ForMatUS: Pruebas en Lean de la distributiva de la intersección general sobre la intersección
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 4 pruebas en Lean de la propiedad distributiva de la intersección general sobre la intersección :
1 |
(⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) |
usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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-- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. Demostrar -- (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) -- ---------------------------------------------------- import data.set import tactic open set variables {I U : Type} variables {A B : I → set U} -- 1ª demostración example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) := begin ext, split, { intro h, rw mem_Inter at h, split, { rw mem_Inter, intro i, exact (h i).left, }, { rw mem_Inter, intro i, exact (h i).right, }}, { rintro ⟨h1, h2⟩, rw mem_Inter at *, intro i, exact ⟨h1 i, h2 i⟩, }, end -- 2ª demostración example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) := ext $ assume x : U, iff.intro ( assume h : x ∈ ⋂ i, A i ∩ B i, have h1 : ∀ i, x ∈ A i ∩ B i, from mem_Inter.mp h, have h2 : ∀ i, x ∈ A i, from assume i, and.left (h1 i), have h3 : ∀ i, x ∈ B i, from assume i, and.right (h1 i), have h4 : x ∈ ⋂ i, A i, from mem_Inter.mpr h2, have h5 : x ∈ ⋂ i, B i, from mem_Inter.mpr h3, show x ∈ (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i), from and.intro h4 h5) ( assume h : x ∈ (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i), have h1 : ∀ i, x ∈ A i, from mem_Inter.mp (and.left h), have h2 : ∀ i, x ∈ B i, from mem_Inter.mp (and.right h), have h3 : ∀ i, x ∈ A i ∩ B i, from assume i, and.intro (h1 i) (h2 i), show x ∈ ⋂ i, A i ∩ B i, from mem_Inter.mpr h3) -- 3ª demostración example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) := -- by library_search Inter_inter_distrib A B -- 4ª demostración example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) := ext (by finish) |