ForMatUS: Pruebas en Lean de la intersección sobre unión general: C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i)
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan pruebas en Lean de la propiedad
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C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) |
usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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import data.set open set variables {I U : Type} variables {A : I → set U} variable {C : set U} -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. Demostrar -- C ∩ (⋃i, A i) ⊆ (⋃ i, C ∩ A i) -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) ⊆ (⋃ i, C ∩ A i) := begin rintros x ⟨hC, hU⟩, rw mem_Union at hU, cases hU with i hA, apply mem_Union.mpr, use i, split, assumption', end -- 2ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) ⊆ (⋃ i, C ∩ A i) := begin intros x h, simp * at *, end -- 3ª demostración lemma inter_Uni_l1 : C ∩ (⋃i, A i) ⊆ (⋃ i, C ∩ A i) := by {intros x h, simp * at *} -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 2. Demostrar -- (⋃ i, C ∩ A i) ⊆ C ∩ (⋃i, A i) -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : (⋃ i, C ∩ A i) ⊆ C ∩ (⋃i, A i) := begin intros x h, rw mem_Union at h, cases h with i hi, cases hi with hC hA, split, { exact hC, }, { apply mem_Union.mpr, use i, exact hA, }, end -- 2ª demostración example : (⋃ i, C ∩ A i) ⊆ C ∩ (⋃i, A i) := begin intros x h, rw mem_Union at h, rcases h with ⟨i, hC, hA⟩, split, { exact hC, }, { apply mem_Union.mpr, use i, exact hA, }, end -- 3ª demostración example : (⋃ i, C ∩ A i) ⊆ C ∩ (⋃i, A i) := begin intros x h, simp * at *, end -- 4ª demostración lemma inter_Uni_l2 : (⋃ i, C ∩ A i) ⊆ C ∩ (⋃i, A i) := by {intros x h, simp * at *} -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 3. Demostrar -- C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) := eq_of_subset_of_subset inter_Uni_l1 inter_Uni_l2 -- 2ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) := -- by library_search inter_Union C A -- 3ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) := ext $ by simp -- 4ª demostración example : C ∩ (⋃i, A i) = (⋃ i, C ∩ A i) := by {ext, simp} |