasConSuma (n-x) | x <- [1..n]]
         [por length y listas de comprensión]
    = sum [2^(n-x-1) | x <- [1..n-1]] + 1
         [por hip. de inducción y numeroDeListasConSuma]
    = 2^(n-2) + 2^(n-3) + ... + 2^1 + 2^0 + 1
    = 2^(n-1)
         [por el ejercicio 2c de la relación 15]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.5. A partir del ejercicio anterior, definir de manera más
-- eficiente la función numeroDeListasConSuma.
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma' :: Int -> Int
numeroDeListasConSuma' 0 = 1
numeroDeListasConSuma' n = 2^(n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.6. Comparar la eficiencia de las dos definiciones
-- comparando el tiempo y el espacio usado para calcular 
-- (numeroDeListasConSuma 20) y (numeroDeListasConSuma' 20).
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es
--    ghci> :set +s
--    ghci> numeroDeListasConSuma 20
--    524288
--    (9.99 secs, 519419824 bytes)
--    ghci> numeroDeListasConSuma' 20
--    524288
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.0. La sucesión de Fibonacci 
--    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
-- puede definirse por recursión como
--    fib :: Int -> Int
--    fib 0     = 0                      -- fib.1
--    fib 1     = 1                      -- fib.2
--    fib (n+2) = (fib (n+1)) + fib n    -- fib.3
-- También puede definirse por recursición iterativa como
--    fibIt :: Int -> Int
--    fibIt n = fibItAux n 0 1
-- donde la función auxiliar se define por
--    fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int
--    fibItAux 0     a b = a                    -- fibItAux.1
--    fibItAux (n+1) a b = fibItAux n b (a+b)   -- fibItAux.2 
-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Int -> Int
fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2) 

fibIt :: Int -> Int
fibIt n = fibItAux n 0 1

fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int
fibItAux 0 a b = a
fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural
-- n tal que n <= 20, se tiene que
--    fib n = fibIt n
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_fib :: Int -> Property
prop_fib n =
    n >= 0 && n <= 20 ==> fib n == fibIt n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_fib
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Sea f la función definida por
--    f :: Int -> Int -> Int
--    f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))
-- Definir la función 
--    grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (grafoDeF n) es la lista de los pares formados por un número
-- natural k y el valor de (f n k), para k >= 1. Por ejemplo,
--    ghci> take 7 (grafoDeF 3)
--    [(1,3),(2,5),(3,8),(4,13),(5,21),(6,34),(7,55)]
--    ghci> take 7 (grafoDeF 5)
--    [(1,8),(2,13),(3,21),(4,34),(5,55),(6,89),(7,144)]
-- ---------------------------------------------------------------------

f :: Int -> Int -> Int
f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]
grafoDeF n = [(k, f n k) | k <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.3. Comprobar con QuickCheck que para todo par de números
-- naturales n, k tales que n+k <= 20, se tiene que
--    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_fibItAux :: Int -> Int -> Property
prop_fibItAux n k =
    n >= 0 && k >= 0 && n+k <= 20 ==>
    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) == fib (k+n)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_fibItAux
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.4. Demostrar por inducción que para todo n y todo k,
--    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Por inducción en n se prueba que
    para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

 Caso base (n=0): Hay que demostrar que
    para todo k, fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1)) = fib k
 En efecto, sea k un número natural. Se tiene
    fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1))
    = fib k                          [por fibItAux.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
 Hay que demostrar que
    para todo k, fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n+1)
 En efecto. Sea k un número natural,
    fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1))
    = fibItAux n (fib (k+1)) ((fib k) + (fib (k+1)))
         [por fibItAux.2]
    = fibItAux n (fib (k+1)) (fib (k+2))
         [por fib.3]
    = fib (n+k+1)
         [por hipótesis de inducción]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.5. Demostrar que para todo n,
--    fibIt n = fib n
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración
    fibIt n 
    = fibItAux n 0 1               [por fibIt]
    = fibItAux n (fib 0) (fib 1)   [por fib.1 y fib.2]
    = fib n                        [por ejercicio 8.4]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. La función potencia puede definirse por
--    potencia :: Int -> Int -> Int
--    potencia x 0 = 1
--    potencia x n | even n    = potencia (x*x) (div n 2)
--                 | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)
-- Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n y todo
-- número entero x, (potencia x n) es x^n.
-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Integer -> Integer -> Integer
potencia x 0 = 1
potencia x n | even n    = potencia (x*x) (div n 2)
             | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- La propiedad es
prop_potencia :: Integer -> Integer -> Property
prop_potencia x n =
    n >= 0 ==> potencia x n == x^n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_potencia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Demostrar por inducción que que para todo número
-- natural n y todo número entero x, (potencia x n) es x^n
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Por inducción en n.

 Caso base: Hay que demostrar que 
    para todo x, potencia x 0 = 2^0
 Sea x un número entero, entonces
    potencia x 0 
    = 1              [por potencia.1]
    = 2^0            [por aritmética]

 Paso de inducción: Se supone que n>0 y la hipótesis de inducción: 
    para todo m<n y para todo x, potencia x (n-1) = x^(n-1)
 Tenemos que demostrar que 
    para todo x, potencia x n = x^n
 Lo haremos distinguiendo casos según la paridad de n.

 Caso 1: Supongamos que n es par. Entonces, existe un k tal que 
    n = 2*k.                    (1)
 Por tanto, 
    potencia  n 
    = potencia (x*x) (div n 2)  [por potencia.2]
    = potencia (x*x) k          [por (1)]
    = (x*x)^k                   [por hip. de inducción]
    = x^(2*k)                   [por aritmética]
    = x^n                       [por (1)]

 Caso 2: Supongamos que n es impar. Entonces, existe un k tal que 
    n = 2*k+1.                       (2)
 Por tanto, 
    potencia  n 
    = x * potencia (x*x) (div n 2)   [por potencia.3]
    = x * potencia (x*x) k           [por (1)]
    = x * (x*x)^k                    [por hip. de inducción]
    = x^(2*k+1)                      [por aritmética]
    = x^n                            [por (1)]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Comprobar con QuickCheck que para todo par de listas
-- xs, ys se tiene que
--    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_conc :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_reverse_conc xs ys =
    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_reverse_conc
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Demostrar por inducción que para todo par de listas
-- xs, ys se tiene que
--    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
-- 
-- Las definiciones de reverse y (++) son
--    reverse [] = []                      -- reverse.1
--    reverse (x:xs) = reverse xs ++ [x]   -- reverse.2
-- 
--    [] ++ ys     = ys                    -- ++.1
--    (x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys)        -- ++.2
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en xs.

 Caso base: Hay que demostrar que para toda ys,
    reverse ([] ++ ys) == reverse ys ++ reverse []
 En efecto,
    reverse ([] ++ ys)
    = reverse ys                  [por ++.1] 
    = reverse ys ++ []            [por propiedad de ++]
    = reverse ys ++ reverse []    [por reverse.1]

 Paso de inducción: Se supone que para todo ys,
    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
 Hay que demostrar que para todo ys,   
    reverse ((x:xs) ++ ys) == reverse ys ++ reverse (x:xs)
 En efecto,
    reverse ((x:xs) ++ ys)
    = reverse (x:(xs ++ ys))               [por ++.2]
    = reverse (xs ++ ys) ++ [x]            [por reverse.2]
    = (reverse ys ++ reverse xs) ++ [x]    [por hip. de inducción]
    = reverse ys ++ (reverse xs ++ [x])    [por asociativa de ++]
    = reverse ys ++ reverse (x:xs)         [por reverse.2]  
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Demostrar por inducción que para toda lista xs,
--    reverse (reverse xs) = xs
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en xs.

 Caso Base: Hay que demostrar que 
    reverse (reverse []) = []
 En efecto, 
    reverse (reverse [])
    = reverse []           [por reverse.1]
    = []                   [por reverse.1]

 Paso de inducción: Se supone que
    reverse (reverse xs) = xs
 Hay que demostrar que
    reverse (reverse (x:xs)) = x:xs
 En efecto,
    reverse (reverse (x:xs))
    = reverse (reverse xs ++ [x])           [por reverse.2]
    = reverse [x] ++ reverse (reverse xs)   [por ejercicio 9.2]
    = [x] ++ reverse (reverse xs)           [por reverse]
    = [x] ++ xs                             [por hip. de inducción]
    = x:xs                                  [por ++.2]
-}

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-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación se plantean ejercicios de demostración por inducción

-- de propiedades de programas. La inducción se realiza sobre números

-- naturales y sobre listas.

-- Las transparencias del tema correspondiente se encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-8.pdf

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función

-- sumaImpares :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- sumaImpares 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares :: Int -> Int

sumaImpares 0 = 0

sumaImpares n = sumaImpares (n-1) + (2*n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función

-- sumaImpares' :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- sumaImpares' 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int

sumaImpares' n = sum [1,3..2*n-1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Definir la función

-- sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y

-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.

-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para

-- todos los números x entre 1 y 100.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

sumaImparesIguales m n =

and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es

-- ghci> sumaImparesIguales 1 100

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.4. Definir la función

-- grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x

-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).

-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

grafoSumaImpares m n =

[(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es

-- ghci> grafoSumaImpares 1 9

-- [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1e. Demostrar por inducción que para todo n,

-- (sumaImpares n) es igual a n^2.

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaImpares 0 = 0^2

En efecto,

sumaImpares 0 [por hipótesis]

= 0 [por sumaImpares.1]

= 0^2 [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaImpares n = n^2

Hay que demostrar que

sumaImpares (n+1) = (n+1)^2

En efecto,

sumaImpares (n+1) =

= (sumaImpares n) + (2*n+1 ) [por sumaImpares.2]

= n^2 + (2*n+1) [por H.I.]

= (n+1)^2 [por álgebra]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

-- tal que

-- (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2

sumaPotenciasDeDosMasUno n = sumaPotenciasDeDosMasUno (n-1) + 2^n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

-- tal que

-- (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que

-- sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno 0

= 2 [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]

= 2^(0+1) [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)

= (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1) [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]

= 2^(n+1) + 2^(n+1) [por H.I.]

= 2^((n+1)+1) [por aritmética]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.1. Definir, por recursión, la función

-- copia :: Int -> a -> [a]

-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento

-- x. Por ejemplo,

-- copia 3 2 == [2,2,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

copia :: Int -> a -> [a]

copia 0 _ = [] -- copia.1

copia n x = x : copia (n-1) x -- copia.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función

-- todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen

-- la propiedad p. Por ejemplo,

-- todos even [2,6,4] == True

-- todos even [2,5,4] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

todos p [] = True -- todos.1

todos p (x : xs) = p x && todos p xs -- todos.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de

-- (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool

prop_copia n x =

todos (==x) (copia n' x)

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_copia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos

-- de (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

Hay que demostrar que para todo n y todo x,

todos (==x) (copia n x)

Caso base: Hay que demostrar que

todos (==x) (copia 0 x) = True

En efecto,

todos (== x) (copia 0 x)

= todos (== x) [] [por copia.1]

= True [por todos.1]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

todos (==x) (copia n x) = True

Hay que demostrar que

todos (==x) (copia (n+1) x) = True

En efecto,

todos (==x) (copia (n+1) x)

= todos (==x) (x : copia n x ) [por copia.2]

= x == x && todos (==x) (copia n x ) [por todos.2]

= True && todos (==x) (copia n x ) [por def. de ==]

= todos (==x) (copia n x ) [por def. de &&]

= True [por H.I.]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.5. Definir, por plegado, la función

-- todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

-- tal que (todos' p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen

-- la propiedad p. Por ejemplo,

-- todos' even [2,6,4] ==> True

-- todos' even [2,5,4] ==> False

-- ---------------------------------------------------------------------

todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

todos' p = foldr ((&&) . p) True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función

-- factR :: Integer -> Integer

-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factR 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

factR :: Integer -> Integer

factR 0 = 1

factR n = n * factR (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.2. Definir, por comprensión, la función

-- factC :: Integer -> Integer

-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factC 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

factC :: Integer -> Integer

factC n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones factR y

-- factC son equivalentes sobre los números naturales.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factR_factC :: Integer -> Bool

prop_factR_factC n =

factR n' == factC n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factR_factC

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck si las funciones factR y

-- factC son equivalentes sobre los números enteros.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factR_factC_Int :: Integer -> Bool

prop_factR_factC_Int n =

factR n == factC n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factR_factC_Int

-- *** Exception: Non-exhaustive patterns in function factR

-- No son iguales ya que factR no está definida para los números

-- negativos y factC de cualquier número negativo es 0.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.5. Se considera la siguiente definición iterativa de la

-- función factorial

-- factI :: Integer -> Integer

-- factI n = factI' n 1

-- factI' :: Integer -> Integer -> Integer

-- factI' 0 x = x -- factI'.1

-- factI' n x = factI' (n-1) n*x -- factI'.2

-- Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los

-- números naturales.

-- ---------------------------------------------------------------------

factI :: Integer -> Integer

factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer

factI' 0 x = x

factI' n x = factI' (n-1) n*x

-- La propiedad es

prop_factI_factR n =

factI n' == factR n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factI_factR

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.6. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural

-- n, (factI' n x) es igual al producto de x y (factR n).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factI' :: Integer -> Integer -> Bool

prop_factI' n x =

factI' n' x == x * factR n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factI'

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.7. Demostrar por inducción que para todo número natural

-- n, (factI' n x) es igual x*n!

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración (por inducción en n)

Caso base: Hay que demostrar que factI' 0 x = x*0!

En efecto,

factI' 0 x

= x [por factI'.1]

= x*0! [por álgebra]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción: para todo x,

factI' n x = x*n!

hay que demostrar que para todo x

factI' (n+1) x = x*(n+1)!

En efecto,

factI' (n+1) x

= factI' n (n+1)*x [por factI'.2]

= (n+1)*x*n! [por hipótesis de inducción]

= x*(n+1)! [por álgebra]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.1. Definir, recursivamente y sin usar (++). la función

-- amplia :: [a] -> a -> [a]

-- tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al

-- final de la lista xs. Por ejemplo,

-- amplia [2,5] 3 == [2,5,3]

-- ---------------------------------------------------------------------

amplia :: [a] -> a -> [a]

amplia [] y = [y] -- amplia.1

amplia (x:xs) y = x : amplia xs y -- amplia.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.2. Definir, mediante plegado. la función

-- ampliaF :: [a] -> a -> [a]

-- tal que (ampliaF xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al

-- final de la lista xs. Por ejemplo,

-- ampliaF [2,5] 3 == [2,5,3]

-- ---------------------------------------------------------------------

ampliaF :: [a] -> a -> [a]

ampliaF xs y = foldr (:) [y] xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.3. Comprobar con QuickCheck que amplia y ampliaF son

-- equivalentes.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_amplia_ampliaF :: Eq a => [a] -> a -> Bool

prop_amplia_ampliaF xs y =

amplia xs y == ampliaF xs y

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_amplia_ampliaF

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.4. Comprobar con QuickCheck que

-- amplia xs y = xs ++ [y]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_amplia :: Eq a => [a] -> a -> Bool

prop_amplia xs y =

amplia xs y == xs ++ [y]

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_amplia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.5. Demostrar por inducción que

-- amplia xs y = xs ++ [y]

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en xs.

Caso base: Hay que demostrar que

amplia [] y = [] ++ [y]

En efecto,

amplia [] y

= [y] [por amplia.1]

= [] ++ [y] [por (++).1]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción

amplia xs y = xs ++ [y]

Hay que demostrar que

amplia (x:xs) y = (x:xs) ++ [y]

En efecto,

amplia (x:xs) y

= x : amplia xs y [por amplia.2]

= x : (xs ++ [y]) [por hipótesis de inducción]

= (x:xs) ++ [y] [por (++).2]

-- ----------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.1. Definir la función

-- listaConSuma :: Int -> [[Int]]

-- que, dado un número natural n, devuelve todas las listas de enteros

-- positivos (esto es, enteros mayores o iguales que 1) cuya suma sea

-- n. Por ejemplo,

-- Main> listaConSuma 4

-- [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,3],[2,1,1],[2,2],[3,1],[4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

listaConSuma :: Int -> [[Int]]

listaConSuma 0 = [[]]

listaConSuma n = [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.2. Definir la función

-- numeroDeListasConSuma :: Int -> Int

-- tal que (numeroDeListasConSuma n) es el número de elementos de

-- (listaConSuma n). Por ejemplo,

-- numeroDeListasConSuma 10 = 512

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma :: Int -> Int

numeroDeListasConSuma = length . listaConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.3. Definir la constante

-- numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]

-- tal que numerosDeListasConSuma es la lista de los pares formado por un

-- número natural n mayor que 0 y el número de elementos de

-- (listaConSuma n).

-- Calcular el valor de

-- take 10 numerosDeListasConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La constante es

numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]

numerosDeListasConSuma = [(n,numeroDeListasConSuma n) | n <- [1..]]

-- El cálculo es

-- ghci> take 10 numerosDeListasConSuma

-- [(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),(5,16),(6,32),(7,64),(8,128),(9,256),(10,512)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.4. A partir del ejercicio anterior, encontrar una fórmula

-- para calcular el valor de (numeroDeListasConSuma n) paras los

-- números n mayores que 0.

-- Demostrar dicha fórmula por inducción fuerte.

-- ---------------------------------------------------------------------

La fórmula es

numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)

La demostración, por inducción fuerte en n, es la siguiente:

Caso base (n=1):

numeroDeListasConSuma 1

= length (listaConSuma 1)

[por numeroDeListasConSuma]

= length [[x:xs | x <- [1..1], xs <- listaConSuma [[]]]

[por listaConSuma.2]

= length [[1]]

[por def. de listas de comprensión]

= 1

[por def. de length]

= 2^(1-1)

[por aritmética]

Paso de inducción: Se supone que

para todo x en [1..n-1],

numeroDeListasConSuma x = 2^(x-1)

Hay que demostrar que

numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)

En efecto,

numeroDeListasConSuma n

= length (listaConSuma n)

[por numeroDeListasConSuma]

= length [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

[por listaConSuma.2]

= sum [numeroDeListasConSuma (n-x) | x <- [1..n]]

[por length y listas de comprensión]

= sum [2^(n-x-1) | x <- [1..n-1]] + 1

[por hip. de inducción y numeroDeListasConSuma]

= 2^(n-2) + 2^(n-3) + ... + 2^1 + 2^0 + 1

= 2^(n-1)

[por el ejercicio 2c de la relación 15]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.5. A partir del ejercicio anterior, definir de manera más

-- eficiente la función numeroDeListasConSuma.

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma' :: Int -> Int

numeroDeListasConSuma' 0 = 1

numeroDeListasConSuma' n = 2^(n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.6. Comparar la eficiencia de las dos definiciones

-- comparando el tiempo y el espacio usado para calcular

-- (numeroDeListasConSuma 20) y (numeroDeListasConSuma' 20).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es

-- ghci> :set +s

-- ghci> numeroDeListasConSuma 20

-- 524288

-- (9.99 secs, 519419824 bytes)

-- ghci> numeroDeListasConSuma' 20

-- 524288

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.0. La sucesión de Fibonacci

-- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

-- puede definirse por recursión como

-- fib :: Int -> Int

-- fib 0 = 0 -- fib.1

-- fib 1 = 1 -- fib.2

-- fib (n+2) = (fib (n+1)) + fib n -- fib.3

-- También puede definirse por recursición iterativa como

-- fibIt :: Int -> Int

-- fibIt n = fibItAux n 0 1

-- donde la función auxiliar se define por

-- fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int

-- fibItAux 0 a b = a -- fibItAux.1

-- fibItAux (n+1) a b = fibItAux n b (a+b) -- fibItAux.2

-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Int -> Int

fib 0 = 0

fib 1 = 1

fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

fibIt :: Int -> Int

fibIt n = fibItAux n 0 1

fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int

fibItAux 0 a b = a

fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.1. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural

-- n tal que n <= 20, se tiene que

-- fib n = fibIt n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_fib :: Int -> Property

prop_fib n =

n >= 0 && n <= 20 ==> fib n == fibIt n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_fib

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.2. Sea f la función definida por

-- f :: Int -> Int -> Int

-- f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

-- Definir la función

-- grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (grafoDeF n) es la lista de los pares formados por un número

-- natural k y el valor de (f n k), para k >= 1. Por ejemplo,

-- ghci> take 7 (grafoDeF 3)

-- [(1,3),(2,5),(3,8),(4,13),(5,21),(6,34),(7,55)]

-- ghci> take 7 (grafoDeF 5)

-- [(1,8),(2,13),(3,21),(4,34),(5,55),(6,89),(7,144)]

-- ---------------------------------------------------------------------

f :: Int -> Int -> Int

f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]

grafoDeF n = [(k, f n k) | k <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.3. Comprobar con QuickCheck que para todo par de números

-- naturales n, k tales que n+k <= 20, se tiene que

-- fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_fibItAux :: Int -> Int -> Property

prop_fibItAux n k =

n >= 0 && k >= 0 && n+k <= 20 ==>

fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) == fib (k+n)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_fibItAux

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.4. Demostrar por inducción que para todo n y todo k,

-- fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en n se prueba que

para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

Caso base (n=0): Hay que demostrar que

para todo k, fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1)) = fib k

En efecto, sea k un número natural. Se tiene

fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1))

= fib k [por fibItAux.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

Hay que demostrar que

para todo k, fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n+1)

En efecto. Sea k un número natural,

fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1))

= fibItAux n (fib (k+1)) ((fib k) + (fib (k+1)))

[por fibItAux.2]

= fibItAux n (fib (k+1)) (fib (k+2))

[por fib.3]

= fib (n+k+1)

[por hipótesis de inducción]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.5. Demostrar que para todo n,

-- fibIt n = fib n

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración

fibIt n

= fibItAux n 0 1 [por fibIt]

= fibItAux n (fib 0) (fib 1) [por fib.1 y fib.2]

= fib n [por ejercicio 8.4]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.1. La función potencia puede definirse por

-- potencia :: Int -> Int -> Int

-- potencia x 0 = 1

-- potencia x n | even n = potencia (x*x) (div n 2)

-- | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n y todo

-- número entero x, (potencia x n) es x^n.

-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Integer -> Integer -> Integer

potencia x 0 = 1

potencia x n | even n = potencia (x*x) (div n 2)

| otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- La propiedad es

prop_potencia :: Integer -> Integer -> Property

prop_potencia x n =

n >= 0 ==> potencia x n == x^n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_potencia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.2. Demostrar por inducción que que para todo número

-- natural n y todo número entero x, (potencia x n) es x^n

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en n.

Caso base: Hay que demostrar que

para todo x, potencia x 0 = 2^0

Sea x un número entero, entonces

potencia x 0

= 1 [por potencia.1]

= 2^0 [por aritmética]

Paso de inducción: Se supone que n>0 y la hipótesis de inducción:

para todo m<n y para todo x, potencia x (n-1) = x^(n-1)

Tenemos que demostrar que

para todo x, potencia x n = x^n

Lo haremos distinguiendo casos según la paridad de n.

Caso 1: Supongamos que n es par. Entonces, existe un k tal que

n = 2*k. (1)

Por tanto,

potencia n

= potencia (x*x) (div n 2) [por potencia.2]

= potencia (x*x) k [por (1)]

= (x*x)^k [por hip. de inducción]

= x^(2*k) [por aritmética]

= x^n [por (1)]

Caso 2: Supongamos que n es impar. Entonces, existe un k tal que

n = 2*k+1. (2)

Por tanto,

potencia n

= x * potencia (x*x) (div n 2) [por potencia.3]

= x * potencia (x*x) k [por (1)]

= x * (x*x)^k [por hip. de inducción]

= x^(2*k+1) [por aritmética]

= x^n [por (1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.1. Comprobar con QuickCheck que para todo par de listas

-- xs, ys se tiene que

-- reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_reverse_conc :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_reverse_conc xs ys =

reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_reverse_conc

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.2. Demostrar por inducción que para todo par de listas

-- xs, ys se tiene que

-- reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- Las definiciones de reverse y (++) son

-- reverse [] = [] -- reverse.1

-- reverse (x:xs) = reverse xs ++ [x] -- reverse.2

-- [] ++ ys = ys -- ++.1

-- (x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys) -- ++.2

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en xs.

Caso base: Hay que demostrar que para toda ys,

reverse ([] ++ ys) == reverse ys ++ reverse []

En efecto,

reverse ([] ++ ys)

= reverse ys [por ++.1]

= reverse ys ++ [] [por propiedad de ++]

= reverse ys ++ reverse [] [por reverse.1]

Paso de inducción: Se supone que para todo ys,

reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

Hay que demostrar que para todo ys,

reverse ((x:xs) ++ ys) == reverse ys ++ reverse (x:xs)

En efecto,

reverse ((x:xs) ++ ys)

= reverse (x:(xs ++ ys)) [por ++.2]

= reverse (xs ++ ys) ++ [x] [por reverse.2]

= (reverse ys ++ reverse xs) ++ [x] [por hip. de inducción]

= reverse ys ++ (reverse xs ++ [x]) [por asociativa de ++]

= reverse ys ++ reverse (x:xs) [por reverse.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.3. Demostrar por inducción que para toda lista xs,

-- reverse (reverse xs) = xs

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en xs.

Caso Base: Hay que demostrar que

reverse (reverse []) = []

En efecto,

reverse (reverse [])

= reverse [] [por reverse.1]

= [] [por reverse.1]

Paso de inducción: Se supone que

reverse (reverse xs) = xs

Hay que demostrar que

reverse (reverse (x:xs)) = x:xs

En efecto,

reverse (reverse (x:xs))

= reverse (reverse xs ++ [x]) [por reverse.2]

= reverse [x] ++ reverse (reverse xs) [por ejercicio 9.2]

= [x] ++ reverse (reverse xs) [por reverse]

= [x] ++ xs [por hip. de inducción]

= x:xs [por ++.2]

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