I1M2011: Resolución de una ecuación con factoriales en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 23ª relación, cuyo objetivo es resolver la ecuación
donde a, b y c son números naturales.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- factorial :: Integer -> Integer -- tal que (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- factorial 5 == 120 -- --------------------------------------------------------------------- factorial :: Integer -> Integer factorial n = product [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la constante -- factoriales :: [Integer] -- tal que factoriales es la lista de los factoriales de los números -- naturales. Por ejemplo, -- take 7 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales :: [Integer] factoriales = [factorial n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir, usando factoriales, la función -- esFactorial :: Integer -> Bool -- tal que (esFactorial n) se verifica si existe un número natural m -- tal que n es m!. Por ejemplo, -- esFactorial 120 == True -- esFactorial 20 == False -- --------------------------------------------------------------------- esFactorial :: Integer -> Bool esFactorial n = n == head (dropWhile (<n) factoriales) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la constante -- posicionesFactoriales :: [(Integer,Integer)] -- tal que posicionesFactoriales es la lista de los factoriales con su -- posición. Por ejemplo, -- *Main> take 7 posicionesFactoriales -- [(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24),(5,120),(6,720)] -- --------------------------------------------------------------------- posicionesFactoriales :: [(Integer,Integer)] posicionesFactoriales = zip [0..] factoriales -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- invFactorial :: Integer -> Maybe Integer -- tal que (invFactorial x) es (Just n) si el factorial de n es x y es -- Nothing, en caso contrario. Por ejemplo, -- invFactorial 120 == Just 5 -- invFactorial 20 == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- invFactorial :: Integer -> Maybe Integer invFactorial x | esFactorial x = Just (head [n | (n,y) <- posicionesFactoriales, y==x]) | otherwise = Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la constante -- pares :: [(Integer,Integer)] -- tal que pares es la lista de todos los pares de números naturales. Por -- ejemplo, -- *Main> take 11 pares -- [(0,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2),(2,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(0,4)] -- --------------------------------------------------------------------- pares :: [(Integer,Integer)] pares = [(x,y) | y <- [0..], x <- [0..y]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la constante -- solucionFactoriales :: (Integer,Integer,Integer) -- tal que solucionFactoriales es una terna (a,b,c) que es una solución -- de la ecuación -- a! * b! = a! + b! + c! -- Calcular el valor de solucionFactoriales. -- --------------------------------------------------------------------- solucionFactoriales :: (Integer,Integer,Integer) solucionFactoriales = (a,b,c) where (a,b) = head [(x,y) | (x,y) <- pares, esFactorial (f x * f y - f x - f y)] f = factorial Just c = invFactorial (f a * f b - f a - f b) -- El cálculo es -- *Main> solucionFactoriales -- (3,3,4) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck que solucionFactoriales es la -- única solución de la ecuación -- a! * b! = a! + b! + c! -- con a, b y c números naturales -- --------------------------------------------------------------------- prop_solucionFactoriales :: Integer -> Integer -> Integer -> Property prop_solucionFactoriales x y z = x >= 0 && y >= 0 && (x,y,z) /= solucionFactoriales ==> not (esFactorial (f x * f y - f x - f y)) where f = factorial -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota: El ejercicio se basa en el artículo "Ecuación con factoriales" -- del blog Gaussianos publicado en -- http://gaussianos.com/ecuacion-con-factoriales -- --------------------------------------------------------------------- |