I1M2014: Demostración de propiedades de programas por inducción sobre árboles
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 40 sobre demostración de propiedades de programas por inducción sobre árboles.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se plantean ejercicios de demostración por inducción -- de propiedades de programas por inducción sobre árboles. -- -- Las transparencias del tema correspondiente se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-8.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Control.Monad import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota 1. En los siguientes ejercicios se demostrarán -- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue -- data Arbol a = Hoja -- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- En los ejemplos se usará el siguiente árbol -- arbol = Nodo 9 -- (Nodo 3 -- (Nodo 2 Hoja Hoja) -- (Nodo 4 Hoja Hoja)) -- (Nodo 7 Hoja Hoja) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = Hoja | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq) arbol = Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota 2. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se -- utilizará el siguiente generador. -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where arbitrary = sized arbol where arbol 0 = return Hoja arbol n | n>0 = oneof [return Hoja, liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol] where subarbol = arbol (div n 2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- espejo :: Arbol a -> Arbol a -- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo, -- ghci> espejo arbol -- Nodo 9 -- (Nodo 7 Hoja Hoja) -- (Nodo 3 -- (Nodo 4 Hoja Hoja) -- (Nodo 2 Hoja Hoja)) -- --------------------------------------------------------------------- espejo :: Arbol a -> Arbol a espejo Hoja = Hoja espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_espejo x = espejo (espejo x) == x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_espejo -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Demostrar por inducción que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración por inducción en x Caso base: Hay que demostrar que espejo (espejo Hoja) = Hoja En efecto, espejo (espejo Hoja) = espejo Hoja [por espejo.1] = Hoja [por espejo.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción espejo (espejo i) = i espejo (espejo d) = d Hay que demostrar que espejo (espejo (Nodo x i d)) = Nodo x i d En efecto, espejo (espejo (Nodo x i d)) = espejo (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2] = Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d)) [por espejo.2] = Nodo x i d [por hip. inducción] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- preorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> preorden arbol -- [9,3,2,4,7] -- --------------------------------------------------------------------- preorden :: Arbol a -> [a] preorden Hoja = [] preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- postorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol -- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz -- del árbol. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> postorden arbol -- [2,4,3,7,9] -- --------------------------------------------------------------------- postorden :: Arbol a -> [a] postorden Hoja = [] postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool prop_recorrido x = postorden (espejo x) == reverse (preorden x) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_recorrido -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Demostrar por inducción que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración por inducción en x. Caso base: Hay que demostrar que postorden (espejo Hoja) = reverse (preorden Hoja) En efecto, postorden (espejo Hoja) = postorden Hoja [por espejo.1] = [] [por postorden.1] = reverse [] [por reverse.1] = reverse (preorden Hoja) [por preorden.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción postorden (espejo i) = reverse (preorden i) postorden (espejo d) = reverse (preorden d) Hay que demostrar que postorden (espejo (Nodo x i d)) = reverse (preorden (Nodo x i d)) En efecto, postorden (espejo (Nodo x i d)) = postorden (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2] = postorden (espejo d) ++ postorden (espejo i) ++ [x] [por postorden.2] = reverse (preorden d) ++ reverse (preorden i) ++ x [por hip. inducción] = reverse ([x] ++ preorden (espejo i) ++ preorden (espejo d)) [por ejercicio 1] = reverse (preorden (Nodo x i d)) [por preorden.1] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_reverse_preorden_espejo x = reverse (preorden (espejo x)) == postorden x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: reverse (preorden (espejo x)) = postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 7] = postorden x [por ejercicio 3] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- nNodos :: Arbol a -> Int -- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> nNodos arbol -- 5 -- --------------------------------------------------------------------- nNodos :: Arbol a -> Int nNodos Hoja = 0 nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_nNodos_espejo x = nNodos (espejo x) == nNodos x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nNodos_espejo -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que nNodos (espejo x) == nNodos x Caso base: Hay que demostrar que nNodos (espejo Hoja) == nNodos Hoja En efecto, nNodos (espejo Hoja) = nNodos Hoja [por espejo.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción nNodos (espejo i) == nNodos i nNodos (espejo d) == nNodos d Hay que demostrar que nNodos (espejo (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d) En efecto, nNodos (espejo (Nodo x i d)) = nNodos (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2] = 1 + nNodos (espejo d) + nNodos (espejo i) [por nNodos.2] = 1 + nNodos d + nNodos i [por hip.de inducción] = 1 + nNodos i + nNodos d [por aritmética] = nNodos (Nodo x i d) [por nNodos.2] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_length_preorden x = length (preorden x) == nNodos x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_length_preorden -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: Por inducción en x, hay que demostrar que length (preorden x) == nNodos x Caso base: Hay que demostrar que length (preorden Hoja) = nNodos Hoja En efecto, length (preorden Hoja) = length [] [por preorden.1] = 0 [por length.1] = nNodos Hoja [por nNodos.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción length (preorden i) == nNodos i length (preorden d) == nNodos d Hay que demostrar que length (preorden (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d) En efecto, length (preorden (Nodo x i d)) = length ([x] ++ (peorden i) ++ (preorden d)) [por preorden.2] = length [x] + length (preorden i) + length (preorden d) [propiedad de length: length (xs++ys) = length xs + length ys] = 1 + length (preorden i) + length (preorden d) [por def. de length] = 1 + nNodos i + nNodos d [por hip. de inducción] = nNodos (x i d) [por nNodos.2] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- profundidad :: Arbol a -> Int -- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> profundidad arbol -- 3 -- --------------------------------------------------------------------- profundidad :: Arbol a -> Int profundidad Hoja = 0 profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool prop_nNodosProfundidad x = nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Demostrar por inducción que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración por inducción en x Caso base: Hay que demostrar que nNodos Hoja <= 2^(profundidad Hoja) - 1 En efecto, nNodos Hoja = 0 [por nNodos.1] = 2^0 - 1 [por aritmética] = 2^(profundidad Hoja) - 1 [por profundidad.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción nNodos i <= 2^(profundidad i) - 1 nNodos d <= 2^(profundidad d) - 1 Hay que demostrar que nNodos (Nodo x i d) <= 2^(profundidad (Nodo x i d)) - 1 En efecto, nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d [por nNodos.1] <= 1 + (2^(profundidad i) - 1) + (2^(profundidad d) - 1) [por hip. de inducción] = 2^(profundidad i) + 2^(profundidad d) - 1 [por aritmética] <= 2^máx(profundidad i,profundidad d)+2^máx(profundidad i,profundidad d)-1 [por aritmética] = 2*2^máx(profundidad i,profundidad d) - 1 [por aritmética] = 2^(1+máx(profundidad i,profundidad d)) - 1 [por aritmética] = 2^profundidad(Nodo x i d) - 1 [por profundidad.2] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- nHojas :: Arbol a -> Int -- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> nHojas arbol -- 6 -- --------------------------------------------------------------------- nHojas :: Arbol a -> Int nHojas Hoja = 1 nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el -- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool prop_nHojas x = nHojas x == nNodos x + 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nHojas -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Demostrar por inducción que en todo árbol binario el -- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno. -- --------------------------------------------------------------------- {- Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que nHojas x = nNodos x + 1 Caso base: Hay que demotrar que nHojas Hoja = nNodos Hoja + 1 En efecto, nHojas Hoja = 1 [por nHojas.1] = 0 + 1 [por aritmética] = nNodos Hoja + 1 [por nNodos.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción nHojas i = nNodos i + 1 nHojas d = nNodos d + 1 Hay que demostrar que nHojas (Nodo x i d) = nNodos (Nodo x i d) + 1 En efecto, nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d [por nHojas.2] = (nNodos i + 1) + (nNodos d +1) [por hip. de inducción] = (1 + nNodos i + nNodos d) + 1 [por aritmética] = nNodos (Nodo x i d) + 1 [por nNodos.2] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir, usando un acumulador, la función -- preordenIt :: Arbol a -> [a] -- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- ghci> arbol -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- ghci> preordenIt arbol -- [9,3,2,4,7] -- Nota: No usar (++) en la definición -- --------------------------------------------------------------------- preordenIt :: Arbol a -> [a] preordenIt x = preordenItAux x [] preordenItAux :: Arbol a -> [a] -> [a] preordenItAux Hoja xs = xs preordenItAux (Nodo x i d) xs = x : preordenItAux i (preordenItAux d xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es -- equivalente a preorden. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool prop_preordenIt x = preordenIt x == preorden x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_preordenIt -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Demostrar que preordenIt es equivalente a preorden. -- --------------------------------------------------------------------- prop_preordenItAux :: Arbol Int -> [Int] -> Bool prop_preordenItAux x ys = preordenItAux x ys == preorden x ++ ys {- Demostración: La propiedad es consecuencia del siguiente lema: Lema: Para todo árbol binario x, se tiene que para toda ys, preordenItAux x ys = preorden x ++ ys Demostración de la propiedad usando el lema: preordenIt x = preordenItAux x [] [por preordnIt] = preorden x ++ [] [por el lema] = preorden x [propiedad de ++] Demostración del lema: Por inducción en x. Caso base: Hay que demotrar que para toda ys, preordenItAux Hoja ys = preorden Hoja ++ ys En efecto, preordenItAux Hoja ys = ys [por preordenItAux.1] = [] ++ ys [por propiedad de ++] = preorden Hoja ++ ys [por preorden.1] Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción para toda ys, preordenItAux i ys = preorden i ++ ys para toda ys, preordenItAux d ys = preorden d ++ ys Hay que demostrar que para toda ys, preordenItAux (Nodo x i d) ys = preorden (Nodo x i d) ++ ys En efecto, preordenItAux (Nodo x i d) ys = x : (preordenItAux i (preordenItAux d ys)) [por preordenItAux.2] = x : (preordenItAux i (preorden d ++ ys)) [por hip. de inducción] = x : (preorden i ++ (preorden d ++ ys)) [por hip. de inducción] = ([x] ++ preorden i ++ preorden d) ++ ys [por prop. de listas] = preorden (Nodo x i d) ++ ys [por preorden.2] -} |